Semana 3 :Principios de mecánica Cuántica Curso Propedéutico de Física Moderna I Instituto de Ciencias Físicas UNAM Semana 3 :Principios de mecánica Cuántica Antonio M. Juárez Reyes, Instituto de Ciencias Físicas Curso propedéutico, Física moderna 2008

Curso propedéutico, Física moderna 2008 Temario, semana 6 ESTADO SÓLIDO 6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina * 6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos 6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores 6.5- Distribución de Fermi-Dirac 6.6 Teoría de semiconductores. Curso propedéutico, Física moderna 2008

6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos ¿Qué tan buena es la aproximación, para los gases ideales? Monatomic gas CV, m (J K−1 mol−1) CV, m/R He 12.5 1.50 Ne Ar Kr Xe ¡La aproximación es bastante buena! Curso propedéutico, Física moderna 2008

6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Compliquemos las cosas: ¿Qué ocurre con las moléculas diatómicas? R.- Aquí tenemos que considerar otros grados de libertad: Rotaciones y vibraciones. Energía rotacional Clásica Energía vibracional Cuántica Curso propedéutico, Física moderna 2008

6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos EN una molécula diatómica, existen: 3 grados de libertad translacional 3 grados de libertad rotacional 1 grado de libertad vibracional (1 alrededor del eje principal es Muy pequeño y puede despreciarse) En total hay 6 grados de libertad Curso propedéutico, Física moderna 2008

6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos -- Los 3 grados vibracionales contribuyen con R/2 en energía molar total -- Los 2 grados rotacionales contribuyen con R/2 cada uno -- el vibracional con R (R/2 por el término cinético y R/2 por el potencial) TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R ¿Qué se ve en la realidad? Diatomic gas CV, m (J K−1 mol−1) CV, m / R H2 20.18 2.427 CO 20.2 2.43 N2 19.9 2.39 Cl2 24.1 2.90 Br2 32.0 3.84 Curso propedéutico, Física moderna 2008

6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R Diatomic gas CV, m (J K−1 mol−1) CV, m / R H2 20.18 2.427 CO 20.2 2.43 N2 19.9 2.39 Cl2 24.1 2.90 Br2 32.0 3.84 ¿qué valores se obtienen Si uno considera el oscilador Cuántico? Clásica Energía vibracional Cuántica Curso propedéutico, Física moderna 2008

6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R (clásico) (cuántico) TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) = 5R/2 = 2.5R Diatomic gas CV, m (J K−1 mol−1) CV, m / R H2 20.18 2.427 CO 20.2 2.43 N2 19.9 2.39 Cl2 24.1 2.90 Br2 32.0 3.84 Más cercano! ¿Por qué funciona mejor con moléculas ligeras que grandes? Curso propedéutico, Física moderna 2008

6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Modelos para sólidos Clásico: Modelo de P.L Doulong y de A.T Petit (1819) - El producto del calor específico por el peso atómico del elemento sólido es independiente del elemento Cuántico: Modelo de Einstein (1906) (Notas) -empleando el oscilador cuantizado y la distribucuón de boltzmann se obtienen acuerdos con calores específicos a alta y baja temperaturas. Modelo clásico de conductividad de Drude Estadística de Fermi-Dirac. Partículas idénticas. Modelo de metales de Sommerfeld Curso propedéutico, Física moderna 2008

6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Modelos para sólidos Clásico: Modelo de P.L Doulong y de A.T Petit (1819) El producto del calor específico por el peso atómico del elemento sólido es independiente del elemento Richards 1893): 1.- Se modela un sólido como un conjunto de átomos ligados Por resortes, con un acoplamiento débil. 2.- Se sabe que el oscilador armónico lineal contribuye con R unidades al calor específico molar 3.-El modelo de sólido es un oscilador en 3 dimensiones, ergo: Cv = 3R = 5.96 Cal/mol oC Curso propedéutico, Física moderna 2008

6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Modelos para sólidos En general hubo poca concordancia de la predicción de D-P aunque para algunos sólidos a temperatura ambiente, la ley de Doulong y Petit se cumple Razonablemente (aunque falla miserablemente a bajas temperaturas) Curso propedéutico, Física moderna 2008

6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Modelos para sólidos En general hubo poca concordancia de la predicción de D-P aunque para algunos sólidos a temperatura ambiente, la ley de Doulong y Petit se cumple Razonablemente (aunque falla miserablemente a bajas temperaturas) Para resolver estas discrepancias, Einstein ( 1906) desarrolló Un modelo de sólido, para evaluar el calor específico: Curso propedéutico, Física moderna 2008

6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos Para resolver estas discrepancias, Einstein ( 1906) desarrolló Un modelo de sólido, para evaluar el calor específico: PREMISAS 1. Cada átomo en la latiz es un oscilador armónico cuantizado 2. Los átomos vibran a la misma frecuencia Curso propedéutico, Física moderna 2008

Curso propedéutico, Física moderna 2008 Temario, semana 6 ESTADO SÓLIDO La Próxima semana 6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina * 6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos 6.4Teoría clásica de conducción (Modelo de Drude) 6.5- Distribución de Fermi-Dirac 6.6 Teoría de semiconductores. Curso propedéutico, Física moderna 2008

Curso propedéutico, Física moderna 2008 Temario, semana 6 ESTADO SÓLIDO 6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina * 6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos 6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores 6.5- Distribución de Fermi-Dirac 6.6 Modelo de Sommerfeld Capacidad calorífica de Metales 6.6 Teoría de semiconductores. Curso propedéutico, Física moderna 2008

Curso propedéutico, Física moderna 2008 Temario, semana 6 ESTADO SÓLIDO 6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina * 6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung 6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos 6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores 6.5- Distribución de Fermi-Dirac 6.6 Teoría de semiconductores. Modelo de Kronig-Penney Curso propedéutico, Física moderna 2008

Curso propedéutico, Física moderna 2008 Teoría de Bandas En un sistema atómico, los valores permitidos de energía están cuantizados Muchos átomos 1 átomo En un material sólido, los niveles de energía forman bandas Curso propedéutico, Física moderna 2008

Curso propedéutico, Física moderna 2008 Teoría de Bandas ¿por qué se forman bandas al asociar átomos? Recordemos cómo se forma una molécula al sumar dos átomos: Sumando dos átomos en estado 1S se tienen dos combinaciones posibles Una simétrica y otra antisimétrica: Curso propedéutico, Física moderna 2008

Modelo de Kronig Penney Energéticamente Curso propedéutico, Física moderna 2008

Modelo de Kronig Penney Para 3 moléculas, la combinación lineal de orbitales da lugar a 3 niveles: 10 átomos: Curso propedéutico, Física moderna 2008

Modelo de Kronig Penney Para un número Grande de átomos los Niveles desaparecen Y en su lugar aparecen Bandas. Curso propedéutico, Física moderna 2008

Modelo de Kronig Penney Para justificar de manera más formal la aparición de bandas, revisaremos El modelo de Kronig-Penney, para evaluar los niveles de energía permitidos En un material. 1.- Consideramos un modelo unidimensional, en el que un electron sufre la influencia de los iones de la latiz 2 .- Modelamos un cristal como una serie De potenciales periódicos de separación d La región I es el espacio entre iones y la II el lugar donde se encuentran Los iones. Curso propedéutico, Física moderna 2008

Modelo de Kronig Penney V(r)  =  V(r + a) La región I es el espacio entre iones y la II el lugar donde se encuentran Los iones. La dinámica Del electrón estádada por: Curso propedéutico, Física moderna 2008

Modelo de Kronig Penney Las soluciones en estas regiones son: Curso propedéutico, Física moderna 2008

Modelo de Kronig Penney Se determinan a partir de condiciones de continuidad En las fronteras de las regiones, en particular para Psi y para Su derivada, así como de la normalización de PSI EC1 Curso propedéutico, Física moderna 2008

Modelo de Kronig Penney Sin embargo, estas son solo soluciones para las regiones I y II, mientras que Nosotros buscamos soluciones para toda la malla. Con el fin de encontrar la solución general, recurrimos al teorema de Bloch: Curso propedéutico, Física moderna 2008

Modelo de Kronig Penney TEOREMA DE BLOCH “Si x es un vector cualquiera en una latiz periódica e infinita, y ψ es solución a la ecuación de schroedinger para un potencial V(r), entonces, para una latiz que satisfaga V(r)=V(r+t) existe un vector de onda k en la latiz inversa, y una Función periódica uj(k) tales que: Tiene la misma periodicidad del potencial Se puede ver de la ecuación 1 que: Es decir, la función de onda en x es igual a aquella desplazada en a Unidades, más un cambio de fase exp(ika) Curso propedéutico, Física moderna 2008

Modelo de Kronig Penney Evaluando lafunción de onda en d y en a, tenemos: Curso propedéutico, Física moderna 2008

Modelo de Kronig Penney Y de las derivadas, se puede probar que: Curso propedéutico, Física moderna 2008

Modelo de Kronig Penney En suma, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: (1) (2) (3) Curso propedéutico, Física moderna 2008

Modelo de Kronig Penney En suma, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: (1) (2) (3) Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debe Ser cero. Esto lleva a la siguiente condición Curso propedéutico, Física moderna 2008

Modelo de Kronig Penney En suma, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: (1) (2) (3) Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debe Ser cero. Esto lleva a la siguiente condición Curso propedéutico, Física moderna 2008

Modelo de Kronig Penney Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debe Ser cero. Esto lleva a la siguiente condición Esta condición establece constricciones sobre las energías posibles en el potencial, y los vectores de onda posibles. Curso propedéutico, Física moderna 2008

Modelo de Kronig Penney Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debe Ser cero. Esto lleva a la siguiente condición Soluciones válidas No hay soluciones que satisfagan el teorema De Bloch. Curso propedéutico, Física moderna 2008

Modelo de Kronig Penney Algunas soluciones numéricas Curso propedéutico, Física moderna 2008

Modelo de Kronig Penney Algunas soluciones numéricas Curso propedéutico, Física moderna 2008

Curso propedéutico, Física moderna 2008 NOTAS La tareas se subirá hoy en la tarde Curso propedéutico, Física moderna 2008

Curso propedéutico, Física moderna 2008 NOTAS Dependiendo de el valor Del gap de energía se tienen conductores, semiconductores Y aislantes. Curso propedéutico, Física moderna 2008

Curso propedéutico, Física moderna 2008 NOTAS La tarea de toda esta seccion se subirá el día de mañana. - Curso propedéutico, Física moderna 2008