II CONCURSO DE INGENIO I. E. S. Doña Leonor de Guzmán Alcalá de Guadaíra 2004-2005
EL PROBLEMA DEL BARCO Un enorme buque tiene una escalera de 60 gradas que va bordeando el casco hasta la parte más baja. Evidentemente hay muchas gradas que quedan sumergidas.
EL PROBLEMA DEL BARCO Entre grada y grada hay 30 cm de separación. En el momento en que anclaron el buque había 23 gradas en la superficie y el resto sumergidas. Varias horas después la marea había subido 2 m 45 cm.
a) ¿Cuántas gradas quedan EL PROBLEMA DEL BARCO a) ¿Cuántas gradas quedan ahora en la superficie? b) ¿Cuántas quedan sumergidas?
EL PROBLEMA DEL BARCO SOLUCIÓN Sigue habiendo 23 gradas en la superficie y el resto sumergidas puesto que, aunque la marea suba, el barco flota.
LA FAMILIA Y EL RÍO Una familia pintoresca hacía una excursión por la montaña. Caminaba el padre, que pesaba 100 kg, la madre, que también pesaba 100 kg, el hijo, de 50 kg, la hija, de 50 kg también y, para colmo, un gatito que no sabía nadar pero que era muy cariñoso.
LA FAMILIA Y EL RÍO En el paseo se toparon con un río, que lógicamente había que atravesar. Amarrado a un árbol había un pequeño bote que resistía solamente 100 kg de peso. Organizaron la travesía de tal modo que no quedó nadie sin proseguir el paseo. Hasta el conejo pudo pasar en el bote.
LA FAMILIA Y EL RÍO ¿Sabes cómo lo organizaron?
LA FAMILIA Y EL RÍO SOLUCIÓN Vuelve uno Pasa el padre Vuelve el otro hijo Pasan los dos hijos Vuelve uno y recoge al gato Pasan los dos hijos Vuelve uno de ellos Pasa la madre Vuelve el otro hijo Vuelven a pasar los dos hijos
¡HOLA CHAT!...¡HOLA CHATÍN! María y Álvaro se han conocido en un chat. María quiere saber de dónde es Álvaro, pero Álvaro sólo le ha mandado este listado de prefijos telefónicos Alicante 96 Asturias 98 Barcelona 93 Madrid 91 Málaga, Melilla y Sevilla 95 Valencia Vizcaya 94
¡HOLA CHAT!...¡HOLA CHATÍN! y el siguiente enigma donde se encuentra su número de teléfono. También le dice que contiene todos los dígitos del 1 al 9.
¡HOLA CHAT!...¡HOLA CHATÍN! ¿Cuál es el número de teléfono de Álvaro? ¿Dónde vive?
¡HOLA CHAT!...¡HOLA CHATÍN! SOLUCIÓN La solución al enigma sería la siguiente:
¡HOLA CHAT!...¡HOLA CHATÍN! SOLUCIÓN Por lo tanto el número de teléfono quedaría: 9 4 6 5 2 8 3 1 7 Y por el prefijo llegamos a la conclusión de que Álvaro es de
¡HOLA CHAT!...¡HOLA CHATÍN! SOLUCIÓN V I Z C A Y A
PRIMOS Y PRIMOS A Pepito Pinto le encantan las mates. Últimamente atraviesa una etapa en la que ve números por todas partes. Toni y Tina son dos primos suyos y primos entre sí, que viven en casas vecinas y en la misma acera de la misma calle donde también vive él.
PRIMOS Y PRIMOS Ayer mientras jugaban les dijo Pepito: “¡Qué cosas primos, vivimos en tres casas cuyos números son primos consecutivos y, por si fuera poco, el producto de estos tres números no es primo pero es mi número de teléfono!”
PRIMOS Y PRIMOS Pues bien, sabiendo que el número de teléfono de Pepito tiene seis cifras y termina en uno, ¿sabrías averiguar los números primos de las casas donde viven los tres primos?
PRIMOS Y PRIMOS SOLUCIÓN Busquemos ternas de primos consecutivos cuyo producto tenga 6 cifras... 43 · 47 · 53 = 107113 61 · 67 · 71 = 290177 79 · 83 · 89 = 583573 47 · 53 · 59 = 146969 67 · 71 · 73 = 347261 83 · 89 · 97 = 716539 53 · 59 · 61 = 190747 71 · 73 · 79 = 409457 89 · 97 · 101 = 871933 59 · 61 · 67 = 241133 73 · 79 · 83 = 478661
PRIMOS Y PRIMOS SOLUCIÓN Hemos destacado las ternas que proporcionan productos acabados en 1: 67 · 71 · 73 = 347261 73 · 79 · 83 = 478661 Por último, como Tina y Toni viven en casas vecinas, desechamos la 2ª posibilidad y ya tenemos la solución:
PRIMOS Y PRIMOS SOLUCIÓN Los chicos viven en los números 67, 71 y 73 y el nº de teléfono de Pepito es el 347261.
EL PIRATA GARRAPATA El pirata garrapata ha encontrado un mapa del tesoro un poco extraño. Sabe que hay escondidos varios cofres con doblones de oro y no quiere dejarse ninguno atrás, pero tiene prisa ya que su gran enemigo, el Capitán Mazapán, va tras sus huellas y llegará pronto a la isla donde está el tesoro. Así que necesita saber exactamente dónde se encuentran todos y cada uno de los cofres.
EL PIRATA GARRAPATA En el mapa aparecen casillas con números que indican cuántos cofres hay contiguos a dicha casilla y una serie de lugares donde pueden estar los tesoros escondidos, señalados con una cruz. 1 2 3
EL PIRATA GARRAPATA ¿Podrías ayudarle tú a encontrarlos?
EL PIRATA GARRAPATA SOLUCIÓN
EN LA HAMBURGUESERÍA Cuatro compañeros de clase, se encuentran en la hamburguesería de la esquina a la salida del instituto. Se sientan a los cuatro lados de una mesa. Entre otros temas, comentan el último examen en el cual todos han sacado diferentes notas. El camarero acaba de servir a cada uno lo que ha pedido, o sea, una horchata, un batido, una limonada y un refresco de cola.
EN LA HAMBURGUESERÍA Disponemos de estos datos, aunque algo desordenados: El que tiene mejor nota bebe horchata. A la derecha del que bebe el refresco se sienta el que ha sacado el cuarto lugar en nota. El que bebe horchata ha pedido un refresco de cola para su compañero que está sentado enfrente. El que ha sacado mejor nota se sienta enfrente del que ha sacado la tercera mejor nota. Toni se sienta delante del que tiene la segunda mejor nota. En un momento determinado, Luis dice: “Gracias, Miguel, por la bebida”. Jorge aborrece las bebidas con leche.
EN LA HAMBURGUESERÍA ¿Quién tiene Jorge a su derecha? ¿A quién ha servido limonada el camarero? ¿Quién ha sacado la segunda mejor nota en el examen?
EN LA HAMBURGUESERÍA SOLUCIÓN Jorge tiene a su derecha a Luís. El camarero ha servido limonada a Jorge. Jorge es el que ha sacado la segunda mejor nota en el examen.
EL JOVEN HINDÚ Y EL GATO Cuántos cuadrados distintos puedes contar en el dibujo del joven hindú con turbantes?
EL JOVEN HINDÚ Y EL GATO ¿Cuántos triángulos distintos puedes contar en el dibujo del gato?
EL JOVEN HINDÚ Y EL GATO Observa atentamente. ¡Los problemas no son tan fáciles como podrían parecer!
EL JOVEN HINDÚ Y EL GATO SOLUCIÓN 11 CUADRADOS 20 TRIÁNGULOS
EL JOVEN HINDÚ Y EL GATO SOLUCIÓN Al resolver problemas de este tipo siempre es mejor contar las figuras de algún modo sistemático. En el dibujo del joven hindú, tomemos los cuadrados por orden de tamaño: Cuadrados pequeños: 5 Cuadrados medianos: 5 Cuadrados grandes: 1 Total: 11 Los triángulos del gato pueden contarse así: Cabeza: 10 Cuerpo y pies: 3 Cola: 7 Total: 20
LAS COLILLAS FUMADAS Aquel día los señores Rodríguez habían decidido ir al cine. ¿Tú crees que podemos marcharnos tranquilos, dejando a nuestros hijos solos? Sí, mujer. Voy a hablarles y verás qué bien se portan.
LAS COLILLAS FUMADAS El padre reunió entonces a Carlitos y Agustín, sus dos hijos, y con autoridad les dijo: - Vuestra madre y yo vamos a salir al cine. Vais a quedaros solos en casa. Espero que os sepáis portar como dos personas mayores, con responsabilidad. Dentro de unas tres horas ya estaremos de regreso. - No te preocupes, papá – contestó Agustín.
LAS COLILLAS FUMADAS Los padres se fueron confiados. Pero cuando salieron de casa, Agustín y Carlos empezaron a tramar diabluras. - ¿Qué podríamos hacer? - Podríamos fumar. Vamos a ver si encontramos cigarrillos. Dicho y hecho. No quedó ningún rincón de la casa sin registrar. Pero todo fue en vano, no había forma de encontrar un miserable cigarrillo. Carlitos tuvo una idea: - Podríamos recoger colillas y hacer cigarros con papel de fumar.
LAS COLILLAS FUMADAS Se pusieron a buscar y encontraron nada más y nada menos que 125 colillas. También encontraron papel de fumar y con cada cinco colillas formaban un cigarro. Cuando los padres entraron en la casa el olor a humo era insoportable. Carlitos y Agustín estaban tumbados en la alfombra, fumándose la última colilla.
LAS COLILLAS FUMADAS ¿Sabes cuántos cigarros se fumaron?
LAS COLILLAS FUMADAS SOLUCIÓN 25 5 + 1 31 5 25 5 5 5 1 TOTAL: 31 CIGARROS
¿A QUÉ HORA ENTRÓ LUIS? Mi amigo Luis tiene en su casa un reloj de pared extraordinario. Con un agradable sonido da las horas y, también, cada media hora da una campanada.
¿A QUÉ HORA ENTRÓ LUIS? Cierta noche mi amigo, al regresar a su casa, en el momento en que abría la puerta oyó dar una campanada. Se acostó y, como andaba desvelado, al cabo de media hora escuchó otra campanada. Media hora más tarde oyó otra vez una campanada y a la media hora siguiente aún oyó una más. Cinco minutos más tarde consiguió dormirse.
¿Sabes a qué hora entró en su casa? ¿A QUÉ HORA ENTRÓ LUIS? ¿Sabes a qué hora entró en su casa?
¿A QUÉ HORA ENTRÓ LUIS? SOLUCIÓN Luis entró en su casa justo cuando el reloj estaba dando la última campanada de las 12 de la noche.
LAS OCHO BOLAS Tenemos ocho bolas de plomo. Todas son del mismo color y del mismo tamaño, pero una pesa menos que las demás.
LAS OCHO BOLAS También tenemos una balanza con dos platillos.
LAS OCHO BOLAS Haciendo sólo dos pesadas, tenemos que saber con certeza cuál de las ocho bolas pesa menos que las otras siete, sabiendo que las siete restantes pesan exactamente lo mismo.
LAS OCHO BOLAS ¿Cómo lo haríamos?
LAS OCHO BOLAS SOLUCIÓN Cogemos 6 bolas y las pesamos, poniendo 3 en cada platillo. Podrá ocurrir dos cosas: Que pesen igual. (A) .Que un plato pese menos. (B)
LAS OCHO BOLAS SOLUCIÓN (A) Si pesan igual, está fácil: pesamos las dos bolas que quedan y la que quede más alta en la balanza es la que menos pesa.
LAS OCHO BOLAS SOLUCIÓN (B) Si pesan distinto, igualmente fácil: Cogemos las tres que pesan menos. Pesamos dos de las tres bolas y puede volver a ocurrir dos cosas:
LAS OCHO BOLAS SOLUCIÓN (B1) Que pesen igual: entonces la tercera es la que menos pesa. (B2) Que pesen distinto: la que queda arriba es la que menos pesa.
EL ESTANQUE Y LOS ÁRBOLES Este estanque tiene, como ves, un árbol en cada vértice. El propietario quiere aumentar su superficie al doble y que siga siendo cuadrada pero no quiere arrancar ningún árbol. Después de mucho pensar, lo consigue.
EL ESTANQUE Y LOS ÁRBOLES ¿Sabes cómo lo ha hecho?
EL ESTANQUE Y LOS ÁRBOLES SOLUCIÓN
LAS DOS TRIBUS Una isla está habitada por dos tribus. Los miembros de una tribu siempre dicen la verdad; los miembros de la otra tribu mienten siempre.
LAS DOS TRIBUS Un misionero se encontró con dos de estos nativos, uno alto y otro bajo. - “¿Eres de los que dicen la verdad” - preguntó al más alto. - “Upf”- respondió el nativo alto. El misionero reconoció la palabra como el término nativo que significa sí o no, pero no podía recordar cuál de los dos. El nativo bajo hablaba español, así que el misionero le preguntó qué era lo que había dicho su compañero. - Dijo sí” – replicó el nativo bajo – “¡pero él, gran mentiroso!”.
¿A qué tribu pertenecía cada uno de los nativos? LAS DOS TRIBUS ¿A qué tribu pertenecía cada uno de los nativos?
LAS DOS TRIBUS SOLUCIÓN Cuando el misionero preguntó al nativo alto si era de los que decían la verdad, la respuesta "Upf" debe significar "sí". Si el nativo es de la tribu de los que dicen la verdad, debe decir la verdad y responder que sí; si es uno de los mentirosos, debe mentir, ¡pero la respuesta seguiría siendo sí!
LAS DOS TRIBUS SOLUCIÓN De modo que cuando el nativo más bajo dijo al misionero que su compañero había dicho"sí", estaba diciendo la verdad. En consecuencia, también debe haber dicho la verdad cuando agregó que su amigo era un mentiroso.
LAS DOS TRIBUS SOLUCIÓN CONCLUSIÓN: El hombre alto es mentiroso, el bajo es de la tribu de los que dicen la verdad.
II CONCURSO DE INGENIO F I N
BIBLIOGRAFÍA MATEMÁTICAS PARA DIVERTIRSE -Martin Gardner OLIMPIADAS MATEMÁTICAS “THALES”