UNIDAD 3 Progresiones

Progresión Aritmética y Progresión Geométrica Progresiones También conocida como una sucesión es un conjunto infinito de números ordenados que tienen un comportamiento común entre si. A los números que forman la sucesión se les llama términos y todas las sucesiones tienen un primer término seguido de otros que cumplen con una regla entre ellos. Una sucesión se puede representar mediante una expresión que permite conocer el valor de cada término sabiendo el lugar (n) que ocupa. Estudiaremos las más conocidas: Progresión Aritmética y Progresión Geométrica

Progresiones A) 1, 6, 11, 16…… B) 45, 40, 35, 30 C) 10, 20, 40, 80…… D) 24, 12, 6, 3 ¿Cuáles progresiones crecen y cuales decrecen? ¿Qué operaciones aritméticas corresponde a cada progresión?

Progresión Aritmética Una progresión aritmética es una sucesión de números llamados términos, en la que cualquier término es el resultado de sumar al anterior una cantidad constante (positiva o negativa), llamada diferencia común y se calcula como: Un término n menos el que le antecede

Progresión Aritmética 1, 6, 11, 16… donde se observa que la cantidad constante que se suma es 5: 1 + 5 = 6 6 + 5 = 11 11 + 5 = 16 Y en 45, 42, 39, 36 se observa que la cantidad que se suma es: -3 45 - 3 = 42 42 - 3 = 39 39 - 3 = 36

Progresión Aritmética Una progresión finita es aquella que tiene un número determinado de términos. Una progresión infinita es aquella que tiene un número indefinido de términos.

Progresión Aritmética Para calcular el enésimo término de cualquier progresión aritmética utilizamos: Donde: l = último término n = número de términos a = primer término d = la diferencia común d n a l ) 1 ( - + =

Progresión Aritmética Ejemplo: 4, 8, 12, 16, 20, 24 El primer termino es (a) es 4. La diferencia común (d) es 4, pues 8 – 4 = 4, 12 – 4 = 4. El número de términos (n) es 6. Primer termino: a = 4 Segundo termino: a + d = 4 + 4 = 8 Tercer termino: a + 2d = 4 + 2(4) = 12 Cuarto termino: a + 3d = 4 + 3(4) = 16 Quinto termino: a + 4d = 4 + 4(4) = 20 Sexto termino: a + 5d = 4 + 5(4) = 24

Progresión Aritmética Además la suma de los n primeros términos de este tipo de sucesiones se puede calcular como:                          Donde: S = es la suma de los n términos l = último término n = número de términos a = primer término d = la diferencia común 2 ) ( a n S + l =

Progresión Aritmética Primer Término a Diferencia común d Valor del 8° término l Clasificación de la progresión 12, 18, 24, 30, 36 -3, -3/2, 0, 3/2, 3, 9/2 …. 2, 6, 10, 14, 18, 22 ½, 1, 1 ½, 2 ....

Progresión Geométrica Es una sucesión de números llamados términos, de tal forma que cada uno de ellos, después del primero, se obtiene multiplicando el termino anterior por una cantidad constante (entero o fracción, positivo o negativo)  llamada razón común.

Progresión Geométrica 6/3, 12/3, 24/3…. La razón común es r = 2 dado que: 6/3 * 2 = 12/3 12/3 * 2 = 24/3 Los elementos de una progresión geométrica son: a = primer término r = la razón común l = último término o enésimo termino n = número de términos

Progresión Geométrica Para calcular el enésimo término tenemos: Donde : a = primer término r = la razón común l = último término o enésimo termino n = número de términos 1 - = n r a l

Progresión Geométrica La suma de los n primeros términos se podría calcular como: Cuando r = 1 r - a l S - = r 1

Progresiones - Interés simple Es el rendimiento que da un capital invertido durante un tiempo determinado, invertido a una tasa de interés dada……….. Cuando una persona deposita un capital en un banco durante un cierto tiempo, el banco paga intereses. Dependiendo de que se retiren o no los intereses periódicamente, el interés se llama simple si se retiran los intereses o compuesto si se dejan en el banco. Ejemplo: ¿En cuánto se convierte un capital de 1.600.000 pesos al 10 % en dos años a interés simple?

Progresiones INTERÉS SIMPLE. El interés total es: 1.600.000 · 0,1 = 160.000 pesos. Al final del primer año retiramos los intereses y el capital sigue siendo el mismo: 1.600.000 pesos. En el segundo año, el capital vuelve a producir otros 160.000 pesos. En los dos años el interés producido es: 160.000 + 160.000 = 320.000 pesos.  Por tanto, el capital se convierte en los dos años en: 1.600.000 + 320.000 = 1.920.000 pesos.

( ) t i C M + = 1 Interes simple Se puede obtener directamente el interés en los dos años: M = 1.600.000 * 0,1 * 2 = 320.000 pesos. En general, si: M es el monto producido después de un tiempo. C es el capital, i es la tasa de interés anual t es el tiempo en años, entonces el monto generado con interés simple es: ( ) t i C M + = 1

Interes compuesto Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la suma del capital inicial con sus intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés compuesto. El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de período de capitalización. La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital, por acumulación.

Interes compuesto Cuatro conceptos son importantes en el interés compuesto: El capital original (C o VA) La tasa de interés por período (i) El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la transacción (n). El número de veces por año en los que los intereses se capitalizan, se llama Frecuencia de Capitalización (k) El número de veces por año en los que los intereses se capitalizan, se llama Frecuencia de Capitalización. Si el período de capitalización de intereses es, digamos mensual, entonces las expresiones siguientes son equivalentes: "el interés es capitalizable mensualmente", "es convertible mensualmente", "es compuesto mensualmente",

Interes compuesto M = C ( 1 + i ) M = C + I j i = --- k n En donde: M = es el valor futuro C = es el valor original o actual n = número de capitalizaciones en el periodo de inversión i = tasa por periodo de tiempo J = tasa nominal (tasa anual) M = C + I j i = --- k

Interes compuesto Con el interés compuesto,  pagamos o ganamos no solo sobre el capital inicial sino también sobre el interés acumulado,  en contraste con el interés simple que sólo paga o gana intereses sobre el capital inicial.