UNIDAD III PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA “Conceptos básicos” M.A. Erika Straffon Del Castillo

PROGRAMACION LINEAL La programación lineal es un tipo espacial de modelo matemático en el cual las relaciones entre variables son lineales y donde hay un solo objetivo o medida de rendimiento. Una ventaja de este tipo de modelo es que existe una técnica matemática, llamada programación lineal, que puede determinar la decisión optima o mejor, incluso si existen miles de variables y relaciones. En el modelo de programación lineal hay un conjunto de variables de decisión, X1, X2, …,Xn. El modelo de programación lineal está diseñado para maximizar (o minimizar) una función objetivo de la forma. f = C1X1 + C2X2 + … + CnXn f= es el objetivo económico, como los beneficios, la producción, los costos o las semanas de trabajo. El gerente quiere obtener mayores beneficios, menor costo, mayor producción, etcétera. Todos los coeficientes C1, C2, …, Cn son constantes y todas las X aparecen con función f es una función lineal. En la mayoría de los casos no se puede determinar los valores de las variables de decisión, X, por lo que está limitada por un conjunto de relaciones o restricciones. Las restricciones que se aplican a X son también lineales y son desigualdades lineales o igualdades lineales: A1X1 + A2X2 + …+ AnXn ≤ B1

Los coeficientes A son constantes, mientras que la constante B1 restringe a f, (la función objetivo) como resultado de la restricción de las variables de decisión X1, X2, …,Xn (en vez de ≤, podría ser ≥ o una igualdad). La solución que proporciona la programación lineal es un conjunto de valores de las variables de decisión con el cual se logra el máximo (o mínimo) deseado dentro de las restricciones. La programación lineal no permite incertidumbre en las relaciones; no puede haber probabilidades o variables aleatorias. La programación lineal permite manejar de manera ordenada problemas con gran número de restricciones. La formulación de un modelo cuantitativo significa seleccionar los elementos importantes del problema y definir cómo se relacionan. A continuación se proporcionan pasos que han demostrado ser útiles para formular modelos de programación lineal: 1.- Definir en términos verbales sólo un objetivo que se pretende alcanzar con la resolución del problema (reducir costos, aumentar las contribución a los beneficios).

2.- Elaborar una lista de las decisiones que deben tomarse, de la manera más específica posible. 3.- Elaborar una lista de los factores de restricciones que afectan estas decisiones. Entre más precisa y completa sea lista mejor. A continuación se muestra una serie de restricciones, de las cuales, un problema no presentará todos los tipos de restricciones. a).- Restricciones de capacidad: Son los límites que se deben a la cantidad de equipo. b).- Restricciones de mercado: Son los límites (inferiores, superiores o ambos) de la cantidad de producto que puede venderse o usarse. c).- Restricciones de disponibilidad: Son los límites ocasionados por la escasez de materias primas, de fuerza de trabajo, de financiamiento o de otros recursos. d).- restricciones de calidad o de mezcla: Son restricciones que limitan la mezcla de ingredientes y por lo general definen la calidad de los productos resultantes. e).- Restricciones de tecnología de producción o de equilibrio de materiales: Son restricciones que definen la salida de un proceso como una función de las entradas, muchas veces con una pérdida por desperdicios. f).- Restricciones de definición: Son restricciones que definen una variable. Muchas veces estas restricciones provienen de definiciones contables.

4. - Definir específicamente las variables de decisión 4.- Definir específicamente las variables de decisión. Con frecuencia es el paso más difícil. Lo que se requiere es una lista de variables, es decir, las X y sus definiciones, incluyendo la especificación de las unidades de medida. En algunos problemas puede haber más de una forma de definir las variables. Un enfoque es comenzar tratando de definir variables específicas que se ajusten a la lista de decisiones del paso 2. 5.- Definir específicamente las restricciones, con base en las variables de decisión. Esto es, tomando la lista de restricciones que definió en el paso 3 y use las variables de decisión del paso 4 para obtener restricciones detalladas. 6.- Definir con detalle la función objetivo. Hay que definir un coeficiente de costo o de beneficio para cada variable de decisión del paso 4. Es importante incluir sólo los costos o los beneficios que varíen con las decisiones que se consideran. Siempre hay que excluir los costos fijos. Todas las variables de decisión son no negativas. Limitaciones de la programación lineal No existe una garantía de que la programación lineal se ofrezca soluciones con valores enteros. No permite la incertidumbre. La suposición de la linealidad. En ocasiones el objetivo o las restricciones de los problemas reales no relacionan linealmente con las variables.

MÉTODO SIMPLEX Este es un procedimiento que comienza con una solución básica factible y luego avanza, paso por paso, a soluciones consecutivas, cada una de las cuales presenta las siguientes características: 1.- Es una solución básica factible y 2.- Tiene beneficio mayor que el de la solución anterior. Por último se obtiene una solución que no es posible mejorar y se ha encontrado la solución optima. Tabla simplex: Es conveniente efectuar los cálculos del procesamiento simplex en forma de tabla: Variables de solución X1 X2 … Xn 1 .

La solución optima es aquella que: En el caso de maximización, todos los coeficientes de la fila Cj – Zj son cero o negativos. En el caso de minimizar, todos los coeficientes de la fila Cj – Zj son cero o positivos. Sin embargo, el método simplex permite determinar una nueva solución sustituyendo una de las variables de solución por una de las variables externas. Este procedimiento se lleva a cabo en tres pasos: 1.- Escoger una variable de entrada que aumente la rentabilidad de la solución. Determine la variable que tiene el mayor beneficio neto por unidad. Esta variable es la que tenga mayor valor positivo en la fila Cj – Zj de la parte inferior de la tabla. 2.- Elegir la variable de salida que asegure una solución básica factible. Determinar cuál será la variable de la solución actual que saldrá y será reemplazada. 3.- Resolver de nuevo las ecuaciones de restricción para encontrar la nueva solución. Método Gauss-Jordan se realiza un cambio de base empleado dos operaciones de cálculo: 1.- Ecuación pivote: Nueva ecuación pivote = ecuación pivote ÷ elemento pivote 2.- La demás ecuaciones, incluyendo z: Nueva ecuación = (ecuación anterior) – (coeficiente de la columna entrante) * (nueva ecuación pivote)

La notación de una red G se muestra a continuación: G (N ,A) Un árbol es una red conectada que puede constar sólo de un subconjunto de los nodos y, un árbol extenso, es un árbol y uno extenso para la red. 1 3 2 5 4 La notación de una red G se muestra a continuación: G (N ,A) N = {1, 2, 3, 4, 5} A = {(1,3), (1,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5)} 1 3 4 2 5 Árbol extenso Árbol

MÉTODO DE TRANSPORTE Este modelo tiene que ver la determinación de un plan de costo mínimo para trasportar una mercancía desde varias fuentes ( por ejemplo, fábricas) a varios destinos ( por ejemplo, almacenes o bodegas). El modelo se puede extender de manera directa para abarcar situaciones prácticas de las áreas de control del inventario, programación del empleo y asignación de personal, entre otros. Entre los datos del modelo se cuentan: 1.- El nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de la demanda en cada destino. 2.- El costo de transporte unitario de la mercancía de cada fuente a cada destino.

El modelo de transporte se representa como una red con m fuentes y n destinos. Una fuente o un destino está representado por un nodo. El arco que une una fuente y un destino representa la ruta por la cual se transporta la mercancía. La cantidad de oferta de la fuente i es ai y la demanda en el destino j es bj . El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es cij . 2 1 m a1 a2 am b1 b2 bm Unidades de demanda Unidades de oferta Fuentes Destinos C 11 : x11 C mn : xmn

Σ xij ≤ ai , i = 1, 2, …, m Σ xij ≥ bj, j= 1, 2, …, m MODELOS DE REDES La función del modelo de transporte se expresa como: Minimizar: z = Σ Σ cij xij Σ xij ≤ ai , i = 1, 2, …, m Σ xij ≥ bj, j= 1, 2, …, m xij ≥ 0 m n i=1 j=1 Sujeto a: MODELOS DE REDES Este modelo busca optimizar los costos de transporte. Una red consta de un conjunto de nodos conectados por arcos o ramas. Asociada a cada rama de tiene un flujo de algún tipo. Por ejemplo, en la red de transporte, las ciudades representan nodos y los caminos representan ramas, mientras que el tráfico representa el flujo en las ramas.

La notación de una red G se muestra a continuación: G (N ,A) N = Conjunto de nodos A = Conjunto de ramas El flujo de una rama está limitado por su capacidad que puede ser finita o infinita. Se dice que una rama está dirigida u orientada si permite un flujo positivo en una dirección, y cero flujo en la dirección opuesta. Una red dirigida es una red con todas las ramas dirigidas. Una trayectoria es una secuencia de ramas distintas que conectan dos nodos sin considerar la orientación de las ramas individuales. Por ejemplo ramas (1, 3), (3, 2) y (2, 4) constituyen una trayectoria del nodo 1 al nodo 4. Una trayectoria forma un lazo o ciclo si conecta un nodo consigo mismo. Por ejemplo las ramas (2, 3), (3, 4) y (4, 2) forman un lazo. Un lazo dirigido (o circuito) es un lazo donde todas las ramas tienen la misma dirección u orientación. Una red conectada es una red en donde cada dos nodos distintos están conectados por una trayectoria.

El modelo de redes considera problemas de la ruta más corta, el cual tiene que ver con la determinación de las ramas conectadas en una red de transporte que constituyen, en conjunto, la distancia más corta entre una fuente y un destino Referencias bibliográficas Bierman, Bonini y Hausman (1994). Análisis cuantitativo para la toma de decisiones. Wilmington, Delaware: Addison-Wesley Iberoamericana. Taha, Hamdy A. (2004) Investigación de operaciones. México: Alfaomega.