SUBTEMA 2.1.2. RESULTANTE DE FUERZAS COPLANARES. El método analítico para la suma de vectores, consiste en utilizar las ecuaciones de las componentes rectangulares de los vectores (Fx y FY).

Cuyas ecuaciones son: Fx = F cos θ Fy = F sen θ. Después de obtener la sumatoria de las fuerzas en X y en Y se aplica el Teorema de Pitágoras, cuya Fórmula es: ____________ R = √(ΣFx)2 + (ΣFy)2.

Finalmente, para obtener el ángulo del vector resultante se hace uso de la función trigonométrica tangente, cuya fórmula es: Θ = tan-1ΣFy ΣFx

Problemas para hallar el vector resultante por el método analítico. 1.- Tres sogas están atadas a una estaca, y sobre ella actúan tres fuerzas: A = 20 libras al Este, B = 30 libras a 30° al Noroeste; y C = 40 libras a 52° al Suroeste. Determine la fuerza resultante de forma analítica. Solución: primeramente se trazan los vectores en las coordenadas cartesianas:

N E O S B = 30 lb 30° NO θ = 30° θ = 52°. A = 20 lb E C = 40 lb, 52° SO θ = 52°. N E O S

Primeramente se construye el cuadro de fuerzas. F ángulo Comp. X Componentes Y 20 lb 0° 20 lb 0 30 lb 30° -30 lb cos 30° 30 lb sen 30° 40 lb 52° -40 lb cos 52° -40 lb sen 52° _____________________ ____________________ ΣFx = 20 lb-30 lb cos 30°-40 lb cos 52° ΣFy= 30 lbsen30°-40 lb sen 52° ΣFx = 20 lb- 30 lb (0.8660)-40 lb (0.6156) ΣFy= 30 lb (0.5)-40 lb (0.7880). ΣFx = 20 lb- 25.98 lb- 24.62 lb ΣFy= 15 lb- 31.52 lb ΣFx = 20 lb- 50.6 lb ΣFy= -16.52 lb ΣFx = - 30.6 lb ΣFy= -16.52 lb

Una vez obtenidos la sumatoria de fuerzas X y Y, se aplica la ecuación del teorema de Pitágoras para obtener la resultante. Por los signos de las componentes X y Y (ambos negativos), la resultante se graficará en el tercer cuadrante. ___________ R = √ (Fx)2 +(Fy)2. ______________________ R = √ (- 30.6 lb)2 + (- 16.56 lb)2. __________ R = √ 1210.59 lb R = 34.8 lb

Para obtener el ángulo de la resultante, se aplica la función trigonométrica tangente: θ = tan-1 Fy Fx θ = tan-1 │-16.52 lb │ = 0.5398. - 30.6 lb tan-1 0.5398 = 28.36°. R = 34.8 lb, 28.36°. Al Suroeste.

El ángulo es debajo del eje x en el tercer cuadrante El ángulo es debajo del eje x en el tercer cuadrante. La dirección o ángulo del vector resultante también se puede expresar como 208.36° al sumar los 180° correspondientes a los dos primeros cuadrantes al valor de 28.36°, por lo cual la respuesta también se puede expresar como: R = 34.8 lb, 208.36° medidos desde el primer cuadrante.

N Fx = - 30.6 lb O E Θ = 28.36° Fy = - 16.52 lb R = 34.8 lb S

2.- Encontrar el vector resultante y el ángulo del siguiente sistema de vectores por el Teorema de Pitágoras, medidos desde el Este: F1 = 2.5 N al Norte, F2 = 3 N a 25° al Noreste, F3 = 4 N al Este, y F4 = 2 N a 40° al Suroeste.

N F1 = 2.5 N F2 = 3 N Θ =25° O E θ = 40° F3 = 4 N F4 = 2 N S

Cuadro de fuerzas con sus componentes rectangulares. F θ comp. X comp Y 2.5 N 0° 0 2.5 N 3 N 25° 3 N cos 25° 3 N sen 25° 4 N 0° 4 N 0 2 N 0° -2 N cos 40° -2 N sen 40° ΣFx =3 N cos 25° ΣFy = 2.5 N + 3 N + 4 N - 2 N cos 40°. sen 25°- 2 N sen 40° ΣFx = 3 N x 0.9063 + 4 N – 2 N x 0.7660. ΣFx = 2.7189 + 4 N – 1.532 N ΣFx = 6.7189 N – 1.532 N = 5.1869 N. ΣFy = 2.5 N + 3 N x 0.4226 – 2 N x 0.6427 = ΣFy = 2.5 N + 1.2678 – 1.2854 ΣFy = 3.7678 – 1.2854 = 2.4824 N.

______________ R = √ (5.1869)2 + (2.4824)2. ___________ R = √ 26.90 + 6.16 _________ R = √ 33.06 R = 5.75 Newtons.

Θ = 2.4824 = 0.4785 5.1869 Θ = tan-1 0.4785 = 25.6°.

Y R = 5.75 N Fy =2.48 N Θ = 25.6° X Fx = 5.18 N

3.- Encontrar el vector resultante y el ángulo del siguiente sistema de vectores por el Teorema de Pitágoras. V1 = 35 m/seg, al Este, V2 = 30 m/seg a 30° al Suroeste y V3 = 45 m/seg a 60° al Noroeste.

V3 = 45 m/seg N Θ = 60° O E Θ =30° V1 = 35 m/seg V2 = 30 m/seg S

Cuadro de fuerzas y componentes rectangulares. F θ Comp. X Comp. Y 35 m/s 0° 35 m/s 0 30 m/s 30° - 30 m/s cos 30° -30 m/s sen 30° 45 m/s 60° - 45 m/s cos 60° 45 m/s sen 60° ΣFx = 35 m/s – 30 m/s cos 30° ΣFy = - 30 m/s sen 30° -45 m/s cos 60°. + 45 m/s sen 60° ΣFx = 35 m/s – 30 m/s x 0.8660-45 m/s x 0.5= 35 m/s- 25.98 m/s - 22.5 m/s ΣFx = 35 m/s- 48.48 = - 13.48 m/s. ΣFy = -30 m/s x sen 30 ° + 45 m/s x sen 60° ΣFy = - 30 m/s x 0.5 + 45 m/s x 0.8660. ΣFy = - 15 m/s + 38.97 m/s = 23.97 m/s.

____________________ R = √(-13.48 m/s)2 + (23.97 m/s)2. ________________________ R = √181.71 m2/s2+ 574.56 m2/s2 ________________ R = √ 756.27 R = 27.5 m/s.

Cálculo del ángulo de la resultante. Θ = 23.97 = 1.7781 13.48 Θ = tan-1 1.7781 = 60.6°

Gráfica del vector resultante y su ángulo. VR =27.5 m/s N Fy = 23.97 m/s Θ= 119.4° Θ= 60.6° O E Fx = - 13.48 m/s S