5.3 Funciones Especiales Ecuación de Bessel de orden v (1) donde v  0, y x = 0 es un punto singular regular de (1). Las soluciones de (1) se llaman funciones de Bessel. Lengender’s Equation de order n (2) donde n es un entero no negativo, y x = 0 es un punto ordinario de (2). Las soluciones de (2) se llaman funciones de Legendre.

La Solución de la Ecuación de Bessel Puesto que x = 0 es un punto singular regular, sabemos que existe al menos una solución de la forma . Entonces de (1), (3)

De (3) tenemos la ecuación indicial r2 – v2 = 0, r1 = v, r2 = −v De (3) tenemos la ecuación indicial r2 – v2 = 0, r1 = v, r2 = −v. Cuando r1 = v, tenemos (1 + 2v)c1 = 0 (k + 2)(k + 2+ 2v)ck+2 + ck = 0 ó (4) La elección de c1 = 0 implica c3 = c5 = c7 = … = 0, así que para k = 0, 2, 4, …., dejando que sea k + 2 = 2n, n = 1, 2, 3, …, tenemos (5)

Así (6)

Elegimos c0 como valor específico. donde (1 + v) es la función gamma Elegimos c0 como valor específico donde (1 + v) es la función gamma. Vease el Apéndice II. Hay una relación importante: (1 + ) = () Así que podemos reducir el denominador de (6):

De ahí que podemos poner (6) como

Funciones de Bessel de Primera Clase Podemos definir Jv(x) mediante (7) y (8) En otras palabras, la solución general de (1) en (0, ) es y = c1Jv(x) + c2J-v(x), v  entero (9) Fig 5.3

Fig 5.3

Ejemplo 1 Considere la ED Hallamos v = ½, y la solución general en (0, ) es

Funciones de Bessel de Segunda Clase Si v  entero, entonces (10) y la función Jv(x) son soluciones linealmente independientes de (1). Otra solución de (1) es y = c1Jv(x) + c2Yv(x). Como v  m, m un entero, (10) tiene la forma 0/0. De la regla de L’Hopital, la función y Jv(x) soluciones linealmente independientes de

De ahí que para cada valor de v, la solución general de (1) es De ahí que para cada valor de v, la solución general de (1) es (11) Yv(x) se llama función de Bessel de segunda clase de orden v. Fig 5.4 ilustra y0(x) y y1(x).

Fig 5.4

Ejemplo 2 Considere la ED Hallamos v = 3, y de (11) la solución general en (0, ) es

EDs Solubles en Términos de Funciones de Bessel Sea t = x,  > 0, en (12) entonces por la regla de la cadena,

Así, (12) pasa a ser La solución de la anterior ED es y = c1Jv(t) + c2Yv(t) Sea t = x, tenemos y = c1Jv(x) + c2Yv(x) (13)

Otra ecuación se llama ecuación de Bessel modificada de orden v, (14) Ahora dejamos que sea t = ix, entonces (14) se transforma en Las soluciones son Jv(ix) y Yv(ix). Una solución de valores reales, llamada función de Bessel modificada de primera clase de orden v se define como (15)

Análogamente a (10), la función de Bessel modificada de segunda clase de orden v  entero se define como (16) y para cualquier v = n entero, Puesto que Iv y Kv son linealmente independientes en (0, ), la solución general de (14) es (17)

Consideramos otra ED importante:. (18) La solución general de (18) es Consideramos otra ED importante: (18) La solución general de (18) es (19) Aquí no se especifican los detalles.

Ejemplo 3 Hallar la solución general de en (0, ) Solución Escribiendo la ED como recurriendo to (18) 1 – 2a = 3, b2c2 = 9, 2c – 2 = −1, a2 – p2c2 = 0 luego a = −1, c = ½ . Además tomamos b= 6, p = 2. De (19) la solución es

Ejemplo 4 Recordamos el modelo de la Sec. 3.8 Se debe comprobar que tomando se tiene

Ejemplo 4 (2) La solución de la nueva ecuación es x = c1J0(s) + c2Y0(s), Si volvemos a sustituir obtenemos la solución.

Propiedades (1) (2) (3) (4)

Ejemplo 5 Obtener la fórmula Solución De la ecuación (7) se deduce

Ejemplo 5 (2)

El resultado del ejemplo 5 puede escribirse como El resultado del ejemplo 5 puede escribirse como que es una ED lineal en Jv(x). Multiplicando ambos lados por el factor de integración x-v, se obtiene (20) Se puede demostrar que (21) Cuando y = 0, se deduce del (14) que (22)

Funciones de Bessel Esféricas Cuando el orden v es la mitad de un entero impar, esto es, 1/2, 3/2, 5/2, ….. La función de Bessel de primera clase Jv(x) puede expresarse como función de Bessel esférica : Como (1 + ) = () y (1/2) = ½, entonces

De ahí que y

La Solución de Ecuación de Legendre Como x = 0 es un punto ordinario de (2), usamos Después de sustituir y simplificar, obtenemos o en las formas siguientes:

Usando (25), para al menos |x| < 1, obtenemos

Observaciones: Si n es un entero par, la primera serie termina, mientras que y2 es una serie infinita. Si n es un entero impar, la serie y2 termina con xn.

Polinomios de Legendre Los siguientes polinomios de orden n son polinomios de Legendre: (27)

Son a su vez soluciones particulares de las EDs. (28) Fig 5.5

Fig 5.5

Propiedades (1) (2) (3) (4) (5)

Relación de Recurrencia Sin comprobación, tenemos (29) que es válida para k = 1, 2, 3, … Otra fórmula puede generar los polinomios de Legendre por diferenciación. La fórmula de Rodrigues para estos polinomios es: (30)