RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO U.D. 10 * 2º BCT RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

PUNTOS Y RECTAS EN EL PLANO U.D. 10.1 * 2º BCT PUNTOS Y RECTAS EN EL PLANO @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Puntos en el plano Los puntos A, B y C no están alineados. Los puntos B, D y E están alineados. Y 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 C(4, 3) B(- 2, 1) X -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 D(3, -1) A(- 5, - 2) E(8, -3) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Alineación de puntos en plano Sean los puntos B(-2, 1), D(3, -1) y E(8, -3). Comprobar si están alineados. Resolución Vector BD = (3-(-2), -1-1)= (5, -2) Vector DE = (8-3, -3-(-1)) = (5, -2) Las coordenadas de los vectores son proporcionales (iguales en este caso), luego los puntos están alineados. Sean los puntos A(-5, -2), B(-2, 1) y C(4, 3). Vector AB = (-2-(-5), 1-(-2))= (3, 3) Vector BC = (4-(-2), 3-1) = (6, 2) Las coordenadas de los vectores no son proporcionales, luego no están alineados. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Alineación de puntos en plano Sean los puntos P(1, 1), Q(3, 1) y R(7, a). ¿Qué debe valer a para que estén alineados?. Resolución Vector PQ = (3-1, 1-1)= (2, 0) Vector QR = (7-3, a-1) = (4, a-1) Las coordenadas de los vectores deben ser proporcionales: 4 = k.2  k = 2  0.k = a-1  0 = a – 1  a = 1 Si a = 1 los puntos están alineados. Sean los puntos M(1 , a), N(1 , 2) y S(b , 3). ¿Cómo debe ser a y b para que estén alineados?. Vector MN = (1-1, 2-a)= (0, 2-a) Vector NS = (b-1, 3-2) = (b-1, 1) Las coordenadas de los vectores deben ser proporcionales. Para a=1 y b=1 se cumple, luego están alineados para esos valores de a y de b. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

ECUACIÓN VECTORIAL (x, y) = (xo, yo) + t.(a, b) Sea X un punto cualquiera de la recta r(A, d) Siendo d el vector director de r. Como se ve en la figura, el vector OX es suma del vector OA (vector de posición del punto A) y del vector AX. El vector AX es t veces el vector d. Siendo t un número que se llama parámetro de la recta. Luego, como OX = OA + AX. OX = OA + t. u Si X(x,y), d=(a, b) y A(xo, yo) (x, y) = (xo, yo) + t.(a, b) Ecuación vectorial de la recta r. y X d AX A r OX OA x O(0,0) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

ECUACIÓN PARAMÉTRICA x = xo + t.a y = yo + t.b y La ecuación vectorial de la recta es: OX = OA + t. d  (x, y) = (xo, yo) + t.(a, b) Para cada valor de t tendremos un par de valores (x,y) de los puntos que forman parte de la recta. Si desglosamos las coordenadas en x e y: x = xo + t.a y = yo + t.b Que es la ECUACIÓN PARAMÉTRICA de la recta, donde x e y dependen del valor que tome el parámetro t. Dos expresiones, una sola ecuación: No es un sistema. d X AX A r OX OA x O(0,0) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

ECUACIÓN CONTINUA La ecuación paramétrica de una recta hemos visto que es: x = xo + t.a y = yo + t.b Si en ambas expresiones despejamos el parámetro t , resulta: x – xo = t.a  (x – xo ) / a = t y – yo = t.b  (y – yo ) / b = t Como el valor del parámetro t debe ser el mismo para cada punto de la recta, podemos igualarlo: x - xo y - yo t = t  --------- = --------- , siempre que a<>0 y b<>0 a b Que es la ECUACIÓN CONTINUA de la recta. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejercicios Y r s d(3 , 2) A(1 , 3) X Hallar las ecuaciones vectorial, paramétrica y continua de las rectas r y s. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Resolución Recta r Ecuación vectorial (x, y) = (xo, yo) + t.(a, b) (x, y) = (1, 3) + t.(3, 2) Ecuación paramétrica x = xo + t.a y = yo + t.b x = 1 + 3.t y = 3 + 2.t Ecuación continua x – xo = t.a  t = (x – xo ) / a y = yo + t.b  t = (y – yo ) / b Igualando: (x – xo ) / a = (y – yo ) / b (x – 1 ) / 3 = (y – 3 ) / 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Resolución Recta s La recta s vemos que pasa por los puntos (-1, 0) y (0, -1). Su vector director será d= (0 – (-1), -1 – 0) = (1, -1) Tomamos el punto (-1, 0) como el punto de referencia por donde pasa s. Ecuación vectorial (x, y) = (-1, 0) + t.(1, -1) Ecuación paramétrica x = - 1 + t y = - t Ecuación continua (x + 1 ) / 1 = y / (– 1) x + 1 = – y @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.