UNIDAD IV MODELOS PROBABILISTICOS “Diapositivas Unidad IV” M.A. Erika Straffon Del Castillo

Ejemplo 1 Representación de datos en la investigación de operaciones Considera el siguiente conjunto de datos de la cual, representa los tiempos de servicio (en minutos) para una muestra de 60 clientes. La naturaleza de la variable indica que se basa en la observación. De estos datos tenemos: Σ xj = 236.2 60 j=1 Σ xj = 1455.56 2 Por consiguiente se obtiene: x̅ = 236.2 = 3.937 S = 1455.56 - 60 * 3.937 = 8.91 60 - 1 2

Programación de proyectos PERT-CPM Considera la siguiente figura, la cual comienza en el nodo 0 y termina en el nodo 6. Los números que están dentro de los cuadros representa el tiempo de ocurrencia más próximo del evento correspondiente. Los que están dentro del triángulo representa el tiempo de ocurrencia más tardío del evento. Ejemplo 2 Programación de proyectos PERT-CPM 2 1 3 4 5 6 19 13 Actividad crítica “Terminación” “Inicio” TIPj = máx {TIPi + Dij} i

TIP3 = máx {TIPi + Di3} = máx {2 + 2, 3 + 3} = 6 Los cálculos hacia adelante aplicados a la figura anterior, proporcionan TIP0 = 0 como se muestra en el cuadro sobre el evento 0. Ya que existe solamente una actividad que entra (0,1) al evento 1 con D01 =2 TIP1 = TIP0 + D01 = 0 + 2 = 2 Esto se anota en el cuadro asociado al evento 1. El siguiente evento que se considerar es el 2. [note que el evento 3 no puede considerarse en este punto, ya que TIP2 (evento todavía no se conoce). Por consiguiente: TIP2 = TIP0 + D02 = 0 + 3 = 3 Que se nota en el cuatro del evento. El siguiente evento que se considerará es el 3. Como hay dos actividades que entran (1,3) y (2,3), tenemos TIP3 = máx {TIPi + Di3} = máx {2 + 2, 3 + 3} = 6 i=1,2

TIP4 = máx {TIPi + Di4} = máx {3 + 2, 6 + 0} = 6 Que, una vez más se anota en el cuadro del evento 3. el procedimiento continua de la misma forma hasta que TIPj se calcula toda j TIP4 = máx {TIPi + Di4} = máx {3 + 2, 6 + 0} = 6 i=2,3 TIP5 = máx {TIPi + Di5} = máx {6 + 3, 6 + 7} = 13 i=3,4 TIP6 = máx {TIPi + Di6} = máx {6 + 2, 6 + 5,13 + 6} = 19 i=3,4,5 TTTi = mín {TTT j– Dij } J Los valores de TTT, describen en los triángulos. TTT2= mín {TTTj – D2j } = mín {6 – 3, 6 – 2} = 3 J=3,4 TTT5= TTT6– D56 19 -6 = 13 TTT6= TIP6 =19 TTT4= mín {TTTj – D4j } = mín {13 – 7, 19 – 5 } = 6 J =5,6 TTT3= mín {TTTj – D3j } = mín {6 – 0, 13 – 3, 19 - 2} = 6 J=4,5,6 TTT1= TTT3 – D13 = 6 – 2= 4 TTT0= mín {TTTj – D0j} = mín {4 – 2, 3 – 3} = 0 J=2,1 Las actividades (0,2), (2,3), (3,4), (4,5) y (5,6) definen la ruta crítica.

Suponga que se sabe que la demanda de un producto tiene la distribución que se muestra en la siguiente tabla. Ahora bien, suponga que las unidades cuestan 25 dólares cada una y que los sobrantes que pueden vender como desechos a 5 dólares. El precio de venta es de 55 dólares por unidad. Se conoce la distribución de probabilidad de la demanda del producto, pero no se sabe cuál será la demanda para el periodo. En este caso, ¿cuántas unidades hay que pedir? Ejemplo 3 Modelos de inventario Demanda Probabilidad 0.10 1 0.30 2 0.40 3 0.20 Una probabilidad sería calcular los beneficios que se obtendrían con diferentes planes de pedido; éste procedimiento se muestra en la siguiente tabla: Pedir una unidad Pedir dos unidades Pedir tres unidades Demanda Probabilidad de la demanda Beneficio condicional Beneficio esperado 0.10 -20 -2 -40 -4 -60 -6 1 0.30 30 9 10 3 -10 -3 2 0.40 12 60 24 40 16 0.20 6 90 18 1.00 25 35

Probabilidad de la demanda Probabilidades acumuladas (p) La acción óptima es pedir dos unidades, ya que el beneficio esperado de 35 dólares es mayor que el beneficio esperado de cualquier otra estrategia. En la siguiente tabla se muestra los valores de p, la probabilidad de vender una unidad adicional (o más). En la columna “probabilidades acumuladas” es p, ya que indica la probabilidad de vender cero unidades o más (1.00), una unidad o más (0.90) dos o más (0.60) o tres unidades o mas (0.20). Es la cola derecha de la distribución de probabilidad. Demanda Probabilidad de la demanda Probabilidades acumuladas (p) 0.1 1.00 1 0.3 0.90 2 0.4 0.60 3 0.2 0.20 1.0

Suceso: Demanda de la siguiente unidad (o más) Probabilidad del suceso A continuación se muestra que si se pide una unidad y no hay demanda, el costo condicional es c0 Así mismo, si no se pide la unidad y hay demanda de ella, el consto adicional es cu. Observe que el costo de faltantes cu es una perdida de oportunidad. Acción Suceso: Demanda de la siguiente unidad (o más) Probabilidad del suceso No pedir Pedir No 1 - p c0 Sí p cu Costos esperados de las acciones pcu (1 - p)c0

El costo esperado de pedir es menor que el costo esperado de n pedir, los cálculos se muestran en la siguiente tabla. Un costo negativo en la columna 4, representa un beneficio neto esperado. (1) (2) (3) (4) Política de pedir desde el pedido p Costo esperado de pedir la siguiente unidad (1- p)c0 Costo esperado de no pedir la siguiente unidad pc0 Costo incremental neto del pedido (2) - (3) 0 a 1 0.90 0.10 * 20 =2 0.90 * 30 = 27 -25 1 a 2 0.60 0.40 * 20 = 8 0.60 * 30 = 18 -10 2 a 3 0.20 0.80 * 20 = 16 0.20 * 30 = 6 10

Suponga que la reacción negativa costaría 7 Suponga que la reacción negativa costaría 7.5 dólares por cada unidad de la demanda que no satisfaga debido a una escasez de inventario. C0 = Costo unitario de los excedentes = 20 dólares. Los 10 dólares son la diferencia entre el costo por unidad (25 dólares) y el precio de desecho (5 dólares). Cu = Costo unitario de las carencias = 37.50 dólares. Esta cifra equivale a la suma de los beneficios que se pierden por la demanda no satisfecha ($55 - $25 =$30) y el costo de la reacción negativa (7.5 dólares) por cada unidad carente; es decir, cuando hay demanda y no hay unidades que vender. El costo de faltantes: pc = cc = 20 = 0.35 cc + cu 20 + 37.50

Suponga que los pacientes del consultorio médico de una gran planta llegan en forma aleatoria, de acuerdo con el proceso de Poisson. El consultorio puede atender a los pacientes con una tasa promedio de cinco personas por hora (uno por uno); el proceso de servicio también es de Poisson. El promedio de llegada de los pacientes es de un cuarto por hora (supondremos también que este proceso es de Poisson, aunque no es exacto, ya que la población no es infinita, aunque sea de gran tamaño). La planta opera las 24 horas del día. גּ = 4 µ = 5 Cómo (גּ / µ) < 1 , se puede utilizar las siguientes relaciones: En promedio, el consultorio estará inactivo en 20% del tiempo y activo el 80%. Habrá un promedio de cuatro personas en cola y en servicio Ejemplo 4 Modelos de espera de línea o colas

En promedio habrá 3.2 personas en cola El tiempo de espera promedio de un paciente es de 0.8 horas. El tiempo promedio que permanece en el sistema (en espera y en servicio) es una hora. Por tanto: 1.- El consultorio estará inactivo el 20% del tiempo y activo el 80%. 2.- El número promedio de pacientes en la oficina es cuatro. 3.- El número promedio de pacientes en espera es 3.2 4.- El paciente esperará en promedio 4/5 de hora 5.- El tiempo total (espera más servicio) será, en promedio, una hora. Si se considera un día de trabajo de 24 horas, el promedio de pacientes que llegan al consultorio será de 96 al día y el tiempo promedio que ´perderán los pacientes en la cola de espera será: T = גּ * 24 horas * Wq T = 4 * 24 * 0.8 T = 76.8 horas

Suponga que el costo relacionado para la empresa es de 20 dólares por hora que espera un trabajador. El costo diario de espera sería: (76.8) * (20) = $1,536 Para calcula la distribución de probabilidad acumulada de los pacientes de aplicará la siguiente fórmula : Referencias bibliográficas Bierman, Bonini y Hausman (1994). Análisis cuantitativo para la toma de decisiones. Wilmington, Delaware: Addison-Wesley Iberoamericana. Taha, Hamdy A. (2004) Investigación de operaciones. México: Alfaomega.