Tema 5 Grafos. Implementación (I).

Implementación de Grafos: Matriz de Adyacencias

Matriz de adyacencias Tabla bidimensional que guarda las adyacencias entre pares de vértices de un grafo. Vértices: enteros en el conjunto {0,1,…,n-1} Aristas: pares de tales enteros. Cada fila y cada columna representan un vértice del grafo y cada posición representa una arista (o la ausencia de esta) cuyo vértice origen se encuentra en la fila y vértice final se encuentra en la columna.

Ejemplos Grafo no dirigido Grafo dirigido matriz simétrica a b c d e a 1 a b c d e 1 matriz simétrica

Representación en matriz de adyacencias Los vértices se representan mediante índices. a b c d e Vértices: a b c d e Índices: 0 1 2 3 4 Matriz de adyacencias se implementa como un vector A bidimensional de n x n donde: La celda [i, j] guarda información referente a la arista (v, w) donde v es el vértice con índice i y w es el vértice con índice j. Para grafos no etiquetados, las celdas guardan valores booleanos: true: existe la arista false: no existe la arista

Clase GrafoMA en JAVA public class GrafoMA implements Grafo { boolean dirigido; int maxNodos; int numVertices; boolean matrizAdy[ ][ ]; } Grafos simples, dirigidos o no dirigidos, no etiquetados Dos constructores: grafo vacío y grafo de tamaño n. public GrafoMA (boolean d) { maxNodos = numVertices = 0; dirigido = d; } public GrafoMA (int n, boolean d) { maxNodos = n; numVertices = 0; matrizAdy = new boolean[n][n];

Insertar aristas La inserción de una arista (i, j) en la matriz supone asignar a la celda correspondiente el valor true. En grafo dirigido: las filas representan el vértice origen (i) las columnas representan el vértice destino (j) En grafo no dirigido: La arista (i,j) es igual a la arista (j,i) (para que la matriz mantenga la propiedad de la simetría. public void insertaArista (int i, int j) { matrizAdy [i] [j] = true; if (!dirigido) matrizAdy [j] [i] = matrizAdy [i] [j]; }

Eliminar aristas La eliminación de una arista (i, j) en la matriz supone asignar a la celda correspondiente el valor false. public void eliminarArista (int i, int j) { matrizAdy [i] [j] = false; if (!dirigido) matrizAdy [j] [i] = false; }

Insertar vértices El tratamiento de los vértices implicaría modificar el tamaño de la tabla (o modificar los índices en caso de querer eliminar un vértice): Simplificación del método: No se permite añadir vértices si se supera el tamaño máximo del grafo (valor del campo maxNodos). Si el número de nodos es menor al tamaño máximo, se asigna el valor false a las celdas correspondientes y se actualiza el campo numVertices

Insertar vértices Método que inserta n vértices en la tabla si existe espacio para ellos: public void insertaVertice (int n) { if ( n > maxNodos - numVertices ) System.out.println ("Error, se supera el número de nodos máximo"); else { for (int i = 0; i < numVertices + n; i++) { for (int j = numVertices; j < numVertices + n; j++) matrizAdy [i] [j] = matrizAdy [j] [i] = false; } numVertices = numVertices + n;

Grado de salida y entrada de un vértice (I) b c d e Grado de salida: Dado que las filas representan los vértices origen, el grado de salida de un vértice i es el valor de la suma de la fila i. Grado de entrada: Dado que las columnas representan los vértices destino, el grado de entrada de un vértice j es el valor de la suma de la columna j. a b c d e 1 Grado de salida (a) = 1 Grado de entrada (a)= 2

Grado de salida y entrada de un vértice (II) public int gradoIn (int x) { int gIn = 0; for (int i = 0; i < numVertices; i++) //recorrido por filas if (matrizAdy [i] [x]) //manteniendo la posición de la columna en [ x ] gIn++; return gIn; } public int gradoOut (int x) { int gOut = 0; for (int j = 0; j < numVertices; j++) //recorrido por columnas if (matrizAdy [x] [j]) // manteniendo la posición de la fila en [ x ] gOut++; return gOut; }

Incidencia de un vértice y tamaño del grafo Grafo no dirigido: la incidencia de un vértice viene dada por su grado de entrada Grafo dirigido: grado de entrada + grado de salida Tamaño: Definido por el número de aristas. Si el grafo es no dirigido, las aristas se cuentan dos veces, luego se ha de dividir entre dos el número de aristas contadas. public int incidencia (int i) { if (!dirigido) return gradoIn (i); else return gradoIn (i) + gradoOut (i); } public int tamano () { int tm = 0; for (int I = 0; I < numVertices; i++) for (int j =0; j < numVertices; j++) if (matrizAdy [i] [j]) tm++; if (dirigido) return tm; else return tm/2; }

Método que comprueba si un grafo es dirigido Para comprobar si un grafo es dirigido o no, basta con comprobar si se trata de una matriz simétrica, donde la posición [i, j] = [j, i]. public boolean esDirigido (Grafo g) { boolean dir = true; for (int I = 0; I < numVertices; i++) for (int j = 0; j < numVertices; j++) if (matrizAdy [i] [j] != matrizAdy [j] [i]) dir = false; return dir; }