TEMA 3.5. FUERZAS CENTRALES. La segunda Ley de Newton para el movimiento rotacional.

Suponga que analizamos el movimiento de rotación de un cuerpo rígido de la figura siguiente considere a una fuerza F que actúa sobre la pequeña masa m, indicada por la porción sombreada del objeto (el área delimitada por las dos líneas dentro de la circunferencia) , a una distancia r del eje de rotación.

O m aT = αr La segunda Ley de Newton para el movimiento de rotación enuncia la relación entre el momento de torsión Fr y la aceleración angular α. F r

La fuerza F aplicada en forma perpendicular a r hace que el cuerpo gire con una aceleración tangencial: aT = αr . Donde α es la aceleración angular. Partiendo de la segunda Ley de Newton del movimiento lineal. F = m aT = m αr . multiplicando ambos lados de esta relación por r queda: Fr = (mr2) α La cantidad Fr se reconoce como el momento de torsión τ producido por la fuerza F con respecto al eje de rotación. Por lo tanto, para la masa m escribimos: τ = (mr2) α

Se puede derivar una ecuación similar para todas las demás porciones del objeto que gira. Sin embargo, la aceleración angular será constante para cada porción independientemente de su masa o de su distancia con respecto al eje. Por consiguiente, el momento de torsión resultante en todo el cuerpo es: τ = (Σ mr2) α. o bien τ = I α. Momento de torsión = momento de inercia x aceleración angular.

Observe la similitud de la ecuación anterior con la segunda ley de Newton del movimiento lineal, F = ma. La Ley del movimiento rotacional de Newton se enuncia como sigue. “Un momento de torsión resultante aplicado a un cuerpo rígido siempre genera una aceleración angular que es directamente proporcional al momento de torsión aplicado e inversamente proporcional al momento de inercia del cuerpo”.

Al aplicar la ecuación de la segunda Ley del movimiento rotacional, es importante recordar que el momento de torsión producido por una fuerza es igual al producto de la distancia al eje por la componente perpendicular de la fuerza. También debe recordarse que la aceleración angular se expresa en radianes por segundo cuadrado.

PROBLEMAS DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA EL MOVIMIENTO ROTACIONAL. 1.- Un disco de esmeril de radio 0.6 m y 90 kg de masa gira a 460 rpm. ¿Qué fuerza de fricción, aplicada en forma tangencial al borde, hará que el disco se detenga en 20 segundos? Solución: primero calculamos el momento de inercia I del disco a partir de la fórmula: I = ½ m R2. = ½ (90 kg) (0.6 m)2. = 16.2 kg.m2. Convirtiendo la velocidad rotacional a radianes por segundo obtenemos: ω = 2 π rad/rev x 460 rev/min x 1 min/60 seg . ω = 2 x 3.14 rad/rev x 460 rev/min x 1 min/60 seg = 48.2 rad/seg.

Por lo tanto la aceleración angular es: α= ωf – ωo t α= 0 – (48.2 rad/seg) = - 2.41 rad/seg2. 20 seg Aplicando la Segunda Ley de Newton del movimiento rotacional nos da: τ = Fr = I α despejando F tenemos a partir de la cual: F = I α = r ( 16.2 kg.m2 x -2.41 rad/seg2. = - 65.0 N. 0.6 m El signo negativo aparece debido a que la fuerza debe tener una dirección opuesta a la de rotación del disco.

2.- Una cuerda que está enrollada en un carrete circular de 5 kg permite arrastrar objetos con una tensión de 400 N. Si el radio del carrete es de 20 cm y puede girar libremente sobre su eje central, ¿Cuál es la aceleración angular?. Solución: Calculamos primero el momento de inercia: I = ½ m R2. I = ½ (5 kg )x (0.20 m)2. = 0.1 kg.m2. F = I α r despejando la aceleración α = Fr = 400 N x 0.2 m. = 800 rad/seg2. I 0.1 kg.m2.

3.- Una varilla delgada de 3 kg tiene 40 cm de longitud y oscila sobre su punto medio. ¿Qué momento de torsión se requiere para que la varilla describa 20 revoluciones por minuto, al tiempo que su rapidez de rotación se incrementa de 200 a 600 rev/min? Fórmulas: τ = Fr = I α α= ωf – ωo t I = ½ mR2.

Solución: Calculamos primero el momento de inercia: I = ½ 3 kg x (0 Solución: Calculamos primero el momento de inercia: I = ½ 3 kg x (0.20 m)2. I = 0.06 kg.m2. Conversión de las velocidades angulares a rad/seg. ωo = 2 π rad/rev x 200 rev/min x 1 min/60 seg = 20.93 rad/seg. ωf = 2 π rad/rev x 600 rev/min x 1 min/60 seg = 62.8 rad/seg. Cálculo de la aceleración angular: α= 62.8 rad/seg- 20.93 rad/seg. = 0.6978 rad/seg2. 60 seg τ = I α = 0.06 kg.m2. x 0.6978 rad/seg2. = 0.041 N.m

4.- Una masa de 2 kg se balancea en el extremo de una varilla ligera, describiendo un círculo de 50 cm de radio. ¿Qué momento de torsión se deberá impartir a esa masa una aceleración angular de 2.5 rad/seg2? I = ½ mR2. I = ½ (2 kg) x (0.50 m)2. = 0.25 kg.m2. τ = I α = 0.25 kg.m2. x 2.5 rad/seg2. = 0.625 N.m.