La minimización de los costes Tema 9 La minimización de los costes

Introducción Nuestro supuesto básico es que las empresas quieren obtener el máximo beneficio posible En este capítulo estudiamos cuál es la forma de producir una cantidad dada con el mínimo coste posible Más adelante, la empresa decidirá el nivel de producción que maximiza el beneficio El problema de minimización de costes sería un problema que deciden los ingenieros de la empresa.

Minimización de costes Una empresa usa los factores x1 y x2, cuyos precios son w1 y w2 Si quiere producir y, ¿cuál es la forma más barata de hacerlo? Para resolver este problema necesitamos la función de producción del capítulo anterior

Minimización de costes La empresa escogerá la combinación (x1,x2) que resuelve: min w1x1+w2x2 sujeto a f (x1,x2) = y La solución dependerá de w1, w2 e y La escribimos c(w1,w2,y) y la llamamos función de costes

Rectas isocoste La recta que representa todas las combinaciones de factores cuyo coste es el mismo es la recta isocoste Por ejemplo, para w1 y w2, la recta isocoste asociada a un coste de 100 es la que cumple: w1x1+w2x2 = 100

Rectas isocoste En general, para w1 y w2, la recta isocoste asociada a un coste C es: w1x1+w2x2 = C Despejando x2: x2 = (C/w2)-(w1/w2)x1 La pendiente es -(w1/w2)

Rectas isocoste x2 c” º w1x1+w2x2 c’ º w1x1+w2x2 c’ < c” x1

Rectas isocoste c” º w1x1+w2x2 c’ º w1x1+w2x2 x2 Pendiente= -w1/w2 c’ < c” x1

Isocuantas x2 Todas las combinaciones de factores que producen y’ unidades f(x1,x2) º y’ x1

Minimización de costes x2 ¿Cuál es la más barata? f(x1,x2) º y’ x1

Minimización de costes x2 f(x1,x2) º y’ x1

Minimización de costes x2 La situada en la recta isocoste más baja posible x2* f(x1,x2) º y’ x1* x1

Minimización de costes Cumple dos condiciones: (1) Tangencia: Pendiente isocuanta = Pendiente isocoste x2 x2* (2) Pertenece isocuanta x1* x1

Demandas condicionadas Las cantidades óptimas elegidas de los diferentes factores dependen de los valores particulares de w1, w2 e y La solución óptima la escribimos como x1(w1,w2,y) y x2(w1,w2,y) Estas son las demandas condicionadas de factores

Ejemplo: Complementarios La función de producción es: f(x1,x2) = min{x1,x2} Los precios de los factores son w1 y w2. ¿Cuál es la forma más barata de producir y? ¿Cuáles son las funciones de demanda condicionadas? ¿Cuál es la función de costes?

Ejemplo: Complementarios x2 x1 = x2 min{x1,x2} º y x1

Ejemplo: Complementarios x2 ¿Qué combinación minimiza el coste total de producir y? min{x1,x2} º y x1

Ejemplo: Complementarios x2 x1 = x2 x2* = y min{x1,x2} º y x1* = y x1

Ejemplo: Complementarios La forma más barata de producir y es usando y unidades de x1 e y unidades de x2 Por lo tanto, la función de costes es: c(w1,w2,y) = w1x1+w2x2 = = (w1+w2)y Las demandas condicionadas son x1(w1,w2,y) = y, x2(w1,w2,y) = y

Ejemplo: Sustitutos La función de producción es: f(x1,x2) = x1+x2 Como x1 y x2 son sustitutos perfectos, la empresa utilizará sólo el más barato El coste será el menor entre w1y e w2y La función de costes es: c(w1,w2,y) = min{w1y,w2y} = = min{w1,w2}y

Ejemplo: Cobb-Douglas La función de producción es (hacemos A = 1 para simplificar): f(x1,x2) = x1ax2b Usamos la condición de tangencia: -PM1/PM2 = -w1/w2 Sabíamos ya que: -PM1/PM2 = - a x2 / b x1 Además y = x1ax2b

Ejemplo: Cobb-Douglas Despejando, obtenemos: La demanda de x2 es similar Finalmente, la función de costes es:

Rendimientos de escala y costes En el caso de rendimientos constantes, supongamos que hemos resuelto el problema de minimización de costes para producir una unidad El coste resultante es c(w1,w2,1) El coste mínimo para producir y unidades será c(w1,w2,y) = c(w1,w2,1) y ¿Por qué?

Rendimientos de escala y costes Con rendimientos crecientes, si queremos producir el doble, necesitamos menos del doble de factores Esto significa que los costes aumentan menos del doble La función de costes aumenta menos que proporcionalmente en relación con y Usamos el coste medio

Coste medio La función de coste medio nos dice cuál es el coste por unidad cuando producimos y unidades: CMe(y) = c(w1,w2,y) / y Con rendimientos constantes: CMe(y) = c(w1,w2,1)y / y = = c(w1,w2,1)

Coste medio Con rendimientos crecientes, los costes aumentan menos que proporcionalmente con la producción Por lo tanto, los costes medios son decrecientes con y Por el contrario, con rendimientos decrecientes, los costes medios son crecientes

Costes a largo y corto plazo A largo plazo una empresa puede variar las cantidades de todos los factores A corto plazo hay algún factor cuya cantidad no podemos cambiar La función de costes a corto plazo nos dice cuál es el coste mínimo de producción, ajustando sólo los factores variables

Costes a largo y corto plazo La función de costes a largo plazo nos dice cuál es el coste mínimo de producción, cuando podemos ajustar todos los factores Supongamos que, a corto plazo, la cantidad del segundo factor es fija, en concreto x2 = x2

Costes a largo y corto plazo La función de costes a corto plazo es la solución de: min w1x1+w2x2 sujeto a f(x1, x2) = y La llamamos cCP(y, x2). En general el coste mínimo dependerá de x2 También podríamos definir las demandas a corto plazo de los factores

Costes a largo y corto plazo Las demandas serían: x1 =x1CP(w1,w2, x2,y) y x2 = x2 Usando la función de costes a corto plazo, se debe cumplir: cCP(y, x2) = w1 x1CP(w1,w2, x2,y) +w2x2 Por otro lado, la función de costes a largo plazo, sale del problema de minimización del comienzo del tema

Costes a largo y corto plazo Ya no tenemos la restricción x2 = x2. Podemos elegir también la cantidad de x2 Las demandas de factores a largo plazo son x1(w1,w2,y) y x2(w1,w2,y) La función de costes a largo plazo es: c(y) = w1 x1(w1,w2,y)+w2 x2(w1,w2,y) Vamos a ver la relación que hay entre costes a corto y a largo plazo

Costes a largo y corto plazo Suponemos que los precios de los factores son fijos (nos olvidamos de ellos por ahora) Las demandas de factores a largo plazo son x1(y) y x2(y) La función de costes a largo plazo cumple: c(y) = cCP(y, x2(y)) ¿Qué significa esto?

Costes a largo y corto plazo Que el coste mínimo a largo plazo de producir y coincide con el coste mínimo a corto plazo cuando el factor 2 es fijo, pero su valor coincide con el nivel que minimiza los costes a largo plazo Por lo tanto, la demanda a largo plazo del factor 1 cumple: x1(w1,w2,y) = x1CP(w1,w2, x2(y),y)

Costes a largo y corto plazo De nuevo, esto quiere decir que la cantidad del factor 1 (factor variable) que minimiza los costes a largo plazo es la misma que la empresa elegiría, a corto plazo, si la cantidad del factor 2 (factor fijo) fuese igual que la que minimiza los costes a largo plazo