Curso 2012-2013 Inteligencia Artificial (30223) Problemas resueltos José Ángel Bañares 17/10/2013. Dpto. Informática e Ingeniería de Sistemas.

Índice Problema del laberinto Puzzle de dos dimensiones Misioneros y caníbales A* en grafo Minimax y poda alfa-beta

Problema del laberinto Una búsqueda informada puede resolver este laberinto, encontrando un camino desde la localización inicial hasta la final. Las posibles acciones son: arriba, abajo, izquierda, derecha, que son sólo válidas si hay una línea de puntos entre las celdas del laberinto. Considerar que la heurística utilizada es la distancia en línea recta entre la posición actual y la final del laberinto. La heurística propuesta ¿es admisible?¿es consistente?, y ¿La distancia al cuadrado? Muestra que la búsqueda en escalada (ascenso de la colina) no podrá encontrar una solución óptima con la heurística de la distancia en línea recta. ¿Qué algoritmo de búsqueda garantizaría encontrar una solución óptima con estas heurísticas heurísticas (distancia y cuadrado distancia)? Indica los cuadrados buscados en el laberinto utilizando A* con la heurística dada y un coste unitario por cada movimiento.

Problema del laberinto (heurística) heurística: distancia en línea recta hasta el objetivo. Es admisible (subestima) y consistente (por la desigualdad triangular)

Problema del laberinto (heurística) heurística: distancia en línea recta hasta el objetivo. Es admisible (subestima) y consistente (por la desigualdad triangular) 1,41 6,08 7 <= 1,41+6,08

Problema del laberinto (heurística) heurística: cuadrado de la distancia en línea recta hasta el objetivo. Ni admisible (sobreestima) ni consistente

Problema del laberinto (escalada) heurística: cuadrado de la distancia en línea recta hasta el objetivo. Ni admisible (sobreestima) ni consistente 2 37 ¡49 > 2 + 37!

Problema del laberinto (escalada) heurística: distancia en línea recta hasta el objetivo. El laberinto tiene dos soluciones. 4 5 6 7 8 9 10 3 5 6 15 16 11 2 4 7 14 17 12 13 1 1 2 3 8 13 18 23 24 9 12 19 22 10 11 20 21

Problema laberinto (A*) Laberinto con dos soluciones Algoritmo A* ( f’ = g + h’) Coste del camino óptimo desde el estado inicial ( g ) ¡ENCUENTRA EL ÓPTIMO! No encuentra el óptimo

Puzzle de dos dimensiones Estado Inicial Estado Objetivo Las figuras a) y b) muestran los estados inicial y final respectivamente de un puzzle de dos dimensiones con tres piezas (A, B y C) que pueden moverse en las cuatro direcciones, siempre y cuando los límites del tablero, las casillas negras (obstáculos que no se mueven) y las otras dos piezas no se lo impidan. Se pide: Establecer las acciones y encontrar una heurística admisible Dibujar el espacio de estados que se genera al aplicar el algoritmo A* explorando en un grafo. Póngase especial interés en indicar claramente los distintos valores que forman la información que permite valorar cada nodo.

0: f’ =8 , g=0, h=8 1: f’ =8 , g=1, h=7

8 8 10 8 8 10 8 8 10 10 8 8 10 8 10 10

8 8 10 8 8 10 8 8 10 10 8 8 10 8 10 10 10 8 8 10 10 8 8

8 8 10 8 8 10 8 8 10 10 8 8 10 8 10 10 10 8 8 10 10 8 8 10 8 10 10 8

Problema misionero y caníbales En la orilla de un río hay 3 misioneros y 3 caníbales y todos ellos pretenden cruzar al otro lado. La barca que se utiliza para cruzarlo solo tiene capacidad para dos personas, con lo que alguien ha de estar volviendo siempre a la orilla inicial mientras quede gente sin cruzar. Además, si en alguna ocasión y en cualquiera de las orillas se encuentran un número mayor de caníbales que de misioneros, los primeros se comerán a los segundos. ¿Cómo representarías los estados? ¿Cuáles serian los operadores? ¿Qué heurísticas existen para este problema? ¿Son admisibles?

Problema misioneros - ESTADO ESTADO: Se podría indicar la posición de la barca, junto con el número de misioneros y caníbales que hay en cada lado. Se podría pensar que, dado que el número de personas en el extremo final puede calcularse a partir de los que hay en el inicial, basta con indicar la posición de la barca y los misioneros y caníbales que quedan en el extremo inicial. Sin embargo, la primera aproximación permite describir más fácilmente las precondiciones y efectos de los operadores, por lo que mantenemos la representación inicial. Además, el espacio de estados tiene el mismo tamaño e idéntica semántica con ambas representaciones. Formalmente, un estado será representado por una terna (Mi, Ci, B, Mf ,Cf ) en la que: B ∈ [i, f] indica la posición de la barca, por lo que toma el valor i si está en el extremo inicial, o f si está en el final Mi, Ci, Mf, Cf ∈ [0,..., 3] indican el número de misioneros y caníbales que quedan en el extremo inicial y final del río, respectivamente De esta manera, el estado inicial se representa como (3, 3, i, 0, 0) y el estado final como (0, 0, f, 3, 3)

Problema misioneros - ACCIONES Se dispone de 5 acciones que transportan personas de la orilla x a la orilla y: Mover1C(x, y) transporta 1 caníbal desde la orilla x hasta la orilla y Mover2C(x, y) transporta 2 caníbales desde la orilla x hasta la orilla y Mover1M(x,y) transporta 1 misionero desde la orilla x hasta la orilla y Mover2M(x,y) transporta 2 misioneros desde la orilla x hasta la orilla y Mover1M1C(x,y) transporta 1 misionero y un cabinal desde x hasta y El modelo de transiciones debe representar las precondiciones de cada acción y sus efectos.

Modelo transiciones 1 2 3 3 grupos de precondiciones La persona debe estar en la orilla para moverse 2 La barca debe estar en la orilla 3 Evitamos movimientos que llevan a que haya Mas caníbales que misioneros en una orilla.

Misioneros y caníbales (heurísticas) Vamos a obtener las heurísticas por relajación del problema original. Para dicha relajación, partimos de las precondiciones expuestas. Eliminar primer grupo de precondiciones. Si eliminamos ese primer grupo de condiciones, se obtiene un problema relajado que no parece ser mucho más fácil de resolver que el problema original, por lo que no tiene mucho sentido. Eliminar segundo grupo de precondiciones. Se puede asumir que hay infinitas barcas tanto en un lado como en otro. Este problema tiene una solución muy sencilla, que es asumir que siempre viajan un caníbal y un misionero juntos, con la acción Mover1M1C(i,f). Por tanto, la heurística resultante de este problema relajado es: asumiendo que en el estado n se cumplen los requisitos definidos por el grupo de precondiciones 3. ?

Misioneros y caníbales (heurísticas) Vamos a obtener las heurísticas por relajación del problema original. Para dicha relajación, partimos de las precondiciones expuestas. Al eliminar el tercer grupo de condiciones, obtenemos un problema relajado en el que los caníbales nunca se comen a los misioneros. Entonces, en cada viaje de ida y vuelta, podemos transportar a una persona (dado que la otra tendrá que volver para llevar la barca). Por tanto, la heurística resultante es:   donde orilla(n) = 1 si en el estado n la barca está en la orilla i (B = i), y orilla(n) = 0 si la barca la orilla final (B = f). Si eliminamos el grupo de precondiciones 2 y 3 a la vez es equivalente a eliminar solo la precondición 2.

Misioneros y caníbales (heurísticas) Las dos heurísticas son admisibles, puesto que son resultado de relajar el problema original. Para decidir qué heurística elegir, h1 o h2, estudiamos cuál es la más informada, puesto que será la que, siendo admisible, tendrá un valor más cercano a h∗. Se observa fácilmente que la más informada es h2, puesto que h1(n) ≥ h2(n), sea cual sea el valor de Ci y de Mi para el estado n. Por tanto, elegimos h2(n).

Misioneros y caníbales (exploración) Aplicar el algoritmo de búsqueda A* sobre la representación del problema de los misioneros y los caníbales. Especifica cuándo un nodo del árbol de búsqueda es expandido y cuándo es sólo generado. Utiliza la heurística resultante de relajar el tercer grupo de precondiciones.

80 A 27 B 60 C 70 E 65 D 50 F H G Z 15 10 5 3 30 4 35 2 A* en grafo Aplicar el algoritmo de búsqueda A* en grafo al siguiente grafo de estados. El nodo inicial es A y hay un solo nodo objetivo, que en este caso es Z. A cada arco se le ha asociado un coste y a cada nodo la estimación de la menor distancia de ese nodo al nodo objetivo (hay que asumir que se trata de una heurística admisible). Se pide el orden en que los nodos son expandidos y el orden de la solución. Justifica tu solución dibujando en la siguiente página el árbol que se genera en la búsqueda indicando: f’, g y h’, así como el nº de orden en que los nodos son visitados

A 80 1 B 27 4 31 2 C 60 10 70 D 65 75 5 E 15 85 6 F 50 9 59 3 G 44 94 20 18 68 H 45 95 39 89 7 Z 41 8 80 A 27 B 60 C 70 E 65 D 50 F H G Z 15 10 5 3 30 4 35 2 MAL Sería correcto si añadiéramos la restricción de que sólo Se pueden aplicar acciones para ir hacia abajo y no volver Hacia arriba.

A B C D E F F F E G H C D H Z 80 80 A 27 B 60 C 70 E 65 D 50 F H G Z 1 80 A 27 B 60 C 70 E 65 D 50 F H G Z 15 10 5 3 30 4 35 2 B 27 4 31 2 C 60 10 70 4 D 65 10 75 5 E 70 15 85 A* 80 20 100 A* 80 8 88 A* 80 10 98 F 50 9 59 3 F 50 15 65 F 50 20 70 E 70 12 82 6 G 50 44 94 H 50 39 89 7 B* 27 14 41 C 60 14 74 D 60 19 84 F* 50 69 119 A* 80 30 100 F* 50 15 65 H 50 42 92 Z 41 8 *Nodos expandidos previamente, no haría falta calcular coste

Minimax / Poda alfa-beta Búsqueda en juegos [7 mi] Considerar el árbol de juego mostrado abajo. Asumir que el nodo de arriba es un nodo max. Las etiquetas de los arcos son los movimientos. Los números en el nivel de abajo son los valores heurísticos de esas posiciones. Completa el árbol de juego utilizando una búsqueda mini-max Indica las ramas podadas con una poda alfa-beta con una búsqueda de izquierda a derecha. Indica los valores que van tomando alfa y beta en cada nodo Reordena las hojas de los nodos de forma que resultara en el máximo número de nodos podados en una poda alfa-beta de izquierda a derecha (indica también las ramas podadas). Reordena los hijos pero preserva las relaciones padre-hijo.

Minimax /Poda Alfa-beta 8 7 3 4 10 5 2 max min 4 8 7 3 <=2 10 5 2 max min 4 8 7 3 2 10 5 max min 4 8 10 <=2 <=3 7 3 5 2 max min

Minimax y Poda alfa-beta Dado el árbol de la figura Señala las estrategia ganadoras, si las hubiera, para un jugador MAX y para un jugador MIN. Se considera que un nodo terminal es ganador para MAX si su valor es superior o igual a 6. Contrariamente, es ganador para MIN si es inferior a 6. MAX 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Minimax y Poda alfa-beta Dado el árbol de la figura Señala las estrategia ganadora, si las hubiera, para un jugador MAX y para un jugador MIN. Se considera que un nodo terminal es ganador para MAX si su valor es superior o igual a 6. Contrariamente, es ganador para MIN si es inferior a 6. MAX tiene dos estrategias ganadoras => MIN no. 7 MAX MIN 4 MIN 6 7 MAX 8 6 MIN 6 MAX 4 8 1 7 8 8 4 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Minimax y Poda alfa-beta Dado el árbol de la figura Señala las estrategia ganadora, si el nodo inicial fuera MIN. Se considera que un nodo terminal es ganador para MAX si su valor es superior o igual a 6. Contrariamente, es ganador para MIN si es inferior a 6. MIN no tiene estrategia ganadora 6 MIN MAX MAX 6 6 8 MIN 5 6 MAX 5 6 6 8 4 MIN 6 7 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Minimax y Poda alfa-beta Dado el árbol de la figura Recorre el árbol de izquierda a derecha, siguiendo el método de poda alfa-beta, indicando claramente (tachando con una x) los nodo en que se produce poda. Encuadra /marca los nodos terminales que no ha sido necesario recorrer. Señala el valor de la decisión más acertada para MAX. MAX 4 6 7 8 9 5 1

Marcado de una Poda alfa-beta Datos a marcar Los valores de alfa y beta con los que se hace cada llamada recursiva desde cada nodo. Convenio Si las llamadas se hacen desde un nodo MAX, alfa (a) será un valor que puede ir aumentando, hasta igualar o superar a beta (b), en cuyo caso se producirá una poda alfa. Estas llamadas las marcaremos con (a=valor1, valor2), para reslatar que es el cambio de a el que determina el que haya poda o no. Si las llamadas se hacen desde un nodo MIN, beta(b) será un valor que puede ir disminuyendo, hasta igualar o quedar por debajo de alfa (a), en cuyo caso se producirá una poda beta. Estas llamadas las marcaremos con (valor1, b=valor2). EL segundo dato relacionado con el nodo a marcar, es el resultado que se devuelve al nodo padre.

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) MIN MIN (-∞, b= ∞) MAX (a=-∞, ∞) MIN MAX (-∞,b= ∞) 4 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) MIN MIN (-∞, b= ∞) MAX (a=-∞, ∞) MIN MAX (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) 4 6 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) MIN MIN (-∞, b= ∞) MAX (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) MIN MAX 4 (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) 4 6 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) MIN MIN (-∞, b= ∞) MAX (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) MIN MAX 4 (4, b=∞) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) 7 4 6 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) MIN MIN (-∞, b= ∞) MAX (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) MIN MAX 4 (4, b=∞) (4, b=7) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) 7 6 4 6 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) MIN MIN (-∞, b= ∞) MAX 6 (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) MIN 6 MAX 4 (4, b=∞) (4, b=7) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) 7 6 4 6 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) MIN MIN (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) MAX 6 (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) (a=-∞, 6) MIN 6 MAX 4 (4, b=∞) (4, b=7) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (-∞, b=6) 7 6 4 6 8 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) MIN MIN (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) MAX 6 (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) (a=-∞, 6) MIN 6 MAX 4 (4, b=∞) (4, b=7) (-∞, b=6) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (-∞, b=6) 7 6 4 6 8 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) MIN MIN (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) MAX 6 (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) (a=-∞, 6) MIN 6 MAX 4 (4, b=∞) (4, b=7) (-∞, b=6) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (-∞, b=6) 7 6 4 6 8 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) MIN MIN (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) MAX 6 (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) (a=-∞, 6) MIN 6 MAX 4 6 (4, b=∞) (4, b=7) (-∞, b=6) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (-∞, b=6) 7 6 4 6 8 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) MIN MIN (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) Poda a: a(=6)=6 MAX 6 x (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) (a=-∞, 6) MIN 6 MAX 4 6 (4, b=∞) (4, b=7) (-∞, b=6) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (-∞, b=6) 7 6 4 6 8 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) MIN 6 MIN (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) Poda a: a(=6)=6 MAX 6 6 x (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) (a=-∞, 6) MIN 6 MAX 4 6 (4, b=∞) (4, b=7) (-∞, b=6) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (-∞, b=6) 7 6 4 6 8 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) (a=6, ∞) MIN 6 MIN (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) Poda a: a(=6)=6 MAX 6 (6, b=∞) 6 x (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) (a=-∞, 6) MIN 6 MAX 4 6 (4, b=∞) (4, b=7) (-∞, b=6) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (a=6, ∞) (-∞, b=6) 7 6 4 6 8 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) (a=6, ∞) MIN 6 MIN (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) Poda a: a(=6)=6 MAX 6 (6, b=∞) 6 x (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) (a=-∞, 6) MIN 6 MAX 4 6 (4, b=∞) (4, b=7) (-∞, b=6) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (a=6, ∞) (-∞, b=6) 7 6 4 6 6 8 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) (a=6, ∞) MIN 6 MIN (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) Poda a: a(=6)=6 MAX 6 (6, b=∞) 6 x (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) (a=-∞, 6) MIN 6 MAX 4 6 (4, b=∞) (4, b=7) (-∞, b=6) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (a=6, ∞) (a=6, ∞) (-∞, b=6) 7 6 7 4 6 6 8 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) (a=6, ∞) MIN 6 MIN (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) Poda a: a(=6)=6 MAX 6 (6, b=∞) 6 x (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) (a=-∞, 6) 7 MIN 6 MAX 4 6 (4, b=∞) (4, b=7) (-∞, b=6) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (a=6, ∞) (a=6, ∞) (-∞, b=6) 7 6 6 7 4 6 8 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) (a=6, ∞) MIN 6 MIN (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) Poda a: a(=6)=6 MAX (6, b=∞) (6, b=7) 6 6 x (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) (a=-∞, 6) 7 MIN 6 MAX 4 6 (4, b=∞) (a=6, 7) (4, b=7) (-∞, b=6) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (a=6, ∞) (a=6, ∞) (-∞, b=6) 7 6 7 4 6 6 8 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) (a=6, ∞) MIN 6 MIN (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) Poda a: a(=6)=6 MAX (6, b=7) 6 (6, b=∞) 6 x (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) (a=-∞, 6) 7 MIN 6 MAX 4 6 (4, b=∞) (4, b=7) (a=6, 7) (-∞, b=6) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (a=6, ∞) (a=6, ∞) (-∞, b=6) 7 6 7 8 4 6 6 8 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) (a=6, ∞) MIN 6 MIN (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) Poda a: a(=6)=6 MAX (6, b=7) 6 (6, b=∞) 6 x (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) Poda a: a(=8)>7 (a=-∞, 6) 7 MIN 6 x MAX 4 6 (4, b=∞) (4, b=7) (a=6, 7) (-∞, b=6) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (a=6, ∞) (a=6, ∞) (-∞, b=6) 7 6 6 7 8 4 6 8 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) (a=6, ∞) MIN 6 MIN (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) Poda a: a(=6)=6 MAX (6, b=7) 6 (6, b=∞) 6 x (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) Poda a: a(=8)>7 (a=-∞, 6) 7 7 MIN 6 x MAX 4 6 (4, b=∞) (4, b=7) (a=6, 7) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (-∞, b=6) (a=6, ∞) (a=6, ∞) (-∞, b=6) 7 6 6 7 8 4 6 8 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) (a=6, ∞) MIN 6 MIN 7 (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) Poda a: a(=6)=6 MAX (6, b=7) 6 (6, b=∞) 6 x (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) Poda a: a(=8)>7 (a=-∞, 6) 7 7 MIN 6 x MAX 4 6 (4, b=∞) (4, b=7) (a=6, 7) (-∞, b=6) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (a=6, ∞) (a=6, ∞) (-∞, b=6) 7 6 6 7 8 4 6 8 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) (a=7, ∞) (a=6, ∞) MIN 6 MIN 7 (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) Poda a: a(=6)=6 (7,b= ∞) MAX (6, b=7) 6 (6, b=∞) 6 x (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) Poda a: a(=8)>7 (a=-∞, 6) 7 7 MIN 6 x MAX 4 6 (4, b=∞) (4, b=7) (a=6, 7) (-∞, b=6) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (a=6, ∞) (a=7, ∞) (a=6, ∞) (-∞, b=6) 7 6 4 6 6 7 8 8 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) (a=7, ∞) (a=6, ∞) MIN 6 MIN 7 (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) Poda a: a(=6)=6 (7,b= ∞) MAX 6 (6, b=∞) (6, b=7) 6 x (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) Poda a: a(=8)>7 (a=-∞, 6) 7 7 8 MIN 6 x MAX 4 6 (4, b=∞) (4, b=7) (a=6, 7) (-∞, b=6) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (a=6, ∞) (a=7, ∞) (a=6, ∞) (-∞, b=6) 7 6 8 6 7 8 4 6 8 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) (a=7, ∞) (a=6, ∞) MIN 6 MIN 7 (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) Poda a: a(=6)=6 (7,b= ∞) MAX 6 (6, b=∞) (6, b=7) (7,b= 8) 6 x (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) Poda a: a(=8)>7 (a=-∞, 6) 7 7 8 MIN 6 x MAX 4 6 (4, b=∞) (4, b=7) (a=6, 7) (-∞, b=6) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (a=6, ∞) (a=7, ∞) (a=6, ∞) (a=7, 8) (-∞, b=6) 7 6 7 8 8 4 6 6 8 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) (a=7, ∞) (a=6, ∞) MIN 6 MIN 7 (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) Poda a: a(=6)=6 (6, b=7) (7,b= ∞) MAX 6 (6, b=∞) (7,b= 8) 6 x (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) Poda a: a(=8)>7 (a=-∞, 6) 7 7 8 MIN 6 x MAX 4 6 (4, b=∞) (4, b=7) (a=6, 7) (-∞, b=6) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (a=6, ∞) (a=7, ∞) (a=6, ∞) (a=7, 8) (-∞, b=6) 7 6 8 8 4 4 6 6 7 8 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a MAX (a=-∞, ∞) (a=7, ∞) (a=6, ∞) MIN 6 MIN 7 (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) Poda a: a(=6)=6 (6, b=7) (7,b= ∞) MAX (6, b=∞) (7,b= 8) 6 6 x (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) Poda a: a(=8)>7 (a=-∞, 6) 7 7 8 7 MIN 6 x MAX 4 6 (4, b=∞) (4, b=7) (a=6, 7) (-∞, b=6) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (a=6, ∞) (a=7, ∞) (a=6, ∞) (a=7, 8) (-∞, b=6) 7 6 4 6 7 8 8 4 6 8 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a 7 MAX (a=-∞, ∞) (a=7, ∞) (a=6, ∞) MIN 6 MIN 7 7 (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) 7 Poda a: a(=6)=6 MAX (6, b=7) (7,b= ∞) (7,b= 8) 6 (6, b=∞) 6 x (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) Poda a: a(=8)>7 (a=-∞, 6) 7 7 8 7 MIN 6 x MAX 4 6 (4, b=∞) (4, b=7) (a=6, 7) (-∞, b=6) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (a=6, ∞) (a=7, ∞) (a=6, ∞) (a=7, 8) (-∞, b=6) 7 6 4 6 7 8 8 4 6 8 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a 7 MAX ¡Cuidado! (a=-∞, ∞) (a=7, ∞) (a=6, ∞) MIN 6 MIN 7 7 (-∞, b= ∞) (-∞, b= 6) 7 Poda a: a(=6)=6 (6, b=7) (7,b= ∞) MAX 6 (6, b=∞) (7,b= 8) 6 x (a=-∞, ∞) (a=4, ∞) Poda a: a(=8)>7 (a=-∞, 6) 7 7 8 7 MIN 6 x MAX 4 6 (4, b=∞) (4, b=7) (a=6, 7) (-∞, b=6) (-∞,b= ∞) (-∞,b= 4) (a=6, ∞) (a=7, ∞) (a=6, ∞) (a=7, 8) (-∞, b=6) 4 7 6 8 6 7 8 4 6 8 9 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Valor con Poda alfa-beta (a=valor1, valor2) , alfa puede crecer y marca poda cuando se cruza con b (valor1, b=valor2) , beta puede decrecer y marca poda cuando se cruza con a 7 MAX ¡Cuidado! MIN 6 MIN 7 4 Poda a: a(=6)=6 MAX 6 8 x Poda a: a(=8)>7 MIN 6 x MAX 4 8 7 8 8 4 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Marcado de una Poda alfa-beta Poda del árbol comenzando por MIN MIN 4 6 7 8 9 5 1 MAX

Marcado de una Poda alfa-beta Poda del árbol comenzando por MIN 7 MIN (-∞,b= ∞) (-∞,b= 6) Poda a: a(=6)=6 (-∞,b= 6) MAX 6 x x MAX Poda a: a(=6)=6 6 6 (a=-∞, ∞) (a=6, ∞) 7 (a=-∞,6) MIN (a=-∞, 6) 6 6 (-∞, b= ∞) (-∞, b=6) Poda a: a(=7)>6 (6,b= ∞) (6,b= 9) 6 6 MAX x 6 MIN 6 9 (a=-∞, 6) 6 (a=8,∞) (-∞, b=6) (-∞, b=6) (-∞,b= 6) (a=-∞, ∞) (a=4,b= ∞) (a=6,∞) (a=6, 9) (a=6, 9) 7 8 7 4 6 6 1 8 9 7 6 5 4 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Valor con Poda alfa-beta Poda del árbol comenzando por MIN 6 MIN Poda a: a(=6)=6 MAX x x MAX 6 6 Poda a: a(=6)=6 8 6 MIN 5 Poda a: a(=7)>6 MAX x 7 MIN 6 9 5 6 8 4 6 7 6 8 9 5 1 6 7 8 6 8 4

Inteligencia Artificial (30223) Grado en Ingeniería Informática .