Sistemas dinámicos discretos Entendemos por sistema dinámico (SD) al par sencillo: (i) Condiciones iniciales + (ii) Regla dinámica de cambio. Aquí tienes tres ejemplos: (1) Audio-feedback: si acercamos el micrófono a la salida de sonido crearemos un circuito de retroalimentación del volumen: Vt+1 = r·Vt donde V es el volumen y r la ganancia efectiva. (2) Interés bancario: el dinero en el banco renta más o menos capital (generalmente vemos que menos). St+1 = r·St donde St es el saldo al t-ésimo año y r = (1 + tasa de interés - tasa de inflación). (3) Crecimiento de una colonia de bacterias: las poblaciones varían en el tiempo (solo para gente con microscopio). Pt+1 = r·Pt donde Pt = número de células, población, en la t-ésima generación y r = (1 + tasa de crecimiento - tasa de defunción) = fecundidad.
xt+1 = r· xt con t = 0, 1, 2, ... xt+1 = rt+1 · x0 La pregunta típica en SD es: dada una condición inicial (V0 decibelios, S0 euros o P 0 bacterias en nuestros casos) ¿cuál será el estado del sistema después de t iteraciones? Para los sistemas lineales como los expuestos, la respuesta no es difícil. Podemos resolverlos totalmente. Tenemos: xt+1 = r· xt con t = 0, 1, 2, ... Dada una condición inicial x 0: x1 = r · x0 x2 = r · x1 = r2 · x 0 ... Y en general: xt+1 = rt+1 · x0 Conocida la condición inicial conocemos el estado del sistema en cualquier instante. Observemos que a pesar de que la ecuación es lineal el comportamiento dinámico es el de una sucesión geométrica. Una serie temporal no lineal no implica necesariamente reglas dinámicas no lineales.
Las gráficas siguientes muestran la riqueza de comportamientos dinámicos posibles de nuestra función iterada lineal al variar el parámetro r. Evidentemente, para nuestros ejemplos concretos ciertos comportamientos carecerán de sentido: ni volúmenes musicales negativos (música minimalista), ni intereses negativos (inflación hipergalopante), ni poblaciones negativas (noche de los muertos vivientes) son posibles. Decaimiento exponencial 0 < r < 1
Crecimiento exponencial r > 1 Comportamiento estacionario r = 1
Decaimiento oscilante -1 < r < 0 Crecimiento oscilante r < -1 Ciclo periódico r = -1