Estructura de Datos en memoria secundaria Árbol B Estructura de Datos en memoria secundaria

Introducción Para almacenar muchos datos disco, es necesario una estructura de datos eficiente. Los accesos al disco son costosos en tiempo por lo que se debe evitar realizar muchos accesos a los datos. AVL es la mejor estructura para memoria principal, pero es ineficiente si se utiliza para almacenamiento secundario. Esto se debe a la cantidad de accesos necesarios para efectuar las rotaciones. Otro problema es que se requieren tantos accesos como niveles se recorran en el árbol para efectuar la búsqueda.

Árboles B Bayer y McCreight propusieron en 1970 esta estructura. Manejan árboles de búsqueda multicamino, cuyos nodos guardan más de un elemento. Son árboles 100% balanceados en su estructura, lo cual repercute en búsquedas eficientes y en accesos mínimos a disco. 10 20 5 8 25 65 92 99 12 18

Características del Árbol B Un Árbol B de orden n es aquel que: Todas las hojas del árbol están en el nivel inferior. Cada nodo contiene entre n y 2n elementos, excepto el nodo raíz, que puede tener entre 1 y 2n elementos. Si un nodo tiene ‘m’ elementos, el nodo siempre contendrá m + 1 hijos si no es un nodo hoja.

Ejemplo.... Para un Árbol B de orden 3: Cuántos elementos máximo puede guardar cada nodo del árbol? 6 ¿Cuántos elementos mínimo puede guardar cada nodo del árbol? 1 si el la raíz, 3 cualquier otro nodo. ¿Cuántos hijos máximo puede tener un nodo? 7 ¿Cuántos hijos mínimo puede tener un nodo? 0 si es hoja, 2 si es raíz, 4 cualquier otro nodo.

Más características del Árbol B Un árbol B de orden n es aquél en que: Los elementos de un nodo están ordenados linealmente. Los elementos están organizados de tal forma que se cumple la regla de la búsqueda: a la izquierda menores, a la derecha mayores. 10 20 5 8 25 65 92 99 12 18

Ejemplo... ¿De qué orden es este árbol B? 10 20 5 8 25 65 92 99 12 18 Este árbol es de orden 2 ya que puede almacenar hasta 4 elementos en cada nodo.

Proceso de Inserción Buscar el nodo hoja en donde se debería agregar el elemento. Si hay espacio disponible en el nodo, agregar el elemento y terminar. Si el nodo hoja NO tiene capacidad de almacenar el elemento, se deberá crear un nuevo nodo al mismo nivel de la hoja y distribuir a los 2n+1 elementos de la siguiente forma: El nuevo nodo recibe a los ‘n’ elementos más grandes. El nodo existente se queda con los ‘n’ elementos más pequeños. El elemento medio se insertará en el nodo padre siguiendo la misma lógica de inserción. En caso de no haber nodo padre, se creará un nuevo nodo que pasará a ser la nueva raíz.

Ejemplo.... 10 20 5 8 25 65 92 99 12 18 Agregar el 4 10 20 Si hay espacio para el elemento, éste se agrega en el nodo. Los elementos están acomodados de menor a mayor. 4 5 8 25 65 92 99 12 18

Ejemplo... 10 20 5 8 25 65 92 99 12 18 Agregar el 56 Cuando el nuevo elemento no cabe en el nodo, se agrega otro nodo y se reparten los elementos. 10 20 65 4 5 8 92 99 12 18 25 56

Ejemplo... 10 20 65 4 5 8 70 75 80 85 12 18 25 56 Agregar el 78 El árbol siempre se resiste a crecer, ya que trata de distribuir los elementos en los nodos ya existentes. 10 20 70 4 5 8 75 78 80 85 12 18 25 56 65

Ejemplo 10 20 65 90 El árbol crece de abajo hacia arriba. Cuando el árbol aumenta de altura sólo se agrega una nueva raíz. 94 95 4 5 8 70 75 80 85 12 18 Agregar el 66 25 56 57 60 1 2 10 20 65 90 65 4 5 8 75 94 95 10 20 75 90 12 18 80 85 4 5 8 94 95 25 56 57 60 66 70 12 18 80 85 25 56 57 60 66 70

Proceso de Eliminación Buscar el elemento a borrar. Si el elemento a borrar está en una nodo hoja, se borra y termina el proceso. Si el elemento a borrar no se encuentra en una hoja, al igual que en un ABB, se buscará al sustituto más apropiado. El sustituto será: El último elemento de la hoja más derecha del subárbol izquierdo del nodo actual (el mayor de los menores). El primer elemento de la hoja más izquierda del subárbol derecho del nodo actual (el menor de los mayores).

Ejemplo... 10 20 65 4 5 8 70 75 80 85 12 18 25 56 Eliminar el 8 Cuando el nodo tiene más elementos que el mínimo, se da de baja al elemento y termina el proceso. 10 20 65 4 5 70 75 80 85 12 18 25 56

Cuando el nodo tiene el mínimo se toma un elemento de los hermanos. Ejemplo... 10 20 65 4 5 8 12 18 25 56 70 75 80 85 Eliminar el 56 Cuando el nodo tiene el mínimo se toma un elemento de los hermanos. 10 20 70 4 5 8 75 80 85 12 18 25 65

Ejemplo... 10 20 65 4 5 8 12 18 25 56 70 75 Eliminar el 56 Cuando el nodo tiene el mínimo y los hermanos también, se une el nodo con uno de sus hermanos y le libera el nodo sobrante. 10 20 4 5 8 12 18 25 65 70 75

Utilizar el menor de los mayores Ejemplo... 65 10 20 75 90 Eliminar el 65 Utilizar el menor de los mayores 4 5 8 93 95 12 18 80 85 25 56 57 60 66 70 2 1 66 10 20 66 90 10 20 90 4 5 8 4 5 8 93 95 93 95 12 18 12 18 70 75 80 85 70 75 80 85 25 56 57 60 25 56 57 60

Utilizar el menor de los mayores 65 Ejemplo... 10 20 60 75 90 93 95 Eliminar el 65 Utilizar el menor de los mayores 4 5 8 61 62 12 18 80 85 25 56 57 58 66 70 1 2 66 60 10 20 60 90 10 20 66 90 4 5 8 93 95 4 5 8 93 95 12 18 70 75 80 85 12 18 70 75 80 85 25 56 57 58 25 56 57 58 61 62 61 62