SIMULACION DE UN COMPUTADOR CUANTICO MSc. Jonatan Gómez Perdomo Profesor Universidad Nacional

PROCESO DE SIMULACIÓN 1. Escoger el computo que se va a simular 2. Representar el computo como un circuito construido con compuertas lógicas cuánticas. 3. Determinar el tamaño del registro de memoria. 4. Calcular el hamiltoniano H alcanzado por el circuito. 5. Calcular el operador de evolución unitario para H. 6. Inicializar el registro de memoria. 7. Evolucionar el computador por algún tiempo. 8. Si el computo no se ha realizado volver al paso 7 con el registro de memoria en el estado proyectado. 9. Leer la respuesta.

2. REPRESENTAR EL COMPUTO COMO UN CIRCUITO CONSTRUIDO CON COMPUERTAS LÓGICAS CUÁNTICAS Diseñar el circuito cuántico que alcanza el computo a simular. Especificar las compuertas cuánticas a usar y como se conectarán. (No es lo mismo que en los circuitos lógicos clásicos, las compuertas lógicas se conectan mediante el uso del mismo qubit o por interacciones directas de campo). Toda compuerta cuántica es un operador unitario, es decir, la inversa de la matriz que representa el operador debe ser igual a la traspuesta conjugada de la misma. (Este hecho garantiza la reversibilidad del operador). El operador alcanzado por el circuito completo también debe ser unitario.

3. DETERMINAR EL TAMAÑO DEL REGISTRO DE MEMORIA. Determinar el número de qubits necesarios para simular la operación del circuito diseñado. Las partículas (qubits) son divididas en dos grupos distintos: Uno almacena la posición del cursor( cuantos pasos del computo se han hecho o como cuantas compuertas lógicas cuánticas se han aplicado). El otro almacena la respuesta o superposición de respuestas, sobre las que se esta realizando el computo. Si el circuito consta de de k compuertas lógicas cuánticas sobre un conjunto de m qubits de entrada, el registro de memoria debe tener m+k+1 qubits, m para la entrada y k+1 para el cursor. Si se observan los qubits del cursor y este se encuentra en la posición final, es decir, en el k+1 sitio, se puede asegurar que al medir los qubits de respuesta se obtiene una respuesta correcta para el computo.

4. CALCULAR EL HAMILTONIANO H ALCANZADO POR EL CIRCUITO. Un computador cuántico real es un sistema físico cuya evolución sobre el tiempo puede ser interpretada como la realización de un computo. La evolución de un sistema cuántico es descrita por la ecuación de Schrödinger. Para el caso de un Hamiltoniano independiente del tiempo, la solución de dicha ecuación tiene la forma: |(t) = exp( -i H t / h ) * |(0) = U(t) * |(0) El problema entonces es encontrar un operador H (independiente del tiempo), tal que U(t) resulte ser una operador unitario que remede la acción del circuito deseado. El Hamiltoniano que logra hacer este acoplamiento entre el sistema de cursor y el computo esta dado por: H = ((ci+1 ai Mi+1) + (ci+1 ai Mi+1)† para i=1,2,...k-1 donde,

4. CALCULAR EL HAMILTONIANO H ALCANZADO POR EL CIRCUITO. Mi es la compuerta lógica cuántica i-esima, ci es el operador de creación del i-esimo sitio del cursor, ai es el operador de destrucción del i-esimo sitio del cursor. † denota la transpuesta conjugada. El operador de creación actuando sobre un spin simple tiene la forma: c = 0 0 1 0 El operador de destrucción actuando sobre un spin simple tiene la forma: a = 0 1 0 0 ci = I ...i-1 veces...  I  c  I  ....k-i veces....  I ai = I ...i-1 veces...  I  a  I  ....k-i veces....  I

5. CALCULAR EL OPERADOR DE EVOLUCIÓN UNITARIO PARA H. Dada la forma del Hamiltoniano, se puede calcular el operador de evolución unitaria U(t) como : U(t) = exp( -i H t / h ) La función matriz exponencial calcula la serie de potencias de la función exponencial sobre la matriz dada. 6. INICIALIZAR EL REGISTRO DE MEMORIA. Poner en los qubits de respuesta un estado inicial sobre el cual se calculará el estado en un tiempo futuro t usando la solución de la ecuación de Schrödinger.

7. EVOLUCIONAR EL COMPUTADOR POR ALGÚN TIEMPO. Determinar los intervalos de tiempo en los que se efectuará una medición de los qubits de cursor. Si el intervalo es muy corto la medición puede hacer que el computo no sea realizado. Usando la solución de la ecuación de Schrödinger determinar el estado del registro de memoria después del intervalo de tiempo definido a partir del estado actual en el que se encuentre el mismo. Calcular la función de probabilidades de encontrar el sistema en cada uno de los estados posibles utilizando la función: Pr(|i ) = |w i |2 con j = 1,2, ..., n-1 |w j |2 Cuando el cursor es observado, el estado de los qubits de respuesta son proyectados en un estado consistente con la posición del cursor observado, de esta manera los qubits de respuesta permanecen en un estado superpuesto (pero proyectado), después de que el cursor es observado.

8. SI EL COMPUTO NO SE HA REALIZADO VOLVER AL PASO 7 CON EL REGISTRO DE MEMORIA EN EL ESTADO PROYECTADO. En la práctica, el no predecir con certeza el tiempo en el cual el computo estará completo hace que periódicamente el cursor sea observado para ver si termino. Si el cursor se encuentra en el k+1 sitio se puede asegurar que en los qubits de respuesta se encuentra una respuesta valida para el computo. Si el cursor no se encuentra en el k+1 sitio se proyecta el estado del sistema a un estado consistente con el estado en el que se encuentra el cursor, y se vuelve al paso 7. El proceso de lectura

9. LEER LA RESPUESTA.