RAZONAMIENTO MATEMATICO Mg. CORNELIO GONZALES TORRES

S U C E S I Ó N 8; 10; 12; 14; 16 20; 19; 18; 17; 16 2; 4; 8; 16; 32 EJEMPLOS: 8; 10; 12; 14; 16 1) +2 +2 +2 +2 20; 19; 18; 17; 16 2) -1 -1 -1 -1 2; 4; 8; 16; 32 3) x2 x2 x2 x2 80; 40; 20; 10; 5 4) /2 /2 /2 /2

TERMINOS FALTANTES Que término continua en la sucesión Ejemplos: 1) 8; 9; 12; 17; ? Rpta. ? =17+ 7 =24 +1 +3 +5 +7 ¿Qué término continúa? 2) 8; 16; 17; 34; 35; 70; ? x2 +1 x2 +1 x2 +1 Rpta. ? = 70 + 1 = 71

20; 18; 21; 17; 22; x 8; 10; 13; 17; 23; 35; X 3) Hallar “X” Rpta. X = 22-6 x=16 -4 -2 +3 -5 -6 4) Hallar el valor de “X” en la sucesión 8; 10; 13; 17; 23; 35; X +2 +3 +4 +6 + 12 +a +1 +1 +2 +6 +b x1 x2 Rpta. c=4 B=6 x4 b=24 A= 12+24 a= 36 X=35+a x=35+36 x=71 x3 xc

5) HALLAR X + Y 4 ; 8; 12; 16; X 7 14 28 56 Y Rpta. 7, 14, 28, 56, y Y = 112 x2 x2 x2 x2 4, 8, 12, 16, x x = 20 +4 +4 +4 +4 x + y = 132

5; 29; 12; 22; 26; a 31 10 26 24 17 b Rpta. 6) HALLAR “A” Y “B” x2 +2 x2 +2 x2 2. 31, 29, 26, 22, 17, a a = 20 -2 -3 -4 -5 -6

A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, Ñ, O, P, Q, R, S, T, U, V,.. SUCESIONES LITERALES EJEMPLOS : ¿QUE TERMINO CONTINUA ? 1) E; H; L; P; …… Rpta. A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, Ñ, O, P, Q, R, S, T, U, V,.. 2 3 4 ? Rpta. ? = V Se deduce: G; H; I; J 2) W; T; P; N; J; ? -2 -3 -2 -3 -2 -2 Rpta. ?= G

A; C; I; T; A; M; E; T; A; …… 3) ¿Qué letra continua? A; C; I; T; A; M; E; T; A; …… Rpta ACITAMETAM MATEMATICA FALTA: ?= M SUCESIONES ALTERNATIVAS 1) Hallar “x” e “y” en : +2 +4 +6 +8 2; 16; 3; 18; 6; 22; 11; 28; X; Y Rpta. X= 18 Y= 36 +1 +3 +5 +7

3) Hallar ( x + y) en Rpta. 5; 10; 40; 320; x x2 x8 x4 xa Luego: x = 320 x 16 “a es doble del anterior a = 16 ” X = 5120 2. Con los exponentes 29; 28; 25; 20; y Y = 20 - 7 Y = 13 -1 -3 -5 x7 Nos piden x + y = 5 133

4) Hallar “x” e “y” De donde X = 9

DISTRIBUCIONES Distribuciones Paramétricas 2 5 1 5 7 x 4 Luego: 1) Hallar “x” 2 5 1 5 7 x 4 + + = + = + + = + Luego: 7 + x + 4 = 15 x= 4

2) ¿Que número falta en? 15 6 8 ? 20 23 14 + + + Rpta. ?= 8

3) Hallar “x” + “y” 2. Buscando otra relación ( 2 + 4 ). 2 = 12 (7 + 14 ). 2 = 42 (5 +10 ) . 2 = 30 ( 4 + 8 ). 2 = y 4 12 14 42 10 30 4 x y y= 24 Piden : x + y = 32 1. Solución x2 4 14 10 4 x x2 x2 x2 X = 8

5) Hallar “x” 9 10 6 6 20 10 9 x 8 7 Solución . 7 + 9 = 10 + 6 24 + 6 = 20 + 10 Luego debe cumplir que: 9+ x= 8 + 7 x = 6

ANALOGÍAS NÚMERICAS 1) ¿Qué número falta? (7) 1 (29) 2 8 (x) 6 (7) 1 (29) 2 8 (x) 6 Solución: De las premisas extraemos 3 x 2 + 1 = 7 3 x 9 + 2 = 29 3 x 8 + 6 ? = 30

(4) 28 (5) 33 120 (x) 80 Solución: Buscando la relación en las premisa 2) Hallar “x” (4) 28 (5) 33 120 (x) 80 Solución: Buscando la relación en las premisa Luego:

(24) 16 (30) 10 2 ( ) 20 Solución: En conclusión: 3) ¿Qué número completa la relación? (24) 16 (30) 10 2 ( ) 20 Solución: En conclusión:

(10) 6 (10) 3 (7) 2 4 (x) 4 Solución: Cumple que: 26 = 64 6 + 4 = 10 4) Hallar “x” Luego: 44 = 256 x = 2+ 5 + 6 x= 13 (10) 6 (10) 3 (7) 2 4 (x) 4 Solución: Cumple que: 26 = 64 6 + 4 = 10 73 = 343 3 + 4 + 3 = 10 52 = 25 2 + 5 = 7

5) Hallar “x” 263 (110) 730 (45) 405 280 (X) 529 Solución (2 + 6 +3). (7+ 3 + 0) = 110 (1 + 3 + 1). (4 + 0 + 5) = 45 Luego: x = (2 + 8 + 0). (5 + 2 + 9) x=160

DISTRIBUCIONES GRAFICAS 1) Hallar “x” X 1 4 5 17 2 3 5 1 2 8 6 19 4 3 Solución 3 x 5 + 20 = 17 2 x 1 + 6 = 8 4 x 4 + 3 = 19 En la ultima debe de cumplir que: x = 1 x 5 + 4 x = 9

2) Hallar la suma de los términos que faltan 60 871 120 16 17 34 8 ? 22 46 23 5 10 11 ? Segunda figura. Solución: 5, 10, 11, 22, 23, 5, ?, ? Primera figura: +1 x2 +1 x2 +1 x2 x2 8,16,17,34, 60,120, 871, ? x2 x2 x2 x2 Nos piden: 1742 + 47 + 94 =1883 ? = 871 x 2 = 1742

3) Hallar “x” 8 5 4 7 9 15 6 12 x Solución 8 x 5 = 40 4 + 0 = 4 7 x 9 = 63 6 + 3 = 9 15 x 4 = 60 6 + 0 = 6

4) ¿Qué número falta? ? 6 9 4 7 10 4 8 2 5 8 3 9 4 7 Solución De las primeras figuras Luego en la tercera.: 3 x 7 = 21 - 9 + 4 = 13 8 4 x 5 = 20 - 8 + 2 = 10 10 6 x 3 = 18 - 2 + 3 = 5 X = 13

a 1 2 3 4 5 b 38 32 22 8 -10 40-2a2 = b 2 a2 +b = 40 Solución: 5) Hallar la relación entre “a” y “b” en la tabla a 1 2 3 4 5 b 38 32 22 8 -10 Solución: Analizando hallamos que: 40 – 2 (1)2 = 38 40 – 2 (2)2 = 32 40 - 2 (3)2 = 22 40 – 2 (4)2 = 8 40 – 2 (5)2 = -10 a b Se observa luego 40-2a2 = b 2 a2 +b = 40

4 3 8 2 3 4 x 3 63 Solución: De las dos primeras se deduce que Luego: 6) Hallar “x” 3 8 2 3 63 4 4 x 3 Solución: De las dos primeras se deduce que Luego: 34 – 1 = 80 23 – 1 = 8 43 – 1 = 63 x= 80

7) A cada cuadradito debe Ud 7) A cada cuadradito debe Ud. Asignar un numero del 1 al 8; con la condición que en dos cuadraditos contiguos los números no sean consecutivos.(solución pag. 48-1) 2 5 8 6 4 3 1 7

8) Distribuya en los círculos los números del 1 al 9; tal que cada línea sea 27. (sol. Pag.49-10) 3 6 4 5

1) Hallar el máximo número de cuadriláteros FIGURAS 1) Hallar el máximo número de cuadriláteros 1 2 3 4 5 De (1): 1; 2; 3; 4; 5 = 5 De (2): 12; 34; 45 = 3 De (3): 123; 345 = 2 Total s = 10

2) Hallar el número de triángulos en: x 1 4 5 2 y 3 6 Solución. De (1): 6 De (2): 6 De (3): 5 De (5): 2 De (8): 1 Total = 20

3) ¿Cuál es la menor distancia para recorrer los lados del rectángulo, incluyendo sus diagonales? 40 30 Solución Por el teorema de Pitágoras la diagonal será: 50 El perímetro = = 2(40) + 2(30) = 140 Luego la distancia mínima deberá ser: 140 + 50 +50 +30 270

* 4) Hallar el numero de triángulos que tiene un <<*>> b 1 2 Tienen un solo << * >> 1; 2; 1 a ; 2b Rpta.: 4 triángulos

5) Cuantos ángulos agudos se encuentran en: 30 1 2 3 6 = 1 + 2 + 3 . Total = 1+ 2 + 3 …+ 30 1 2 3 . Para 30 Total = n(n+1) 2 Solución: # ángulos agudos Total = n(n+1) 2 1 = 1 1 Total = 30(30+1) 2 1 3 = 1 + 2 Total = 465 2

6) Hallar el total de triángulos en: 1 2 3 4 5 Solución Total = 5 . 4(4+1) 2 Total = 50

7) Hallar el total de cuadriláteros en: 1 2 3 4 6 5 7 De (1): 7 De (2): 6 De (3): 1 De (4): 1 De (5): 1 De (7): 1 Total = 23

NOTACION DE FUNCIONES 1) Dada : f(x) = -1 Hallar : f(5) + f(3) EJEMPLOS: 1) Dada : f(x) = -1 Hallar : f(5) + f(3) Solución F(5) = 52 – 1 = 24 x F(3 ) = 32 – 1 = 8 x

Hallar <<a>> si: F(x) + f(2x) + f(3x) = 140 X2 -15 2) Se define : f(x) = - 5 Hallar <<a>> si: F(x) + f(2x) + f(3x) = 140 X2 -15 Solución: Con la ley inicial calculamos cada función Efectuando y sumando Por semejanza: a= 10

3) Si : f(f(x)) es independiente de “x” Además : f(x)= ax+4; con x ≠ 4 Hallar el valor entero de <<a>> solución Calculamos f(f(x)) a a x + 4 + 4 x – 4 a x + 4 - 4 ⇒ f a x +4 x- 4 =

Lo anterior solo se cumplirá para: a = 0 - 1 Reduciendo: (a2x+4 a ) + 4 (x - 4) ax + 4) – a (x - 4) x (a2x+4 a ) + (4a- 16) x (a - 4) + (4 - 16) Independencia Se cumplirá que : a2 + 4 a – 4 4a - 16 4 + 16 Lo anterior solo se cumplirá para: a = 0 - 1

4) Dada: f(1-x)=x+ x2 + x3 + x4 + …. Con: 0 <x<1 Solución x + x2 + x3 + x4 + ……} S = t1 ⇒ x 1 – r 1 - x r =x r =x

3

5) Si P(x+7) = x2 – 6x+2 HALLAR : P(h+9) Solución 2) Reemplazando en:

Solución:

Calcular E = - 9 x + 3 PRODUCTOS NOTABLES SI: X = - 3 Si se reemplaza: Solución Si se reemplaza: = Indeterminado E = x2 – 32 ⇒ (x3) (x- 3) (x+3) (x+3) E = x - 3 E = (- 3) - 3

2. Si: Hallar: Solución: Al cuadrado el dato

3. Efectuar: Solución: Tratando de aplicar

Solución: Con el dato: Restando 2:

5) si: a – b = b – c = 10 S = 3 Solución: Del dato: Sumando: 10 10 Reemplazando: 10 10 S = 3

6) Hallar: M = Para: a= 0,75

7) Siendo : a-b =5 ab = 4 Hallar a3 b3 Solución: Se sabe que: Reemplazando datos:

8) Calcular: E =

TEORÍA DE CONJUNTOS 1) SI: A = {2; 4; 5; 6; 8} B = {1; 2; 4; 7; 9} HALLAR: (AUB) – (A-B) 2) Dados: A= {x є z/ x2 – 3x+2 = 0} B= {x є z/ x2 – 5x+6 = 0} Hallar (A∆B)

En un avión viajan 120 personas, de las cuales: Los 2/3 de ellas no beben Los 4/5 de ellas no fuman 72 no fuman ni beben ¿Cuántas personas fuman y beben o no fuman ni beben?

4) De los 100 alumnos de un salón, 70 aprobaron el curso “m”, 80 aprobaron “h” y 78 aprobaron el curso “n”. si 90 aprobaron exactamente 2 cursos; ¿cuantos aprobaron los tres cursos ? 5) De un grupo de 64 alumnos que estudian idiomas se observo que los que estudian solo ingles es el triple de los que estudian ingles y francés. los que estudian solo francés son la mitad de los que estudian ingles y 4 no estudian ingles ni francés, ¿cuantos estudian solo ingles?

6) De un grupo de 80 personas 27 leían la revista A, pero no leían la revista B 26 leían la revista B, pero no C. 19 leían C pero no A. 2 las tres revistas mencionadas ¿Cuantos preferirían otras revistas?

8) si: A={x є z / - 5x+6=0} B={x є z / - 4x +3=0} Hallar: P(A u B) 7) En un colegio el 50 % de los alumnos aprobó física, el 42% aprobó química y el 56 de los alumnos aprobó uno y sólo uno de los dos cursos. Además 432 aprobaron física y química. ¿Cuántos alumnos hay en el colegio? 8) si: A={x є z / - 5x+6=0} B={x є z / - 4x +3=0} Hallar: P(A u B)

NUMERACIÓN 1. a+ b a0b(7) = b0a(11) 2. Hallar (a + b), si (n-1) (n-1) (n-1 )(n) = ab4 3.Un número de 3 cifras del sistema undecimal, al convertirse al sistema heptal viene representado por las mismas cifras, pero en orden inverso. ¿hallar la cifra?

4. En un pueblo viven: bac ancianos; bca adultos y ba niños; en total son abc, ¿Cuántos no son ancianos? 5) Se arrojan tres dados, el resultado del primer dado se multiplica por 7, se suma el resultado del segundo dado y se multiplica todo por 7, por ultimo se suma el resultado del tercer dado, obteniéndose así 136. ¿Cuál fue el resultado de cada dado?

6) ¿Cuál es la base del mayor numero de “x” cifras que equivale al mayor numero de 24x” cifras del sistema octal? 7) Escribiendo un cero a la derecha de un numero entero, se ha aumentado este número en 15 552.¿cual es este número? 8) Halla un número de tres cifras que sea igual a 12 veces la suma de sus cifras.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS Cuando Timoteo y Karina desean encontrarse, deben recorrer entre ambos 777 km: y con velocidades constantes de 9 km/h y 6 km/h. ¿en cuantos puntos distintos se pueden encontrar? 2) Hallar la suma de los “n” primeros números múltiplos positivos de 6.

3) ¿Cuál es la suma de las cifras que deben sustituir a 2 y 3 del numero 52 103 para que sea divisible entre 72? 4) Por 24,10 soles se han comprado cuadernos a 3,80 soles cada uno y lapiceros a 1,70 soles cada uno. ¿cuantos objetos se han comprado?

5) De los divisores de 180, hallar la suma de los que sean múltiplos de 6. 6) Cuantos triángulos rectángulos existen, que tenga como área de 600 m2 ;y además sus catetos sean enteros positivos? 7) Si el número: 15(30x) tiene 294 divisores, hallar “x”

8) Determinar cuantos rectángulos cuyas medidas de sus lados son números enteros existen , de modo tal que el valor de su área sea 20 m2 . 9) ¿En cuantos ceros terminan 1500!?

10) Hallar la suma de dos números cuyo MCD sea 18 y que el primero tenga 10 divisores y el segundo 15 divisores. 11) El numero de divisores comunes de los números: 1 760 913 y 83 853 es: 12) Cuantos ceros tiene el MCM de: 120100 ; 150200 y 140300 ?

F R A C C I O N E S ¿Cuál de las fracciones que dividida por su inversa da 1369? 2304 2. Si a los dos términos de una fracción ordinaria reducida a simple expresión se suma el cuádruple del denominador y al resultado se le resta la fracción, resulta la misma fracción, ¿Cuál es la fracción original?

3. Hallar fracción equivalente a , tal que la suma de los cuadrados de sus términos sea 1 044 4. Los 3/5 de “a” es “b” y los 8/9 de “b” es “c”. ¿Qué parte de “a” es “c”? 5. Si los radios de una sucesión de esferas son: 1, ½, ¼, 1/8, …. Centímetros ¿Cuál es la suma limite de los volúmenes de todas las esferas de la sucesión?

llena hasta sus 4/7 partes.¿ cuantos litros faltan para llenarla? 6. Una piscina esta llena hasta sus 3/5 partes. Si se sacara 2 000 l quedaría llena hasta sus 4/7 partes.¿ cuantos litros faltan para llenarla? 7. Un jugador en el 1º juego pierde 1/3 de su dinero, en el 2º pierde ¼ del resto y en el 3º pierde 1/5 del nuevo resto; si al final se quedó con s/. 200, ¿con cuanto empezó a jugar ?

REGLA DE TRES: SIMPLE Y COMPUESTA Para pintar una pared de 120 m de largo, se emplearan cierto numero de obreros. Si la pared fuese 40m mas larga, harían falta 5 obreros mas, ¿Cuántos obreros se emplearían? 2. A una reunión asistieron 624 personas; se sabe que por cada 7 hombres, habían 9 mujeres. ¿Cuántos hombres asistieron?

3. Un papá le da a su hijo s/. 150 tantas veces como miles tiene en el banco. Si aun le quedan s/. 170 000 en el banco ¿Cuánto tiene el hijo? 4. 36 obreros cavan 120 m de zanja diaria. ¿Cuál será el avance diario, cuando se ausentan 9 obreros?

5. “a” maquinas hacen una obra en 30 días; (a + b) maquinas hacen la misma obra en 20 días. Hallar “a” 6. Con 10 kg de hilo se puede tejer una pieza de genero de 32 m de largo por 0,85 m de ancho. ¿Cuál será la longitud de otra pieza de genero que tiene 0,65 m de ancho y que ha sido fabricada con 175 kg de hilo?

7. 4 gallinas ponen 6 huevos en 10 días ¿Cuántos huevos pondrán 20 gallinas en 8 días? 8. Con una carretilla pueden transportar un desmonte en 6 días haciendo ciertos números de viajes diarios, pero lo harían en 2 días menos si hicieran 6 viajes mas por día. ¿cuantos viajes en total tendrán que hacer para transportar el desmonte en “n” días?

PORCENTAJES Luego de hacer dos descuentos sucesivos de 20% y de 10%, un articulo cuesta s/. 288, ¿Cuál era su precio inicial? Si el 40 % del 50 % de “a” es el 30 % de “b”, ¿que porcentaje de (2a + 7b) es (a + b)?

El grafico muestra la distribución de los gastos de un hogar El grafico muestra la distribución de los gastos de un hogar. Si del sector de alimentación el 25% corresponde a carnes. ¿Cuántos grados corresponde al sector carnes? 10 % 40 % 30% alimentos casa luz otros

Un basquetbolista debe lanzar 160 veces al cesto Un basquetbolista debe lanzar 160 veces al cesto. Si ya ha convertido 40, ¿Cuántas mas debe convertir para tener una eficiencia del 70 %? Si la arista de un cubo aumenta en su 100%. ¿en que porcentaje varia su volumen?

Si el 50% del 20% de a; el 5 de b mas el 25% de b y el cuatro por veinte del cinco por siete de la mitad de c, son proporcionales a 8; 6 y 2. ¿Qué porcentaje de (a + b) es c? En una jaula se encuentran 80 loros y 120 gorriones. ¿Cuántos gorriones se escaparon si el porcentaje de loros aumento en 40%?

MÓVILES Un alumno parte de su casa y avanza 28 m al este luego 30m al norte y por ultimo 12m al este, encontrando una tienda. Determinar la distancia que hay de la casa a la tienda. Un móvil marcha con una velocidad de 72 km/h durante 30min. La distancia recorrida en este lapso de tiempo es:

En la figura Hallar el tiempo que tardaron en encontrarse 2 km V1 =35 m/s V2 =65 m/s Hallar el tiempo que tardaron en encontrarse

Un auto se desplaza con una velocidad contante de “V” m/s recorriendo un determinado espacio en 4s. Si aumentando su velocidad en 4 m/s recorre el mismo espacio en 3,5, s, hallar “V” en m/s. Pablo se dirige a la playa manejando su camioneta a una velocidad de 50 km/h. a su regreso su velocidad promedio fue de 40 km/h, el viaje total duro 9 h. hallar la distancia hasta la playa.

Nancy se dirige de su casa al colegio en su bicicleta a 20 km/h llegando a las 7 a.m., pero si va a 12 km/h llega a las 9 a.m., ¿con que velocidad debe ir si desea llagar exactamente a las 8 a.m.?

Una hormiga va de M hacia N recorriendo el marco de una ventana de 40 cm de largo y 30 cm de ancho, con rapidez de 2cm/s, hallar la velocidad media de la hormiga en el trayecto desde M hacia N. 40 m 30 m N M