INTEGRALES U.D. 8 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

CÁLCULO DE ÁREAS U.D. 8.2 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

TEOREMA DE BOLZANO y Si una función f(x) está definida en un intervalo cerrado [a,b] y es: Continua en [a,b] Toma valores de distinto signo en a y en b Entonces: Existe al menos un punto c del intervalo abierto (a,b) tal que f(c)=0 El cumplimiento de este teorema es importantísimo, por ejemplo, para calcular áreas mediante integración de funciones que cumplen con las premisas del Teorema de Bolzano f(b) >0 y=f(x) f(c) =0 x a c b f(a) <0 Nota: Ya se utilizaba para factorizar funciones polinómicas ( que son siempre continuas en todo R ), por Rufinni, cuando alguna de las raíces no era entera. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA EJEMPLO_1 Hallar el área que forma la función y = x + 2 con el eje de abscisas entre x=1 y x=2 2 Área = ∫ x+2 dx = 1 2 2 = ∫ x dx + ∫ 2 dx = 1 1 2 2 = [x2 / 2] + [2.x] = [2 – 0,5]+[4 – 2] = 1 1 = 1,50 + 2 = 3,50 u2. Y 4 y = x + 2 1 0 1 2 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA Una de las principales utilidades de la integral definida es el cálculo de áreas de cualquier tipo de curva, sin más que poder extraer de la misma una función primitiva. EJEMPLO_2 Hallar el área que forma la función y = x2 con el eje de abscisas entre x=1 y x=2 2 2 1 3 2 Área = ∫ x dx = [ --- x ] = 1 3 1 = 8/3 - 1/3 = 7/3 u2 Y 4 y = x2 1 0 1 2 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Hallar el área que forma EJEMPLO_3 Hallar el área que forma la función y = x3 – x con el eje de abscisas entre x=0 y x=1 1 Área = ∫ x3 – x dx = = [ x4/ 4 – x2 / 2 ] = = [ 1/ 4 – 1 / 2 ] = – 1/ 4 Al estar el área pedida por debajo del eje OX, su valor es negativo. Área = 1 / 4 = 0,25 u2 Y y = x3 - x 0 0,57 1 X -0,4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Hallar el área que forma la función EJEMPLO_4 Hallar el área que forma la función y = x3 – x con el eje de abscisas entre x = -1 y x = 2 A1 = ∫ x3 – x dx = -1 = [ x4/ 4 – x2 / 2 ] = - ¼ + ½ = ¼ 1 A2 =| ∫ x3 – x dx |= ¼ 2 A3 = ∫ x3 – x dx = = [ x4/ 4 – x2 / 2 ] = (4 – 2) – (¼ - ½) = 9/4 Área total = 0,25+0,25+2,25 = 2,75 u2 Y y = x3 - x A3(+) A1(+) -1 0 0,57 1 2 X A2(-) -0,4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Hallar el área que forma la función y = x2 con el eje OX EJEMPLO_4 Hallar el área que forma la función y = x2 con el eje OX entre x= -1 y x = 2 2 Área = ∫ (x2 + 1) dx = -1 = [ x3/ 3 + x ] = = [8/3 + 2 – ( – 1/3 – ( – 1))] = = 8/3 + 2 + 1/3 +1 = = 6 u2 y = x2 + 1 Y 2 - 1 0 1 2 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Hallar el área que forma la función y = ex con el eje OX, EJEMPLO_5 Hallar el área que forma la función y = ex con el eje OX, entre x = 1 y x= 3. Resolución 3 Área = ∫ ex dx = 1 = [ ex ] = = e3 – e1 = = 20,0855 – 2,7182 = = 17,3673 u2 1 Y y = ex 0 1 2 3 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Hallar el área que forma la función x3 + 2 , si x < 0 EJEMPLO_6 Hallar el área que forma la función x3 + 2 , si x < 0 f(x) = 2 , si 0 ≤ x ≤ 2 – x2 + 3.x , si x > 2 con el eje de abscisas entre x= – 1 y x=3 Preliminares La función debe ser continua en el intervalo [-1, 3] Calculamos su continuidad en los puntos críticos: En x=-1 la función existe y es continua al coincidir sus límites laterales. En x=3 la función existe y es continua al coincidir sus límites laterales. En [-1 , 0] y en [2, 3] las funciones son continuas al ser polinómicas ambas Dibujamos la función Las tres zonas del área son positivas y = x3 +2 y = 2 y = – x2 + 3.x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Teníamos la función x3 + 2 , si x < 0 f(x) = 2 , si 0 ≤ x ≤ 2 Resolución EJEMPLO_6 Teníamos la función x3 + 2 , si x < 0 f(x) = 2 , si 0 ≤ x ≤ 2 – x2 + 3.x , si x > 2 Nos piden el área entre x= – 1 y x=3 0 0 A1 = ∫ x3 + 2 dx = [ x4/ 4 + 2.x ] = -1 -1 A1 = 0 – ( ¼ – 2) = 1’75 2 2 A2 = ∫ 2 dx = [2.x] = 4 – 0 = 4 0 0 3 3 A3 = ∫ – x2 + 3.x dx = [– x3/ 3 + 3.x2 / 2 ] = 2 2 = (– 27/3 + 27/2) – (–8/3 + 12/2) = = (– 9 + 13,5 ) – (–2,66 + 6) = = 16,16 – 15 = 1,16 Área total = 1,75 + 4 + 1,1666 = 6,9166 u2 y = x3 +2 y = 2 A1 A2 A3 y = – x2 + 3.x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.