Conexión de fractales: Un nuevo punto de vista UN TRABAJO REALIZADO POR ENRIQUE CASIELLES LAPEIRA Nº EXP 04048 2º C, PARA LA ASIGNATURA DE METODOS MATEMATICOS I

El estudio de los fractales comenzó con muchos protagonistas, pero ninguno de ellos era tan llamativo como los conjuntos de Julia y de Mandelbrot y la biyección que se puede establecer entre ellos. La fórmula para ambos conjuntos es: Zn+1 = Zn^2 + C Siendo el C fijo en el conjunto de Julia y siendo el Zo fijo en el Mandelbrot e igual a 0 en el famoso fractal de Mandelbrot (que aquí llamaremos Mo)

A. Douady y J.H. Hubbard demostraron que el fractal de Mandelbrot Mo reune en su interior a todos los puntos C a los que corresponde un fractal de Julia conexo y que además, el mismo Mo, era conexo. Sin embargo, es posible avanzar aún más en estas relaciones de conexión.

Tomemos un punto cualquiera del hiperespacio complejo, es decir, puntos dados por 2 parejas de coordenadas complejas. Estos puntos se pueden poner en la función Julia/Mandelbrot como Zo y C, e iterar hasta saber si el punto hace a la función divergir o no. Sabemos ahora que ese punto estará en un único fractal de Mandelbrot, y en un único fractal de Julia. Por tanto, a cada fractal de cualquier conjunto de Mandelbrot (M) le corresponde un único fractal del conjunto de Julia (J) en cada punto del primero. Esto establece una biyección que desde mi punto de vista no ha sido utilizada demasiado, aunque ciertamente se han encontrado propiedades interesantes, como la que asocia un número de bulbos a un fractal de Julia según esté en el punto común en un bulbo concreto del Mo.

Sabiendo que podemos encontrar un único fractal de Julia conexo para cada punto del fractal de mandelbrot podemos usar como variables las coordenadas de los puntos del fractal de Mandelbrot para generar figuras fractales tridimensionales o tetradimensionales. Curiosamente, una propiedad de la que me di cuenta era de que, al variar un punto sobre el mandelbrot, los Julia asociados variaban suavemente, como si realmente estuviéramos seccionando una figura conexa tridimensional que nos diera estos fractales de Julia. Sin embargo, al salirnos del conjunto las figuras dejaban de ser conexas, pero no dejaban de variar suavemente. Esto último me hizo pensar lo siguiente: que realmente la función que genera los fractales de Julia y de Mandelbrot era conexa en las cuatro dimensiones. Claro, de ser esto último verdad, la potencia de las propiedades de conectividad de éstos conjuntos sería mucho más potente. Desgraciadamente, sin los teoremas sobre la conexión de fractales de Douady y Hubbard es imposible la rigurosidad matemática en la demostración de tal propiedad.

Sin embargo, la falta de herramientas matemáticas es posible suplirla con un poco de fe y un ordenador con Fractint. La fe aquí es importante porque, al igual que los matemáticos de la antigüedad no sabían por qué se cumplían una serie de cosas y tampoco podían demostrar su falsedad, yo tengo la certeza de que la propiedad antes mencionada se cumple porque al calcular y comparar, la peculiaridad gráfica de las figuras generadas por el programa apoya mi tesis de manera intuitiva, pero sin aportar ningún dato riguroso.

A continuación vamos a observar cuatro progresiones de imágenes, las cuales son fractales de Mandelbrot y de Julia a los cuales se les ha ido haciendo variaciones en las componentes iniciales de manera que se observa esta propiedad.

Ahora veremos la primera progresión en la cual veremos los siguientes fractales tipo mandelbrot en los que variamos sólo la componente real: Zo=0 Zo=0.25 Zo=0.5 Zo=0.75 Zo=1 Zo=2 Zo=3

Zo=0

Zo=0.25

Zo=0.5

Zo=0.75

Zo=1

Zo=2

Zo=3

Ahora veremos otra vez fractales de Mandelbrot, pero ahora variando la componente imaginaria: Zo=0 Zo=0.1i Zo=0.2i Zo=0.3i Zo=0.4i Zo=0.5i Zo=i Zo=1.25i

Zo=0

Zo=0.1i

Zo=0.2i

Zo=0.3i

Zo=0.4i

Zo=0.5i

Zo=i

Zo=1.25i

En la siguiente progresión veremos una que es bastante famosa, ya que es fácil encontrarla por Internet: los fractales de Julia generados al ir por la parte negativa del eje real asociado al fractal Mo. Los valores son: C=0 C=-0.1 C=-0.2 C=-0.3 C=-0.4 C=-0.5 C=-0.75 C=-1

C=0

C=-0.1

C=-0.2

C=-0.3

C=-0.4

C=-0.5

C=-0.75

C=-1

La última progresión es la más espectacular, porque ahora no es un fractal de Julia generado a partir de. Mo. En principio cualquiera puede encontrar por Internet una progresión de los fractales de Julia asociados a Mo, pero nunca una de este tipo. Tras ver estos fractales se hace difícil no creer que realmente la función Julia/Mandelbrot sea conexa en cuatro dimensiones. Aún así, esto no deja de ser una conjetura. Los datos son: C=i C=i+0.001 C=i+0.005 C=i+0.01 C=i+0.05 C=i+0.1 C=i+0.5

C=i

C=i+0.001

C=i+0.005

C=i+0.01

C=i+0.05

C=i+0.1

C=i+0.5

Bibliografía: http://www.dma.fi.upm.es/docencia/segundociclo/sistdin/sdcomplejos.html Agradecimientos: A Bartolomé Luque y el resto del profesorado del Departamento de Matemática Aplicada y Estadística, tanto por su paciencia como por si ayuda desinteresada. Nota: Siento haber entregado este trabajo tan tarde, pero deseo que al menos lo disfrute. Atentamente: Enrique Casielles Lapeira