Redes libres de escala 29/03/07 Lucas Lacasa Dpto. Matemática Aplicada ETSI Aeronáuticos, UPM

Ausencia de escala: ley de potencias Redes libres de escala Índice Ausencia de escala: ley de potencias Redes ‘libres de escala’ ¿Dónde? ¿Cómo? 3. Redes libres de escala: ¿Y qué?  Aplicaciones prácticas

¿ CÚAL ES LA ALTURA DE UNA PERSONA?

ESCALA CARACTERÍSTICA Tamaño característico entre 50 cm y 272 cm La media está alrededor de 180 cm. LEY DE POISSON

¿ QUE TIENEN EN COMÚN ESTAS DOS FOTOGRAFIAS ? NO PODEMOS ASEGURAR EL TAMAÑO !!! ...EXISTEN MUCHOS CUERPOS QUE NO TIENEN UN TAMAÑO o ESCALA CARACTERÍSTICA...

LEY DE POTENCIAS O ‘LIBRE DE ESCALA’ Distribución de tamaños de ciudades Log-log plot NO EXISTE UN `TAMAÑO MEDIO´ DE CIUDAD BIEN DEFINIDO: hay muchas ciudades pequeñas pero también hay ciudades muy grandes

EXISTE ESCALA CARACTERÍSTICA LEY POISSON LEY GAUSS NO EXISTE ESCALA CARACTERÍSTICA LEY DE POTENCIAS LOG-LOG

Zoom = Cambio de escala ¿DÓNDE PODEMOS ENCONTRAR LEYES DE POTENCIA ? GEOMETRÍA FRACTAL UN FRACTAL ES UN OBJETO QUE TIENE EL MISMO ASPECTO VISTO DESDE CUALQUIER DISTANCIA. TIENE EL MISMO ASPECTO A TODAS LAS ESCALAS. Zoom Cambio de escala =

¿DÓNDE PODEMOS ENCONTRAR LEYES DE POTENCIA ? ¡ LA DISTRIBUCIÓN DEL NÚMERO DE TERREMOTOS EN FUNCIÓN DE SU MAGNITUD SIGUE UNA LEY DE POTENCIAS ! GEOFÍSICA : TERREMOTOS HURACANES Ley de potencias LEY DE GUTENBERG-RICHTER

¿DÓNDE PODEMOS ENCONTRAR LEYES DE POTENCIA ? SOCIOLOGÍA: DISTRIBUCIÓN DEL TAMAÑO DE CIUDADES ECONOMÍA: DISTRIBUCION DE LA RIQUEZA, BOLSA FÍSICA, BIOLOGÍA, QUÍMICA, MATEMÁTICAS, ETC. ES UNA LEY QUE APARECE DE FORMA UBICUA DEBE RESPONDER A MECANISMOS MUY GENERALES AUSENCIA DE ESCALA (Fractales) SISTEMA CON MUCHOS COMPONENTES, CUANDO ESTOS COMPONENTES INTERACTÚAN ENTRE SÍ LOCALMENTE (Sociología)

¿QUÉ ES UNA RED LIBRE DE ESCALA? 2) UNA RED LIBRE DE ESCALA ES AQUELLA QUE POSEE UNA DISTRIBUCIÓN DE CONECTIVIDAD DE TIPO LEY DE POTENCIAS. ¿QUÉ ES UNA RED LIBRE DE ESCALA? 1) UNA RED ES UN CONJUNTO DE NODOS Y ENLACES. NODOS  COMPONENTES DE UN SISTEMA. ENLACES  RELACIÓN ENTRE COMPONENTES. * HAY MUCHOS NODOS CON POCOS ENLACES. * PERO TAMBIÉN HAY ALGUNOS NODOS CON MUCHOS ENLACES (HUBS).

WWW Nodos: WWW documents Links: URL links Autoorganizada

Sociedad (redes sociales) Autoorganizada Ejemplos: Modelos de votación - Estudios de propagación de rumores Nodos: individuos Links: interacciones entre individuos

Red metabólica Red trófica REDES BIOLÓGICAS Autoorganizada (evolución) Nodos: metabolitos Links: reacciones bioquímicas Nodos: especies Links: interacciones tróficas

Algunas redes de las que conocemos su topología: P(k) ~ k- g NO BIOLÓGICAS g > 2 www g = 2.1 actores g = 2.3 citas g = 3 eléctricas g = 4 BIOLÓGICAS g < 2 De proteínas g =1.5, 1.6, 1.7, 2.5 Metabólica de E. Coli g = 1.7, 2.2 Genética de expresión (levadura) g = 1.4-1.7 Genética de interacción funcional g = 1.6

¿QUÉ TIENEN EN COMÚN TODOS ESTOS EJEMPLOS? REDES AUTOORGANIZADAS (¿Evolutivamente?) LA INTERACCIÓN ES LOCAL SON REDES MUY DIFERENTES  UNIVERSALIDAD DEBE EXISTIR MECANISMOS GENERALES / EVOLUTIVOS MODELIZACIÓN MATEMÁTICA

Enganche preferencial (preferential attachment) 1) POBLACIÓN INICIAL. 2) A CADA t, INTRODUCIMOS NUEVOS NODOS. 3) ESOS NUEVOS NODOS SE ENGANCHARÁN CON LOS EXISTENTES. DE TAL FORMA QUE, LO HARÁN CON MAYOR PROBABILIDAD, CON LOS NODOS MÁS RELEVANTES (MÁS FUERTES). Población inicial Tiempo (más nodos)

APLICACIONES Robustez, tolerancia frente a ataques (deliberados). Epidemiología (propagación de virus). Robustez, tolerancia frente a ataques (deliberados). Procesos de optimización (publicidad). . . .

Propagacion de epidemias: RED DE CONTACTOS SEXUALES ‘La red influye sobre la dinámica’ Nodos: individuos Links: relaciones sexuales RED LIBRE DE ESCALA HAY UNOS POCOS NODOS CON MUCHA MAYOR PROBABILIDAD DE CONTAGIAR QUE OTROS (HUBS) ESTRATEGIAS DE PREVENCION DE EPIDEMIAS

ROBUSTEZ FRENTE A FALLOS / ATAQUES: RED ELÉCTRICA SISTEMA ELÉCTRICO ESPAÑOL MODELO MATEMÁTICO (RED) Generadores Nodos Líneas eléctricas Enlaces Calentamiento de un generador Desaparición de un nodo Mal estado de un cable de tensión Desaparición de un enlace Cortes en cadena Apagón general Desmembración de la red Fallo aleatorio Consecuencia  PREVENCIÓN: ESTUDIO MATEMÁTICO DE LA ROBUSTEZ DE LA RED (OTRO EJEMPLO: REDES ECOLÓGICAS y EXTINCIONES)

OPTIMIZACIÓN DEL FLUJO: publicidad por Internet RED (internet) ES LIBRE DE ESCALA LA DIFUSIÓN DE INFORMACIÓN ENTRE NODOS NO ES ALEATORIA, SINO QUE ESTÁ ESTRUCTURADA ESTRATEGIAS DE OPTIMIZACIÓN según QUÉ TIPO DE DIFUSIÓN QUEREMOS (RAPIDEZ, CONSTANCIA, ETC) Se aplican: Teoría de grafos Difusión no lineal Física estadística (modelos de percolación)

~ CONCLUSIONES Redes libres de escala P(k) k-  * UBICUAS tanto en la naturaleza como a nivel social o tecnológico * AUTO-ORGANIZADAS a partir de principios evolutivos. * Estudio matemático : - modelización (mecanismos generales) propagación: * frenarlo (virus) * optimizarlo (publicidad) seguridad: * tolerancia frente a fallos (infraestructura) * robustez * ETCÉTERA