Introducción a las Señales Aleatorias ISAL Capítulo 3: OPERACIONES CON V.A.’s Material de partida: Principios de probabilidad, variables aleatorias y señales aleatorias Peyton, Z. & Peebles, Jr. (Capítulo 3) Bartolo Luque Departamento Matemática Aplicada Y Estadística E.T.S.I. Aeronáuticos, UPM. Plaza Cardenal Cisneros, 3 Madrid 28040, Spain. Tf.: 91 336 63 26 Bartolo@dmae.upm.es http:/matap.dmae.upm.es/bartolo.html

Operaciones sobre una variable aleatoria El concepto “Esperanza Matemática”: O “valor esperado” surgió en el contexto de los juegos de azar como promedio de las ganancias de un jugador ponderadas por la probabilidad con que puede lograrlas Es un concepto fundamental en la Teoría de la probabilidad: MEDIA de una v.a X E[X]: Esperanza Matemática de X: Media de X: Valor esperado de X V.a continua V.a. discreta

Operaciones sobre una variable aleatoria MEDIA de una v.a X Interpretación frecuencial E[X] es el límite de la media aritmética de los valores obtenidos Es una medida de “centralización” (dónde está centrada)

Operaciones sobre una variable aleatoria MEDIA CONDICIONAL de una v.a X MEDIA de una v.a compleja Z=X+jY

Operaciones sobre una variable aleatoria Valor Esperado de una función de una v.a X: g(X) Veremos que pueden deducirse muchos “parámetros” útiles relacionados con una v.a. X hallando el valor esperado de una función real g(.) de X E[ ], “es un operador lineal”, si g(X) es una suma de g(X)=g1(X)+g2(X)+... E[g(x)] sería la suma de E[g1(X)]+E[g2(X)]+...

Operaciones sobre una variable aleatoria MOMENTOS de una v.a X Momentos con respecto al origen Monentos centrales

Operaciones sobre una variable aleatoria VARIANZA de una v.a X El momento central de orden 2 = VARIANZA de la v.a Para una v.a. Discreta:

Calcular la esperanza de la variable aleatoria X en el ejemplo de lanzar dos dados:

Calcula la varianza y desviación típica de la variable aleatoria X en el ejemplo de los dos dados:

Juegos A un juego de azar podemos asignarle una variable aleatoria X, cuyos valores son las ganancias correspondientes a los posibles resultados. La esperanza matemática de la variable aleatoria X representa el beneficio medio o ganancia media que se obtiene en cada jugada cuando se juega un número elevado de veces. Si la esperanza matemática es 0 se dice que el juego es justo. Si es mayor que 0 se dice que el juego es favorable al jugador. Si es menor que 0 se dice que perjudica al jugador y no es favorable. Sea el juego que consiste en sacar una bola de una urna que contiene 7 bolas rojas y 3 bolas negras. Ganamos 50 euros si la bola extraída es roja y pagamos 150 euros en el caso de que sea negra. ¿Qué podemos esperar si jugamos muchas veces?

Espacio muestral E = {R, N} Espacio muestral E = {R, N}. Consideramos las ganancias como positivas y las pérdidas negativas:                                                                                 Variable aleatoria X Función de probabilidad R 50 0,7 0,3 N -150 Ganancia media

3er momento: describe la asimetría de la distribución. Los momentos de orden superior son menos robustos y, por lo tanto, menos utilizados 3er momento: describe la asimetría de la distribución. Asimetría (skewness) 4o momento: describe el aplanamiento de la distribución. Kurtosis Se suele medir en una escala que toma 3 como su cero, ya que éste es el valor de la kurtosis de una distribución normal estándar (Figs. © Press et al., “Numerical Recipes”)

© X. Rong Li, Probabilty, Random Signals and Statistics, CRC Press

© X. Rong Li, Probabilty, Random Signals and Statistics, CRC Press

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Distribución Binomial derivando respecto a p multiplicando por p

Distribución Binomial

np== =no. medio de eventos esperado © Hwei Hsu, Probability, Random Variables, & Random Processes, Mc Graw Hill

Ejemplos pp 33 Internet, llamadas telef...

Función generatriz de momentos Discreta Continua

Función característica Observemos que: a partir de la anti-transformada de Fourier de la función característica obtenemos la densidad de probabilidad.

Desarrollando en Taylor la función característica alrededor de t = 0:

Calculemos la esperanza y la varianza de la distribución exponencial.

Transformaciones de variables aleatorias Función de una variable aleatoria T lineal, no lineal, segmentada, escalonada,... X continua, discreta, o mixta

Transformaciones de variables aleatorias T lineal, no lineal, segmentada, escalonada,... X continua, discreta, o mixta CALCULO DIRECTO DE LA F.D: F(Y)

CÁLCULO DIRECTO DE LA F.D: F(Y)

(en este caso) y<a ; ay<c; c  y<d; d  y<b; yb CÁLCULO DIRECTO DE LA F.D: F(y) Identificar las diferentes regiones con “comportamientos” diferentes (en este caso) y<a ; ay<c; c  y<d; d  y<b; yb En cada región hay un “modelo” distinto de transformación de y a x

CÁLCULO DIRECTO DE LA F.D: F(y) Obtener F(y) en función de F(x) para cada región teniendo en cuanta su modelo de transformación particular

Ejercicios de Transformaciones de v.a. Para una F(x) “genérica” Notar que una F(x) “particular” puede suponer identificar otras regiones...

Ejercicios de Transformaciones de v.a. Para una F(x) “particular”

Ejercicios de Transformaciones de v.a. .... Una vez obtenida F(x) puede obtenerse la f.d.p f(x) derivando...

Ejercicios de Transformaciones de v.a. .... Que habría que particularizarse para cada caso...

Ejercicios de Transformaciones de v.a. Densidad Distribución Transformación o cambio de variable aleatoria ¿Cuál será la función de densidad de probabilidad transformada g(y)?

Transformaciones de variables aleatorias T lineal, no lineal, segmentada, escalonada,... X continua, discreta, o mixta X v.a. Continua : CÁLCULO DE F(Y) y f(y) DOS CAMINOS: Cálculo de la Función de Distribución F(Y), luego derivar para obtener f(y) Obtener f(y) directamente: TEOREMA FUNDAMENTAL

X v.a. Continua : CÁLCULO DE F(Y) y f(y) DOS CAMINOS: Cálculo de la Función de Distribución F(Y), luego derivar para obtener f(y) Obtener f(y) directamente: TEOREMA FUNDAMENTAL T(x) monótona creciente

X v.a. Continua : CÁLCULO DE F(Y) y f(y) DOS CAMINOS: Cálculo de la Función de Distribución F(Y), luego derivar para obtener f(y) Obtener f(y) directamente: TEOREMA FUNDAMENTAL T(x) monótona creciente

T(x) monótona (Ejemplo) creciente F.D. Log-normal

X v.a. Continua : CÁLCULO DE F(Y) y f(y) DOS CAMINOS: Cálculo de la Función de Distribución F(Y), luego derivar para obtener f(y) Obtener f(y) directamente: TEOREMA FUNDAMENTAL T(x) monótona decreciente

X v.a. Continua : CÁLCULO DE F(Y) y f(y) DOS CAMINOS: Cálculo de la Función de Distribución F(Y), luego derivar para obtener f(y) Obtener f(y) directamente: TEOREMA FUNDAMENTAL T(x) monótona decreciente

T(x) monótona (Ejemplo) decreciente y 1 -1 T(x) x y 1 -1 T-1(y)

T(x) monótona (Ejemplo) decreciente y 1 -1 T-1(y) f(y) c ce-c -1 1 y -1

T(x) no monótona, no constante en ningún tramo X v.a. Continua : CÁLCULO DE F(Y) y f(y) DOS CAMINOS: Cálculo de la Función de Distribución F(Y), luego derivar para obtener f(y) Obtener f(y) directamente: TEOREMA FUNDAMENTAL T(x) no monótona, no constante en ningún tramo TEOREMA FUNDAMENTAL

T(x) constante en un intervalo

X v.a. continua pero Y será una v.a. discreta T(x) escalonada x 1 yk T(x) yk-1 X v.a. continua pero Y será una v.a. discreta

T(x) escalonada

Transformaciones de variables aleatorias T lineal, no lineal, segmentada, escalonada,... X continua, discreta, o mixta X v.a. DISCRETA

Transformaciones de variables aleatorias X v.a. DISCRETA T(x) yk-1 yk x xi+1 xi xi+2

Transformaciones de variables aleatorias X v.a. DISCRETA Calcular fY(y)