Computación Cuántica y Teleportación de Estados Cuánticos CPR de Avilés (2004) Juan José Suárez Menéndez

Esquema ¿Por qué el procesamiento de información cuántica? Lógica clásica y lógica cuántica: De los bits a los qubits Computación cuántica. Enviando información: Clásica vs Cuántica. Teleportación de estados cuánticos. Teleportando la polarización de fotones.

Ley de Moore: El número de transistores en un micro-chip crece exponencialmente con el tiempo.

Ley de Moore: Single electron gates by 2017? Cada 18 meses los microprocesadores doblan la velocidad MÁS RÁPIDO = MÁS PEQUEÑO La máquina de Babbage Obleas de silicio Átomos 1 metro 0,000001 m 0,0000000001 m

Computación Física El hardware obedece las leyes de la Física. ¡La teoría de la información de Shannon está basada en la intuición a partir de la física clásica! ¡La Naturaleza, sin embargo, es mecano-cuántica! ¿Cuáles son las consecuencias de la QM para la IT? ¿Permite la mecánica cuántica nuevos métodos cualitativos de procesamiento de la información? Ideas Iniciales – los sistemas cuánticos parecen difíciles de simular son más poderosos en la computación que los sistemas clásicos Benioff - 1982, Feynman – 1984, Primer algoritmo: Deutsch - 1985

Clases de complejidad Problemas abordables e inabordables exp(L) Input size ~ nº de bits que es necesario especificar input: 15 1111 en binario 4 bit (entrada) Número de pasos Evaluamos entonces el número de pasos necesarios como f (tamaño) tamaño L ‘P’: La solución puede encontrarse en un tiempo polinómico. ¡La Multiplicación de dos números crece cuadráticamente con el tamaño de la entrada (input size)! Input size Comp. Time 10 10 ns 100 1000 ns 1000 100000 ns

‘NP’: La Solución puede comprobarse en un tiempo polinómico, pero encontrarla puede requerir un tiempo no-polinómico. ¡Encontrar los factores de un producto de dos números primos grandes es exponencial en el número de dígitos! Input size Tiempo de computación 10 1 s 100 8103 s 1000 990 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 s En 1985 David Deutsch (generalización en 1992 por Jozsa) demostró que en mecánica cuántica la complejidad de algunos problemas puede cambiar significativamente! (Se comentará posteriormente este algoritmo) En 1994, Peter Shor descubrió un algorítmo cuántico que permite factorizar números grandes en un tiempo polinómico, es decir, ¡factorizar es tan fácil como multiplicar!

Computación Cuántica Procesado clásico de la información: Bits y puertas lógicas. Procesado cuántico de la información: Qubits y puertas cuánticas. El algorítmo cuántico de Deutsch-Jozsa.

Lógica Clásica I Ejemplo: La puerta XOR clásica a b a XOR b 1 a a XOR b XOR b Entrada básica de 0 ó 1 llamada bit A partir del resultado no podemos adivinar la entrada! ¡La puerta XOR es irreversible!

¿Por qué la irreversibilidad es un problema? Recuérdese: ¡La Mecánica Cuántica es reversible! Estado final a tiempo t Estado inicial a t=0 Evolución por unidad de tiempo de acuerdo con la ecuación de Schroedinger En QM siempre podemos invertir la evolución temporal: ¡A partir del estado final siempre podemos regresar al estado inicial!  No podemos implementar unívocamente una operación irreversible

Lógica Clásica II a b a XOR b 1 La puerta XOR (reversible) a b a XOR b 1 a a XOR b a XOR b De la salida podemos inferir la entrada ¡La puerta es reversible! ¡Las puertas reversibles pueden implementarse mecano-cuántiamente!

Lógica Cuántica I |0> |1> Definir una XOR cuántica => Puerta CNOT cuántica ¡Parece la misma que antes! ¿Diferencias? State 1 State 2 Out 1 Out 2 |0> |1> Las entradas básicas son |0> o/y |1> unidad llamada qubit La Mecánica Cuántica permite las superposiciones de estados! ¡Los mapas de superposiciones CNOT maps superpositions of de estados en estados entrelazados! Símbolo para CNOT

Lógica Cuántica II La puerta Hadamard Necesitamos puertas que creen superposiciones cuánticas La puerta Hadamard Símbolo para la puerta Hadamard H Rotaciones generales de qubits sencillos

Lógica Cuántica III Crear entrelazamiento H |0> |0>|0> + |1>|1> Medir entrelazamiento H |0> |0>|0> + |1>|1>

Redes cuánticas ¡Podemos construir cualquier transformación unitaria a partir de puertas de qubit-sencillo y puertas CNOT! Puertas lógicas cuánticas INPUT OUTPUT

Un procesador cuántico para calcular F(x) El estado |x> de muchos qubits representa el número x en notación binaria (Ejemplo: |1>|1>|1> = |111> representa 7!) Necesitamos una transformación unitaria que implemente para todos los |x> = 7 PERO F: x F(x) puede no ser reversible (la salida no determina nívocamente la entrada). ¡Por lo tanto U podría no ser unitario!

Un procesador cuántico para calcular F(x) Hacer la computación reversible añadiendo un registro Ahora, la correspondencia “one-to-one” entre entrada y salida reversible, significa que puede encontrarse un operador unitario U que implemente la función 000 001 010 011 100 101 110 111 F(000) F(001) F(010) F(011) F(100) F(101) F(110) F(111) F (x) Procesador Cuántico

Paralelismo Cuántico I Etapa 1: Crear una superposición de todos los N bit números in notación binaria Etapa 2: Aplicar la transformación unitaria U a este estado Etapa 3: Medir el segundo registro y obtener un resultado único Estado inicial - Superposiciones de todas las posibles entradas Estado final – superposiciones de las correspondientes salidas

Paralelismo Cuántico II Esencia de la Computación Cuántica: La naturaleza nos permite calcular un gran número de resultados en paralelo PERO Únicamente podemos acceder directamente a una de esas respuestas Afortunadamente hay problemas para los cuales una simple respuesta es suficiente Ejemplos El algorítmo Deutsch-Jozsa para distinguir funciones. El algorítmo de Shor para factorizar eficientemente un número grande. El algorítmo de Grovers para la búsqueda rápida en una gran base de datos. La integración mumérica de la ecuación Schroedinger de sistemas cuánticos de muchos cuerpos …

Espacio Clásico de estados frente a Espacio de Hilbert El espacio clásico de muchas partículas es el producto Cartesiano del espacio de las partículas simples Si un susbsistema requiere 2 parametros para su descripción, ¡Entonces N sistemas requieren 2N parametros! Estado Físico de N partículas: El espacio de muchas partículas cuánticas es el producto tensorial del espacio de las partículas simples Si un subsistema requiere 2 parámetros para su descripción, ¡Entonces N sistemas requieren 2N parametros! Estado de N particulas: Necesita especificar 2N parámetros

Espacio explorado por los estados producto (sistemas clásicos) Espacio de Hilbert Espacio explorado por los estados producto (sistemas clásicos) Los sistemas cuánticos exploran todo el espacio de Hilbert más parámetros. La situación para estados mezclados aún no se comprende bien (Los sistemas entrelazados y desentrelazados tienen el mismo número de parámetros).

El algorítmo de Deutsch-Jozsa I Problema: Decidir si una función de 1 bit es constante o equilibrada or or Clásicamente necesitamos calcular la función dos veces, Para cada valor de entrada Dada una operación unitaria: un algorítmo cuántico necesita aplicar U solamente una vez

El algorítmo de Deutsch-Jozsa II |0> H H Detecta |0> or |1> U |1> H

El algorítmo de Deutsch-Jozsa III |0> H H Detecta |0> or |1> U |1> H Si detecta |0> entonces la función es constante. Si detecta |1> entonces la función está equilibrada. Ejercicio: Generalizar el algorítmo a funciones de N variables. Resultado: Clásicamente la función necesita ser evaluada 2N-1 veces ¡El algorítmo cuántico necesita una sola evaluación! -1

Teleportación de Estados Cuánticos Teoría y Experimentos

Enviando información Bob Alice Gran separación entre las partes Coloca algunos datos en su máquina-fax Bob reconstruye a página en su fax Se lee la información y se envía al fax de Bob Bob recibe información Gran separación entre las partes Física Clásica: Alice mantiene su original y Bob recibe una copia. Por debajo del límite atómico: ¿Podemos hacer la máquina de fax definitiva?

Copiado de la Información Cuántica + El teorema de no-clonación La linealidad de la mecánica cuántica prohibe la copia de un estado cuántico arbitrario desconocido.

Demostración del teorema de no-clonación Estado del sistema a copiar “Papel en blanco” para escribir en él la copia Transformación unitaria de estados independientes Linealidad de QM ¡Pero eso sería el estado correctamente copiado!

¿Es imposible el fax cuántico Conclusiones: No podemos leer el estado cuántico. No podemos hacer copias del estado cuántico. ¿Es imposible el fax cuántico Si Alice y Bob pueden compartir entrelazamiento entre ellos y autorizados a intercambiar mensajes clásicos, entonces podemos transferir estados cuánticos desconocidos entre Alice y Bob. La Teleportación Cuántica lleva a cabo el mejor fax cuántico posible

LA IDEA BÁSICA SIN ECUACIONES

Matemáticas de la Teleportación: Dos definiciones La base de Bell Los operadores de espín de Pauli

Las Matemáticas de la Teleportación I Estado inicial: Reescritura del estado inicial en la nueva base: =

Las Matemáticas de la Teleportación II = Alicia mide sus dos partícula y comunica resultado a Bob Bob siempre obtiene el estado correcto

Características principales de la Teleportación No se transporta la masa ¡sólo los estados cuánticos! No es posible la comunicación superlumínica ¡porque tiene que enviarse un mensaje clásico para completar la teleportación! No tiene lugar una copia de la información cuántica, ¡porque el original se destruye! ¡En entrelazamiento compartido se destruye!

El Experimento I

El Experimento II Anillo superior: Polarizado verticalmente Anillo inferior: Polarizado horizontalmente Hay entrelazamiento de la polarización Si no conocemos qué fotón va en cada dirección ii) Qué color tiene cada fotón Fotografía de Michael Reck y Paul G. Kwiat

Resumen La Mecánica Cuántica nos permite un significado diferente de la computación. Un cambio de paradigma: Considera el entrelazamiento como un recurso que puede consimirse para implementar las tareas de procesado de la información cuántica. Puede efectuarse la teleportación de estados cuánticos Se ha dado una demostración de los principios del trabajo experimental. En nuestro modo de contstrucción de un computador cuántico hemos mejorado nuestra capacidad de almacenar y manipular sistemas cuánticos individuales. Esas nuevas tecnologías beneficiarán a otras áreas que van desde la investigación básica a las aplicaciones industriales.