Funciones exponenciales y logaritmicas

Temas Funciones Exponenciales Funciones logarítmicas Leyes de los logarítmos Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Examen

Funciones Exponenciales

Esquema del capítulo Se estudia una nueva forma de funciones llamadas funciones exponenciales. Las funciones exponenciales son apropiadas para modelar el crecimiento poblacional para los seres vivos.

Ejemplos: Es una función exponencial con base 2. Veamos con la rapidez que crece:

Funciones Exponenciales La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por: donde Ejemplos de funciones exponenciales: Base 2 Base 3 Base 10

Ejemplo 1: Evaluación de funciones exponenciales Sea y evalúe lo siguiente:

Ejemplo estructural El arco Gateway en San Luis, Missouri, tiene la forma de la gráfica de una combinación de funciones exponenciales, no una parábola como pareceria. Es una función de la forma: Se eligió esta forma porque es óptimo para dirtibuir las fuerzas estructurales internas del arco.

Función Exponencial Natural La función exponencial natural es la función exponencial con base e. Es común referirse a ella como la función exponencial.

Ejemplo: Evaluar la función exponencial Evalúe cada expresión correcta hasta cinco decimales. Solución:

Ejemplo: Modelo exponencial para la diseminación de un virus Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de t días, el número de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función: Contesta: Cuántas personas infectadas hay por el virus. (t = 0) b) Calcule el número de personas infectadas despues de un día y depués de cinco días. c) Grafique la función y describa el comportamiento.

Solución: Ejemplo anterior Cuántas personas infectadas hay por el virus (t = 0). 8 personas tienen inicialmente la enfermedad. Calcule el número de personas infectadas después de un día y cinco días. (t = 1, t = 2, t = 5) Días Personas infectadas 1 21 2 54 5 678

Solución: Ejemplo anterior (cont) c) Grafique la función y describa el comportamiento. 0 12 2000 El contagio comienza lento, luego aumenta con rapidez y luego se estabiliza cuando estan infectados cerca de 2000 personas.

Interes compuestos El interés compuesto se calcula mediante la fórmula donde: A(t) = cantidad después de t años P = principal r = tasa de interés por año n = número de veces que el interés se compone por año t = número de años

Ejemplo Cálculo del interés compuesto Una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12% anualmente. Calcule las cantidades en la cuenta después de tres años si el interés se compone anualmente, cada medio año, por trimestre, mensualmente o diario. Solución: Datos P = 1000 r = 12% = 0.12 t = 3

Ejemplo Cálculo del interés compuesto Capitalización n Cantidad después de tres años Anual 1 Semianual 2 Trimestral 4 Mensual 12 Diaria 365

Interés compuesto en forma continua El interés compuesto en forma continua se calcula mediante la fórmula donde A(t) = cantidad después de t años P = principal r = tasa de interés por año t = número de años

Ejemplo Calcular el interés compuesto de manera continua Calcule la cantidad después de tres años si se invierten $1000 a una tasa de interés de 12% por año, capitalizado de forma continua. Solución: Datos: P = 1000 r = 0.12 t = 3 Se puede comparar con el ejemplo anterior.

Funciones Logarítmicas

Definición de la función logarítmica Sea a un número positivo con . La función logarítmica con base a, denotada por , se define Así, es el exponente al que se debe elevar la base a para dar x.

En ambas formas la base es la misma. Comparación Comparemos la forma Exponencial y la forma Logarítmica Logarítmica: Exponencial: Exponente Exponente Base Base En ambas formas la base es la misma.

Ejemplo Formas logarítmicas y exponenciales Forma Logarítmica Forma Exponencial

Evaluación de logarítmos

Propiedad de los logarítmos Razón Se debe elevar a a la potencia 0 para obtener 1. Se debe elevar a a la potencia 1 para obtener a. Se debe elevar a a la potencia x para obtener . es la potencia a la cual se debe elevar a para obtener x. © copywriter

Ejemplo Aplicación de las propiedades logarítmicas

Ejemplo Graficación de funciones logarítmicas Traza la gráfica de Solución: Para construir una tabla de valores, se eligen los valores para x como potencias de 2 de modo que pueda hallar con facilidad sus logaritmos. x 3 2 1 -1 -2 -3

Familia de Funciones Logarítmicas

Logarítmos Comunes Veamos logarítmos con base 10 Definición: Logarítmo común El logarítmo con base 10 se llama logarítmo común y se denota omitiendo la base:

De la definición de logarítmo se puede encontrar facílmente que: Cómo se calcula log 50? No tenemos un número tal que , 1 es pequño y 2 es demasiado grande. Las calculadoras científicas tienen una tecla equipada que da los valores de manera directa de los logaritmos comunes.

Ejemplo Evaluación de logarítmos comunes Use una calculadora para hallar los valores apropiados de f(x) = log x, use los valores para bosquejar una gráfica. x Log x 0.01 0.1 0.5 1 4 5 10 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 6 -2 -1 -0.30 0.602 0.699 1

Propiedades de los logarítmos naturales Propiedad Razón Se tiene que elevar e a la potencia 0 para obtener 1. Se tiene que elevar e a la potencia 1 para obtener e. Se tiene que elevar e a la potencia x para obtener . ln x es la potencia a la cual e debe ser elevada para obtener x. © copywriter

Ejemplo Elevar la función logaritmo natural Definición de logarítmo natural Uso de la calculadora © copywriter

Funciones Logarítmicas

Leyes de los logarítmos En esta sección se estudian las propiedades de los logarítmos. Estas propiedades dan a las funciones logarítmos una amplia variedad de aplicaciones. Ya que los logarítmos son exponentes, las leyes de los exponentes dan lugar a las leyes de los logarítmos.

Leyes de los logarítmos Sea a un número positivo, con . Sea A, B y C números reales cualesquiera con . Ley Descripción El logarítmos de un producto de números es la suma de los logarítmos de los números. El logarítmo de un cociente de números es la diferencia de los logarítmos de los números. El logarítmo de una potencia de un número es el exponente multiplicado por el logarítmo de número.

Ejemplo Uso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones Evalúe cada expresión:

Ejemplo Uso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones Propiedad utilizada:

Ejemplo Uso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones Propiedad utilizada:

Ejemplo Uso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones Propiedad utilizada:

Ejemplo Expandir expresiones logarítmicas Use las leyes de logarítmos para expandir o desarrollar cada expresión. Ley 1 Ley 3 Ley 2

Ejemplo Combinar expresiones logarítmicas Combinar en un solo logarítmo, la siguiente expresión:

Cambio de base Sea: Entonces se forma de manera exponencial: Se toma el logarítmo base a en cada lado: Ley 3 de logarítmo: Se divide entre ambos logarítmos:

Fórmula de cambio de base Por consiguiente, si x = a, entonces y esta fórmula se convierte en:

Fórmula de cambio de base Evaluar logarítmos con la fórmula de cambio de base Se usa la fórmula de cambio de base con b = 8 y a = 10: Nota: Se tiene la misma respuesta si se usa ó ln. Se usa la fórmula de cambio de base con b = 9 y a = e:

Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Una ecuación exponencial es aquella en la que la variable ocurre en el exponente. Por ejemplo: La variable x representa una dificultad por que esta en el exponente. Para tomar este caso se toma el logarítmo en cada lado y luego se usan las reglas de los logarítmos. Veamos:

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Recuerde la regla 3

Normas para resolver ecuaciones exponenciales Aísle la expresión exponencial en un lado de la ecuación. Tome el logarítmo de cada lado, luego utilice las leyes de los logarítmos para “bajar el exponente”. Despeje la variable.

Ejemplo Resolver una ecuación exponencial Encuentre la solución de: Solución: Si verificas en tu calculadora:

Ejemplo Resolución de una ecuación exponencial Resuelva la ecuación: Solución: Ojo: El, ln e = 1 Si verificas en tu calculadora:

Ejemplo Resolver una ecuación exponencial en forma algebraica y haz la gráfica Resuelva la ecuación: Algebraicamente Solución (1):

Ejemplo Resolver una ecuación exponencial en forma algebraica y haz la gráfica Resuelva la ecuación: Solución (2): Se gráfican las ecuaciones, y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 6

Ejemplo Una ecuación exponencial de tipo cuadrático Resuelva la ecuación: Solución: o

Ejemplo Resolver una ecuación exponencial Resuelva la ecuación: Solución: Primero se factoriza el lado izquierdo de la ecuación. Se divide entre Las soluciones son:

Ecuaciones Logarítmicas Una ecuación logarítmica es aquella en la ocurre un logarítmo de la variable. Para despejar x, se escribe la ecuación en forma exponencial. Otra forma de considerar el primer paso es elevar la base, 2, a cada la de ecuación. Los pasos se resumen a continuación.

Normas para resolver ecuaciones logarítmicas Aísle el término logarítmico en un lado de la ecuación; podría ser necesario combinar primero los términos logarítmicos. Escriba la ecuación en forma exponencial (o eleve la base a cada lado de la ecuación). Despeje la variable.

Ejemplo Resolver ecuaciones logarítmicas De cada ecuación despeje x.

Ejemplo Resolver una ecuacion logarítmica Resuelva la ecuación: Solución: Se aísla primero el término logarítmico. Esto permite escribir la ecuación en forma exponencial.

Ejemplo Resolver una ecuación logarítmica de manera algebraica y gráfica Resuelva la ecuación (1):

Ejemplo Resolver una ecuación logarítmica de manera algebraica y gráfica Resuelva la gráfica (2): 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 6

Ejemplo Resolver una ecuación de manera gráfica Resuelva la ecuación: Solución: Primero se mueven todos los términos a un lado de la ecuación. Luego se hace la gráfica: 4 3 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 6