Funciones Ortogonales y Series de Fourier CAPÍTULO 12

Contenidos 12.1 Funciones Ortogonales 12.2 Series de Fourier 12.3 Series de Fourier de Cosenos y Senos 12.4 Series d eFourier Complejas 12.5 Problema de Sturm-Liouville 12.6 Series de Bessel y Legendre

12.1 Funciones Ortogonales DEFINICIÓN 12.1 El producto interior de dos funciones f1 y f2 en un intervalo [a, b] es el número Productos Interiores de Funciones Dos funciones f1 y f2 son ortogonales en un intervalo [a, b] si DEFINICIÓN 12.2 Funciones Ortogonales

Ejemplo Las funciones f1(x) = x2, f2(x) = x3 son ortogonales en el intervalo [−1, 1] puesto que

Se dice que un conjunto de funciones de valores reales DEFINICIÓN 12.3 Se dice que un conjunto de funciones de valores reales {0(x), 1(x), 2(x), …} es ortogonal en un intervalo [a, b] si (2) Conjunto Ortogonal

Conjuntos Ortonormales La expresión (u, u) = ||u||2 se llama norma cuadrada. Por tanto podemso definir la norma cuadrada de una función como (3) Si {n(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b] con la propiedad de que ||n(x)|| = 1 para todo n, entonces se llama conjunto ortonormal en [a, b].

Ejemplo 1 Demuestre que el conjunto {1, cos x, cos 2x, …} es ortogonal en [−, ]. Solución Sea 0(x) = 1, n(x) = cos nx, comprobamos que

Ejemplo 1 (2) y

Ejemplo 2 Determine la norma de cada función del Ejemplo 1. Solución

Analogía con Vectores Recordando de la teoría de vectores en 3 dimensiones que (4) tenemos (5) Así podemos hacer una analogía entre funciones y vectores.

Desarrollo en Series Ortogonales Suponga que {n(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b]. Si f(x) está definida en [a, b], escribimos primero (6) Then

Como {n(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b], cada término en el lado derecho es nulo, excepto m = n. En este caso tenemos

En otras palabras, (7) (8) Entonces (7) se transforma en (9)

Se dice que un conjunto de funciones de valores reales DEFINICIÓN 12.4 Se dice que un conjunto de funciones de valores reales {0(x), 1(x), 2(x), …} es ortogonal con respecto a una función peso w(x) en [a, b], si Conjunto Ortogonal y Función Peso Bajo la condición de la definición anterior, tenemos (10) (11)

Conjuntos Completos Un conjunto ortogonal es completo si la única función ortogonal continua a cada miembro del conjunto es función nula.

12.2 Series de Fourier Una Serie Trigonométrica Podemos demostrar que el conjunto (1) es orthogonal en [−p, p]. Así una función f definida en [−p, p] puede escribirse como (2)

Ahora calculamos los coeficientes Ahora calculamos los coeficientes. (3) Como cos(nx/p) y sin(nx/p) son ortogonales a 1 en este intervalo, entonces (3) se transforma en Así tenemos (4)

Además, (5) por ortogonalidad tenemos

y Así (5) se reduce a y por tanto (6)

Finalmente, si multiplicamos (2) por sin(mx/p) y usamos y obtenemos que (7)

La serie de Fourier de una función f definida en el DEFINICIÓN 12.5 La serie de Fourier de una función f definida en el intervalo (−p, p) se determina mediante (8) donde (9) (10) (11) Series de Fourier

Ejemplo 1 Desarrolle (12) en una serie de Fourier. Solución La gráfica de f se muestra en la Fig 12.1 con p = .

Ejemplo 1 (2) ←cos n = (-1)n

Ejemplo 1 (3) De (11) tenemos Po tanto (13)

Fig 12.1

Sean f y f’ continuas por partes en el intervalo (−p, p); esto es, TEOREMA 12.1 Sean f y f’ continuas por partes en el intervalo (−p, p); esto es, sean f y f’ continuas excepto en un número finito de puntos en el intervalo y discontinuidades finitas sólo en estos puntos. Entonces al serie de Fourier de f en el intervalo converge a f(x) en un punto de continuidad. En un punto de discontinuidad, la serie de Fourier converge al promedio donde f(x+) y f(x－) denotan el limite de f en x por la derecha y por la izquierda, respectivamente. Condiciones de Convergencia

Ejemplo 2 La función f en el Ejemplo 1, es continua en (−, ) excepto en x = 0. Así que la serie (13) converge a en x = 0.

Extensión Periódica Fig 12.2 es la extensión periódica de la función f del Ejemplo 1. Así que la discontinuidad en x = 0, 2, 4, … converge a y en x = , 3, … converge a

Fig 12.2

Secuencia de Sumas Parciales Secuencia de Sumas Parciales Para (13), escribimos las sums parciales como Fig 12.3.

Fig 12.3

12.3 Series de Fourier de Coseno y Seno Funciones Pares e Impares par si f(−x) = f(x) impar si f(−x) = −f(x)

Fig 12.4 Función Par

Fig 12.5 Función Impar

(a) El producto de dos funciones pares es par. TEOREMA 12.2 (a) El producto de dos funciones pares es par. (b) El producto de dos funciones impares es impar. (c) El producto de una función par y uan función impar es impar. (d) La suma (diferencia) de dos funciones pares es par. (e) La suma (diferencia) de dos funciones impares es impar. (f) Si f es par, entonces (g) Si f es impar, entonces Propiedades de Funciones Pares e Impares

Series de Cosenos y Senos Si f es par en (−p, p) entonces De manera similar, si f es impar en (−p, p) entonces

DEFINICIÓN 12.6 (i) La serie de Fourier de una función par f en el intervalo (−p, p) es la serie de cosenos (1) donde (2) (3) Series de Fourier de Cosenos y Senos

(continuación) DEFINICIÓN 12.6 (ii) La serie de Fourier de una función impar f en el intervalo (−p, p) es la serie de senos (4) donde (5) Series de Fourier de Cosenos y Senos

Ejemplo 1 Desarrolle f(x) = x, −2 < x < 2 en una serie de Fourier. Solución Estudio de la Fig 12.6, muestra que es una función par en (−2, 2) y p = 2. Así (6) Fig 12.7 es la extensión periódica de la función del Ejemplo 1.

Fig 12.6

Fig 12.7

Ejemplo 2 L afunción representada en la Fig 12.8 es impar en (−, ) con p = . De (5), y por tanto (7)

Fig 12.8

Fenómeno de Gibbs Fig 12.9 muestra las sumas parciales de (7). Podemos ver qeu la gráfica tiene picos pronunciados cerca de las discontinuidades. Este “exceso” SN no se alisa sino que permanece constante aun cuando el valor de N sea grande. Este comportamiento se conoce como el fenómeno de Gibbs.

Fig 12.9

Desarrollos en Semiintervalos Si una función f está definida sólo para 0 < x < L, podemos suministrar una función arbitraria para −L < x < 0. Si y = f(x) está definida para 0 < x < L, Reflejar al gráfica respecto al eje y en −L < x < 0; la función hora es par. Fig 12.10. Reflejar la gráfica por el origen sobre −L < x < 0; la función ahora es impar. Fig 12.11. definir f en −L < x < 0 mediante f(x) = f(x + L). Fig 12.12.

Fig 12.10

Fig 12.11

Fig 12.12

Ejemplo 3 Desarrolle f(x) = x2, 0 < x < L, (a) en una serie de cosenos, (b) en una serie de senos (c) en una serie de Fourier. Solución La gráfica está representada en la Fig 12.13.

Ejemplo 3 (2) (a) Entonces (8)

Ejemplo 3 (3) (b) De ahí que (9)

Ejemplo 3 (4) (c) Con p = L/2, n/p = 2n/L, tenemos Por tanto (10) La gráfica de esta extensión se muestra en la Fig 12.14.

Fig 12.14

Fuerza Impulsora Periódica Considere el siguiente sistema físico (11) donde (12) es un desarrollo en serie de senos en un semiintervalo.

Ejemplo 4 Recurriendo a (11), m = 1/16 de slug, k = 4 lb/pie, la fuerza f(t) con período 2 se muestra en la Fig 12.15. Aunque f(t) actúa en el sistema para t > 0, podemos ampliar al gráfica con período 2 al eje t negativo para obtener una función impar. Con p = 1, de (5) obtenemos De (11) obtenemos (13)

Ejemplo 4 (1) Para hallar la solución particular xp(t), sustituimos (12) en (13). Así Por tanto (14)

12.4 Series de Fourier Complejas Formula de Euler eix = cos x + i sin x e-ix = cos x  i sin x (1)

Series de Fourier Complejas De (1), tenemos (2) Usando (2) para remplazar cos(nx/p) y sin(nx/p), se tiene (3)

donde c0 = a0/2, cn = (an  ibn)/2, c-n = (an + ibn)/2 donde c0 = a0/2, cn = (an  ibn)/2, c-n = (an + ibn)/2. Donde la función f es real, cn y c-n son números complejos conjugados. Tenemos (4)

(5)

(6)

Las Series de Fourier Complejas de función f definida DEFINICIÓN 12.7 Las Series de Fourier Complejas de función f definida en un intervalo (p, p) están dadas por (7) donde (8) Series de Fourier Complejas

Si f satisface la hopótesis del Teorema 12 Si f satisface la hopótesis del Teorema 12.1, una serie d eFourier compleja converge a f(x) en un punto de continuidad y al promedio en un punto de discontinuidad.

Ejemplo 1 Desarrolle f(x) = e-x,  < x <, en una serie de Fourier compleja. Solución con p = , (8) se obtiene

Ejemplo 1 (2) Empleando la fórmula de Euler De ahí se tiene que (9)

Ejemplo 1 (3) Entonces la serie de Fourier compleja es (10) La serie (10) converge al desarrollo de período 2 de f.

Frecuencia Fundamental El período fundamental es T = 2p y por tanto p = T/2. La serie de Fourier se transforma en (11) donde  = 2/T se llama frecuencai angular fundamental.

Espectro de Frecuencias Si f es periódica y tiene período fundamental T, el conjunto de puntos (n, |cn|) se llama espectro de frecuencias de f.

Ejemplo 2 En el Ejemplo 1,  = 1, por lo cual n ecibe valores de 0, 1, 2, … Usando , vemos de (9) que Fig 12.17.

Fig 12.17

Ejemplo 3 Halle el espectro de la onda mostrada en Fig12.18. La onda es la extensión periódica de la función f:

Ejemplo 3 (2) Solución Aquí T = 1 = 2p so p = ½. Como f es 0 en (½, ¼) y (¼, ½), (8) se transforma en

Ejemplo 3 (3) Es fácil de comprobar que Fig 12.19 ilustra el espectro de frecuencias de f.

Fig 12.19

12.5 Problema de Sturm-Liouville Valores propios y funciones propias Recuerde el ejemplo Ejemplo 2, Sec 3.9 (1) Esta ecuación posee soluciones no triviales sólo cuando  toma valores n = n22/L2, n = 1, 2, 3,… llamados valores propios. Las soluciones no triviales correspondientes y = c2 sin(nx/L) o simplemente y = sin(nx/L) se llaman funciones propias.

Ejemplo 1 Se deja como ejercicio demostrar que los tres casos posibles:  = 0,  = 2 < 0,  = 2 > 0, ( > 0), que los valores propios y las funciones propias para (2) son respectivamente n = n2 = n22/L2, n = 0, 1, 2, …y y = c1 cos(nx/L), c1  0.

Problema Regular de Sturm-Liouville Sean p, q, r y r funciones de valores reales continuas en [a, b], y sea r(x) > 0 y p(x) > 0 para todo x en el intervalo. Entonces se dice que Resolver (3) Sujeta a (4) (5) es un problema regular de Sturm-Liouville. Los coeficientes en (4), (5) se suponen reales e independientes de .

1 < 2 < 3 < … < n < … tal que n →  cuando n → . TEOREMA12.3 (a) Existe un número infinito de valores propios reales que se pueden arreglar en orden creciente 1 < 2 < 3 < … < n < … tal que n →  cuando n → . (b) Para cada vlor propio hay sólo uan función propia (excepto para multiplos constantes no nulos). (c) Las funciones propias que corresponden a diferentes valores propios son linealmente independientes. (d) El conunto d efunciones propias que corresponden al conjunto de valores propios es ortogonal con respecto a la función pesop(x) en el intervalo [a, b]. Propiedades del Problema Regular de Strum-Liouville

Demostración de(d) Sean ym e yn be funciones propias correspondientes a valores propios m y n. Entonces (6) (7) De (6)yn  (7)ym tenemos

Integrando la ecuación anterior de a a b, se tiene (8) Como todas las soluciones deben satisfacer las condiciones de frontera (4) y (5), de (4) tenemos

Para que A1 y B1 no nulas ambas, satisfagan el sistema, el determinante de los coeficientes debe valer cero De manera similar de (5), tenemos Así el lado derecho de (8) vale cero. De ahí tenemos la relación de ortogonalidad (9)

Ejemplo 2 Resolver (10) Solución Se debería verificar que para  = 0 y  < 0, (10) sólo posee la solución trivial. Para  = 2 > 0,  > 0, la solución general es y = c1 cos x + c2 sin x. Ahora la condición y(0) = 0 implica c1 = 0, así que y = c2 sin x. La segunda condición y(1) + y(1) = 0 implica c2 sin  + c2 cos. = 0.

Ejemplo 2 (2) Escogiendo c2  0, tenemos (11) De Fig 12.20, vemos que hay infinitas soluciones para  > 0. Es fácil obtener los valores de  > 0. Así que los valores propios son n = n2, n = 1, 2, 3, … y las funciones propias correspondientes son yn = sin nx.

Fig 12.20

Problema Singular de Sturm-Liouville Existen varias condiciones para (3) r(a) = y se especifica una condición de frontera del tipo provisto en (5) en x = b; (12) r(b) = 0 y se especifica una condición de frontera del tipo provisto en (4) en x = a. (13) r(a) = r(b) = 0 y no se especifica ninguna condición de frontera en x = a ni en x = b; (14) r(a) = r(b) y las condiciones de frontera y(a) = y(b), y’(a) = y’(b). (15)

Observaciones: La ecuación (3) que satisface (12) y (13) es un problema singular de valores en la frontera. La ecuación (3) que satisface (15) es un problema periódico de valores en la frontera.

Al suponer que las soluciones de (3) están acotadas en [a, b], de (8) se tiene Si r(a) = 0, entonces la relación de ortogonalidad (9) se cumple sin ninguna condición en la frontera en x = a; (16) Si r(b) = 0 , entonces la relación de ortogonalidad (9) se cumple sin ninguna condición en la frontera en x = b; (17) Si r(a) = r(b) = 0, entonces la relación de ortogonalidad (9) se cumple sin ninguna condición en la frontera en x = a ni en x = b; (18) Si r(a) = r(b), entonces la relación de ortogonalidad (9) se cumple con las condiciones de frontera periódicas y(a) = y(b), y’(a) = y’(b). (19)

Forma Autoconjunta En realidad (3) es al misma que (20) Así podemos escribir la ecuación diferencial de Legendre como (21) Aquí hallamos que el coeficiente de y es al derivada del coeficiente de y.

Además, si los coeficientes son continuos y a(x)  0 para todo x en un intervalo, entonces cualquier eduación diferencial de segundo orden (22) swe puede reformular en la llamada forma autoadjunta (3). Para entender el hecho anterior, empezamos desde a1(x)y + a0(x)y = 0 Sea P = a0/a1,  = exp( Pdx),  = P, entonces y + Py = 0, y + Py = 0, Así d(y)/dx = 0.

Ahora para (22), sea Y = y, el factor de integración e [b(x)/a(x)] dx. En este caso (22) se transforma en En resumen, (22) puede transformarse en

Además, (23) es la misma que (3)

Ejemplo 3 En la Sec 5.3, vimos que la solución general de al ecuación diferencial paramétrica de Bessel Dividiendo la ecuación de Bessel entre x2 y multiplicando la ecuación resultante por el factor de integración e [(1/x)] dx = eln x = x, tenemos

Ejemplo 3 (2) Ahora r(0) = 0, y de las dos soluciones Jn(x) y Yn(x) sólo Jn(x) está acotada en x = 0. De (16), el conjunto {Jn(ix)}, i = 1, 2, 3, …, es ortogonal con respecto a la función peso p(x) = x en [0, b]. Así (24) Siempre quei y por consiguiente los valores propios i = i2 se definen por medio de un acondición límite en x = b del tipo provisto en (5): A2Jn(b) + B2Jn(b) = 0 (25)

Ejemplo 4 De (21), identificamos q(x) = 0, p(x) = 1 y  = n(n + 1). Recuerde de la Sec 5.3 que cuando n = 0, 1, 2, …, la ED de Legendre posee soluciones polinomiales Pn(x). Observamos que r(−1) = r(1) = 0 junto con el hecho de que Pn(x) son las únicas soluciones de (21) que están acotadas en [−1, 1], para concluir que el conjunto {Pn(x)}, n = 0, 1, 2, …, es ortogonal con respecto a la función peso p(x) = 1 en [−1, 1]. Así

12.6 Series de Bessel y Legendre Series de Fourier-Bessel Hemos demostrado que{Jn(ix)}, i = 1, 2, 3, …es ortogonal con respecto a p(x) = x en [0, b] cuando i esté definida por medio de (1) Esta serie ortogonal, o serie de Fourierde generalizada, el desarrollo de una función f definida en (0, b) en términos de este conjunto ortogonal es (2) donde (3)

La norma cuadrada Jn(ix) se define mediante La norma cuadrada Jn(ix) se define mediante (4) Esta serie (2) se llama series de Fourier-Bessel.

Relaciones de Recurrencia Diferenciales Recordando (20) y (21) da la Sec 5.3, tenemos las relaciones de recurrencia diferenciales como (5) (6)

Norma Cuadrada El valor de (4) depende de i = i2. Si y = Jn(x) tenemos que Al multiplicar por 2xy’, se tiene

Integrandopor partes [0, b], se obtiene Como y = Jn(x), el límite inferior es 0 para n > 0, porque Jn(0) = 0. Para n = 0, en x = 0. Así (7) donde y = Jn(x).

Ahora se consideran tres casos de (1). Caso I: Si se elige A2 = 1 y B2 = 0, entonces (1) es (8) Hay un número infinito de raíces positivas xi = ib de (8) (see Fig 5.3), que definen i = xi/b. Los valores propios son positivos y i = i2 = (xi/b)2. De las raíces negativas de (8) no resulta ningún nuevo valor propio puesto que Jn(−x) = (−1)nJn(x).

El número 0 no es un valor propio de para ningún n puesto que Jn(0) = 0, n= 1, 2, 3, … y J0(0) = 1. Cuando (6) se escribe como xJn(x) = nJn(x) – xJn+1(x), de (7) y (8) se deduce (9)

Caso II: Si se elige A2 = h  0 y B2 = b, entonces (1) es Caso II: Si se elige A2 = h  0 y B2 = b, entonces (1) es (10) Hya un número infinito de raíces positvas xi = ib para n = 1, 2, 3, …. Como antes, i = i2 = (xi/b)2.  = 0 no es un valor propio para n = 1, 2, 3, …. Sustituyendo ibJn(ib) = – hJn(ib) en (7), se tiene (11)

Caso III: Si h = 0 y n = 0 en (10), i se definen da las raíces Caso III: Si h = 0 y n = 0 en (10), i se definen da las raíces (12) Aunque (12) es sólo un caso especial de (10), es la única solución para la cual  = 0 es un valor propio. Para n = 0, el resultado en (6) implica que J0(b) = 0 es equivalente a J1(b) = 0.

Como x1 = 1b = 0 es una raíz de la última ecuación y puesto que J0(0) = 1 no es trivial, deducimos de 1 = 12 = (x1/b)2 que 1 es un valor propio. Pero no podemso utilizar (11) cuando 1 = 0, h = 0, n = 0, y n = 0. Sin embargo de (4) tenemos (13) Para i > 0 podemos usar (11) con h = 0 y n = 0: (14)

La serie de Fourier-Bessel de una función f definida en DEFINICIÓN 12.8 La serie de Fourier-Bessel de una función f definida en el intervalo (0, b) se expresa mediante (i) (15) (16) donde i se definen mediante Jn(b) = 0. Serie de Fourier-Bessel

(continuación) (ii) (17) (18) DEFINICIÓN 12.8 (ii) (17) (18) donde i se definen mediante hJn(b) + bJ’n(b) = 0. Serie de Fourier-Bessel

(continuación) (iii) (19) (20) DEFINICIÓN 12.8 (iii) (19) (20) donde the i se definen mediante J’0(b) = 0. Serie de Fourier-Bessel

Si f y f’ son continuas por partes en el intervalo abierto TEOREMA 12.4 Si f y f’ son continuas por partes en el intervalo abierto (0, b), entonces un desarrollo de Fourier-Bessel de f converge a f(x) en algún punto donde f es continua y al promedio [f(x+) + f(x-)] / 2 en algún punto donde f es discontinua. Condiciones para Convergencia

Ejemplo 1 Desarrolle f(x) = x, 0 < x < 3, enn una serie de Fourier-Bessel , usando función de Bessel de orden uno que satisfacen la condición límite J1(3) = 0. Solución Empleamos (15) donde ci se expresan mediante (16) con b = 3:

Ejemplo 1 (2) Sea t = i x, dx = dt/i, x2 = t2/i2, y use (5) en la forma d[t2J2(t)]/dt = t2J1(t):

Ejemplo 2 Si las i del Ejemplo 1 se definen mediante J1(3) + J1(3) = 0, lo único que cambia en el desarrollo es el valor de la norma cuadrada. Como 3J1(3) + 3J1(3) = 0 que concuerda con (10) cuando h = 3, b = 3 y n = 1. Así (18) y (17) producen a su vez

La serie de Fourier-Legendre de una función f definida DEFINICIÓN 12.9 La serie de Fourier-Legendre de una función f definida en el intervalo (－1, 1) se expresa mediante (i) (21) (22) donde i se definen mediante Jn(b) = 0. Serie de Fourier-Legendre

Si f y f’ son continuas por partes en el intervalo abierto TEOREMA 12.5 Si f y f’ son continuas por partes en el intervalo abierto (－1, 1), entonces un desarrollo en serie de Fourier-Legendre (21) converge a f(x) en algún punto donde f es continua y al promedio [f(x+) + f(x-) / 2 en un punto donde f es discontinua. Condiciones de Convergencia

Ejemplo 3 Escriba los cuatro primeros términos no nulos del desarrollo de Fourier-Legendre de Solución De la página 269 y (22):

Ejemplo 3 (2)

Fig 12.22

Otra Forma de la Serie Si se establece x = cos , x = 1 implica que  = 0, x = −1 implica que  = . Como dx = −sin  d, (21) y (22) se transforma, respectivamente, en (23) (24) donde f(cos ) se ha remplazado por F().