ÍNDICE Conjuntos Partes de un conjunto. Operaciones. Lógica proposicional y Teoría de conjuntos. Autoevaluación. 1 2 3 4

1. Conjuntos Definiciones. Ejemplo. Diagramas de Venn. 1.1 1.2 1.3

1.1 - Definiciones Conjunto es una colección de objetos bien definidos. Estos objetos se llaman elementos del conjunto. Podemos determinarlo: Por extensión: enumerando sus elementos. Por comprensión: dando una propiedad característica. Capítulo 1

1.2 - Ejemplo Observa como podemos determinar un mismo conjunto: Así, estamos definiendo el conjunto E por extensión Así, estamos definiendo el conjunto E por comprensión Se lee: E es el conjunto de los x pertenecientes a los números naturales, tales que x es mayor que cero y menor o igual que cinco Capítulo 1

1.3 - Diagramas de Venn Un diagrama de Venn nos sirve para representar gráficamente un conjunto. Consiste en encerrar los elementos del conjunto en una línea cerrada. Observa el diagrama de Venn del conjunto E, descrito anteriormente. 1 2 3 4 5 Capítulo 1

2. Partes de un conjunto. Operaciones. 2.1 Definiciones. Ejemplos. Unión de subconjuntos. Intersección de subconjuntos. Complementario de un subconjunto. 2.2 2.3 2.4 2.5

2.1 - Definiciones Inclusión de Conjuntos. Se dice que el conjunto A está contenido en B o está incluido en B, si todo elemento de A pertenece a B. Si A está contenido en B, decimos que A es subconjunto de B y se escribe: Partes de un conjunto U es el conjunto de todos los subconjuntos de U. Se denota por P(U) Capítulo 2

2.2 Ejemplos Si Observa que: y C Si 2 4 3 A 1 B H Observa que: 8 y Con el símbolo indicamos el subconjunto que no contiene ningún elemento, le llamamos vacío. Capítulo 2

2.3 - Unión de Subconjuntos Dados dos subconjuntos A y B de U, (es decir dos elementos de P(U)), definimos el subconjunto AUB (leemos “A unión B”) al formado por los elementos de U, que pertenecen a A o a B. 7 5 6 1 8 4 9 3 2 Capítulo 2

2.4 - Intersección de Subconjuntos Dados dos subconjuntos A y B de U, (es decir dos elementos de P(U)), definimos el subconjunto A B (leemos “A intersección B”) al formado por los elementos de U, que pertenecen a A y a B. 9 5 8 1 3 4 2 6 7 U es el conjunto de todos los dígitos Capítulo 2

2.5 –Complementario de un subconjunto Dado un subconjunto A de U, (es decir un elemento de P(U)), definimos complementario de A en U y le denotamos por al subconjunto formado por los elementos de U, que no pertenecen a A. 5 7 6 4 8 1 3 9 2 U es el conjunto de todos los dígitos Capítulo 2

Lógica Proposicional y Teoría de conjuntos Definiciones. Ejemplos Operaciones lógicas Consecuencias Implicación .Teorema 3.1 3.2 3.3 3.4

3.1- Definiciones Una proposición es un enunciado que atribuye una cualidad o propiedad a un objeto o conjunto de objetos. Un axioma es una proposición que tomamos a priori como verdadera. Decimos que un enunciado que depende de una variable (x), es una función proposicional sobre el conjunto U, si al sustituir dicha variable (x) por un elemento de U, se convierte en una proposición. Llamaremos clase de verdad al subconjunto A formado por todos los elementos de U para los que la proposición es cierta. Ejemplos Ejemplos Ejemplos Capítulo 3

Ejemplos de proposiciones El número entero 25 es divisible por 5. Todos los números enteros son divisibles por 5. El triángulo ABC es rectángulo. EL triángulo A’B’C’ es rectángulo. Verdadera Falsa Verdadera Falsa Verdadera Falsa Verdadera Falsa C’ C A B B’ A’

Ejemplos de axiomas El 0 es el primer número natural. El número 20 es el entero 1. Dos rectas paralelas no se cortan nunca. Una vez fijados el 0 y el 1 en una recta, a todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real. (Axioma de continuidad).

Ejemplos de funciones lógicas o funciones proposicionales En los siguientes ejemplos denotamos por pA a la función proposicional y por A a la clase de verdad correspondiente. pA : Un número entero z es divisible por 5. pA : Un triángulo BCD es rectángulo. A es el conjunto de todos los triángulos que tienen uno de sus ángulos rectos. pA : x<7, x natural pA : x+3=9, x número real A = { 6 }

3.2 - Operaciones lógicas Sea U un conjunto y consideremos ciertas proposiciones p y q que pueden cumplir los elementos de U. A partir de estas propiedades es posible construir otras mediante las llamadas operaciones lógicas elementales. Las más importantes son: 1. (negación de p): afirmar que un elemento x de U posee la propiedad (leemos “no p”) es lo mismo que decir que x no posee la propiedad p. 2. (conjunción de p y q): afirmar que un elemento x de U posee la propiedad (leemos “ p y q”) es decir que x tiene a la vez las propiedades p y q. 3. (disyunción de p y q): afirmar que un elemento x de U tiene la propiedad (leemos “ p o q”) quiere decir que x posee o la propiedad p, o la q, o ambas simultaneamente. Capítulo 3

3.3 - Consecuencias Dadas las funciones proposicionales pA y pB con clases de verdad A y B de U respectivamente, se verifica que: A la propiedad pA le corresponde A la propiedad pA pB le corresponde Capítulo 3

3. 4 - Implicación. Teorema Capítulo 3 Dadas dos proposiciones, se dice que p implica q, y se escribe , si todo elemento que posee la propiedad p posee la propiedad q. Por tanto, si a las funciones proposicionales les corresponden los subconjuntos clases de verdad A y B de U respectivamente, la implicación se traduce por A la implicación también se le llama Teorema. A p se le llama hipótesis y a q se le llama tesis. Se dice que p es condición suficiente de q y que q es condición necesaria de p Si se verifica que y entonces decimos que p y q son equivalentes y se escribe . Por tanto, si a las funciones proposicionales les corresponden los subconjuntos clases de verdad A y B de U, la equivalencia se expresa por A=B Capítulo 3

Ampliación Se puede comprobar fácilmente qué, si , se tiene , y recíprocamente. Luego si se desea demostrar el teorema directo ello equivale a demostrar el teorema contrarrecíproco.

Autoevaluación De las siguientes proposiciones indica cuáles son verdaderas y cuáles falsas: Verdadera Falsa Verdadera Falsa Verdadera Falsa Verdadera Falsa Verdadera Falsa