La transformada de Laplace
La transformada de Fourier La transformada de Fourier para señales periódicas es un espectro discreto de frecuencias. La primera ecuación es la de síntesis y la otra la de análisis.
La transformada de Fourier Existen funciones no periódicas como la función escalón, la función rampa, o la función impulso, etc. El espectro de estas funciones es un espectro continuo en los que se puede encontrar energía en cualquier intervalo de frecuencia diferente a cero, por pequeño que éste sea.
La transformada de Fourier
La transformada de Fourier Existen funciones del tiempo que al querer encontrar su equivalente en Fourier, nos encontramos con una expresión indeterminada al sustituir los límites de integración. Este problema surge cada vez intentamos obtener la transformada de Fourier de una función del tiempo cuyo
La transformada de Fourier Algunas de estas funciones son el escalón, signo, etc. Aunque su equivalente de Fourier si exista y se obtenga a partir de ciertos resultados básicos, existen ciertas funciones como la exponencial creciente, señales aleatorias, y otras que no son absolutamente integrales.
La transformada de Fourier Además las técnicas de Fourier no permiten analizar los sistemas a partir de las condiciones iniciales que este presenta. Estas dos objeciones se superan al usar la transformada de Laplace, que además tiene una nomenclatura más sencilla y una mayor facilidad de manejo.
Frecuencia compleja Antes de comenzar el desarrollo de la Transformada de Laplace, se dará una definición puramente matemática de la frecuencia compleja, para luego desarrollar gradualmente una interpretación física mientras avanza el curso.
Frecuencia compleja Se dice que cualquier función que puede escribirse en la forma donde y son constantes complejas (independientes del tiempo), está caracterizada por la frecuencia compleja Para conocer la frecuencia compleja de una función dada por inspección, es necesario escribirla de la forma anterior.
Frecuencia compleja Considerese la siguiente función senoidal exponencialmente amortiguada donde
Frecuencia compleja La parte real de está asociada con la variación exponencial; si es negativa, la función decrece conforme t aumenta, si es positiva aumenta, y si es cero, la amplitud de la senoidal es constante. Mientras mayor sea la magnitud de la parte real de , mayor será la rapidez del aumento o disminución exponencial.
Frecuencia compleja La parte imaginaria de describe la variación senoidal; específicamente, representa la frecuencia angular. Una magnitud grande de la parte imaginaria indica una variación más rápida respecto al tiempo. Por lo tanto, valores mayores de la magnitud de , indican una variación más rápida respecto al tiempo.
Frecuencia compleja Se denota por a la parte real, y por a la parte imaginaria: es la frecuencia compleja, es la frecuencia neperiana y es la frecuencia angular.
La transformada de Laplace La transformada de Laplace se presentará como un desarrollo o evolución de la transformada de Fourier, aunque se podría definir directamente. El objetivo es hacer que la variación en el tiempo sea de la forma
La transformada de Laplace Para lograrlo se considerará la transformada de Fourier de en vez de , haciendo entonces y su respectiva transformada de Fourier
La transformada de Laplace tomando la transformada inversa de Fourier se obtiene
La transformada de Laplace Ahora se sustituye por la variable compleja , y como es constante, donde la constante real se incluye en los límites para garantizar la convergencia de la integral impropia. En términos de
La transformada de Laplace La ecuaciones anteriores definen el par de la transformada bilateral de Laplace. Puede pensarse que la transformada bilateral de Laplace expresa a como la sumatoria (integral) un número infinito de términos infinitesimalmente pequeños cuya frecuencia compleja es
La transformada de Laplace La transformada de Laplace que se toma con límite inferior define la transformada unilateral de Laplace, la transforma inversa sigue inalterada, pero sólo es válida para
La transformada de Laplace También se puede usar el símbolo para indicar la transformada directa o inversa de Laplace:
La transformada de Laplace Linealidad de Laplace
La transformada de Laplace Función exponencial
La transformada de Laplace Función escalón
La transformada de Laplace Función rampa
La transformada de Laplace Funciones de la forma
La transformada de Laplace Función senoidal
La transformada de Laplace Función cosenoidal
La transformada de Laplace Funciones desplazadas en el tiempo
La transformada de Laplace Función pulso
La transformada de Laplace Función impulso
La transformada de Laplace Funciones desplazadas en la frecuencia
La transformada de Laplace Cambio de la escala de tiempo
La transformada de Laplace Teorema de diferenciación real
La transformada de Laplace Teorema del valor final Si f(t) y su derivada se pueden transformar por el método de Laplace, y si existe el limite de f(t) cuando t tiende a infinito.
La transformada de Laplace Teorema del valor inicial Si f(t) y su derivada se pueden transformar por el método de Laplace, y si existe el limite de sF(s) cuando s tiende a infinito.
La transformada de Laplace Teorema de integración real
La transformada de Laplace Teorema de diferenciación compleja
La transformada de Laplace Integral de convolución
La transformada de Laplace Transformada inversa de Laplace Integral de conversión Tablas Fracciones parciales
La transformada de Laplace Fracciones parciales con polos distintos Considere F(s) escrita en la forma factorizada para m<n
La transformada de Laplace Si F(s) sólo involucra polos distintos, puede expandirse en una suma de fracciones parciales simples de la siguiente manera:
La transformada de Laplace en donde ak(k=1,2,...,n) son constantes y se denominan como el residuo del polo en s=-pk. El valor de ak se encuentra multiplicando ambos miembros de la ecuación anterior por (s+pk) y suponiendo que s=-pk, esto nos lleva a
La transformada de Laplace Se observa que todos los términos expandidos se cancelan con excepción de ak. Por lo tanto el residuo ak se encuentra a partir de
La transformada de Laplace Encontrar la transformada inversa de Laplace de
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La transformada de Laplace Fracciones parciales con polos múltiples Se usará un ejemplo para demostrar como obtener la expansión en fracciones parciales de F(s)
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