Problemas aritméticos Para resolver muchas situaciones es necesario aplicar técnicas de proporcionalidad y el manejo de porcentajes.
Proporcionalidad simple Existen muchas situaciones que se resuelven con reglas de tres simples, directas o inversas, y métodos de reducción a la unidad. PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando: Al aumentar una el doble, el triple…, la otra aumenta en igual medida. Al disminuir una a la mitad, un tercio…, la otra disminuye en la misma medida. PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando: Al aumentar una el doble, el triple…, la otra disminuye la mitad, un tercio… Al disminuir una a la mitad, un tercio…, la otra aumenta el doble, el triple…
PROPORCIONALIDAD DIRECTA Proporcionalidad simple Pedro y María tienen que realizar un trabajo para clase. Una vez realizado, deciden pasarlo a ordenador y tardan 20 minutos en las 4 primeras páginas. Si el trabajo tiene 22 páginas, todas con la misma extensión, ¿cuánto tiempo emplearán en pasarlo a ordenador? PROPORCIONALIDAD DIRECTA
PROPORCIONALIDAD INVERSA Proporcionalidad simple Pedro y María tienen que realizar un trabajo para clase. Una vez realizado, deciden pasarlo a ordenador y tardan 20 minutos en las 4 primeras páginas. Si el trabajo tiene 22 páginas, todas con la misma extensión, ¿cuánto tiempo emplearán en pasarlo a ordenador? A medida que aumentan las páginas aumenta el tiempo, y la relación es de proporcionalidad directa. PROPORCIONALIDAD INVERSA 20 min 4 páginas x 22 páginas
PROPORCIONALIDAD INVERSA Proporcionalidad simple Pedro y María tienen que realizar un trabajo para clase. Una vez realizado, deciden pasarlo a ordenador y tardan 20 minutos en las 4 primeras páginas. Si el trabajo tiene 22 páginas, todas con la misma extensión, ¿cuánto tiempo emplearán en pasarlo a ordenador? A medida que aumentan las páginas aumenta el tiempo, y la relación es de proporcionalidad directa. PROPORCIONALIDAD INVERSA 20 min 4 páginas x 22 páginas
PROPORCIONALIDAD INVERSA Proporcionalidad simple Pedro y María tienen que realizar un trabajo para clase. Una vez realizado, deciden pasarlo a ordenador y tardan 20 minutos en las 4 primeras páginas. Si el trabajo tiene 22 páginas, todas con la misma extensión, ¿cuánto tiempo emplearán en pasarlo a ordenador? A medida que aumentan las páginas aumenta el tiempo, y la relación es de proporcionalidad directa. PROPORCIONALIDAD INVERSA 20 min 4 páginas x 22 páginas
PROPORCIONALIDAD INVERSA Proporcionalidad simple Félix tiene una conexión a Internet por cable con una velocidad de 512 kbps. Sus dos ordenadores obtienen, cada uno, una velocidad de 256 kbps. ¿Qué velocidad tendría cada ordenador si estuvieran conectados seis ordenadores? PROPORCIONALIDAD INVERSA
PROPORCIONALIDAD INVERSA Proporcionalidad simple Félix tiene una conexión a Internet por cable con una velocidad de 512 kbps. Sus dos ordenadores obtienen, cada uno, una velocidad de 256 kbps. ¿Qué velocidad tendría cada ordenador si estuvieran conectados seis ordenadores? A medida que aumentan los ordenadores conectados disminuye la velocidad, y la relación es de proporcionalidad inversa. PROPORCIONALIDAD INVERSA 2 ordenadores 256 kbps 6 ordenadores x
PROPORCIONALIDAD INVERSA Proporcionalidad simple Félix tiene una conexión a Internet por cable con una velocidad de 512 kbps. Sus dos ordenadores obtienen, cada uno, una velocidad de 256 kbps. ¿Qué velocidad tendría cada ordenador si estuvieran conectados seis ordenadores? A medida que aumentan los ordenadores conectados disminuye la velocidad, y la relación es de proporcionalidad inversa. PROPORCIONALIDAD INVERSA 2 ordenadores 256 kbps 6 ordenadores x
PROPORCIONALIDAD INVERSA Proporcionalidad simple Félix tiene una conexión a Internet por cable con una velocidad de 512 kbps. Sus dos ordenadores obtienen, cada uno, una velocidad de 256 kbps. ¿Qué velocidad tendría cada ordenador si estuvieran conectados seis ordenadores? A medida que aumentan los ordenadores conectados disminuye la velocidad, y la relación es de proporcionalidad inversa. PROPORCIONALIDAD INVERSA 2 ordenadores 256 kbps 6 ordenadores x
Repartos proporcionales Al repartir una cantidad en partes directamente proporcionales a una serie de números, las partes se calculan multiplicando cada número por la cantidad que se quiera repartir, dividida entre la suma de los números. Repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales a una serie de números equivale a repartirla en partes directamente proporcionales a los inversos de dichos números.
Repartos proporcionales Tres jardineros reparten 420 € en partes directamente proporcionales al número de horas trabajadas. Si Juan trabaja 6 horas, Lucía 5 y Jesús 8, ¿qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno? DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Repartos proporcionales Tres jardineros reparten 420 € en partes directamente proporcionales al número de horas trabajadas. Si Juan trabaja 6 horas, Lucía 5 y Jesús 8, ¿qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno? DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Repartos proporcionales Tres jardineros reparten 420 € en partes directamente proporcionales al número de horas trabajadas. Si Juan trabaja 6 horas, Lucía 5 y Jesús 8, ¿qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno? DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Jardineros HORAS DINERO Juan 6 Lucía 5 Jesús 8 6 × 22 , 11 = 132 , 66 € 55 € , 110 11 22 5 = × 88 € , 176 11 22 8 = ×
Repartos proporcionales En un testamento se leía lo siguiente: “Deseo repartir mi capital en partes inversamente proporcionales a las edades de mis tres herederos”. Si el capital es 7.000 €, y las edades de sus herederos son 40, 50 y 80 años, respectivamente, ¿cuánto le correspondió a cada uno? INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Repartos proporcionales En un testamento se leía lo siguiente: “Deseo repartir mi capital en partes inversamente proporcionales a las edades de mis tres herederos”. Si el capital es 7.000 €, y las edades de sus herederos son 40, 50 y 80 años, respectivamente, ¿cuánto le correspondió a cada uno? INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Repartos proporcionales En un testamento se leía lo siguiente: “Deseo repartir mi capital en partes inversamente proporcionales a las edades de mis tres herederos”. Si el capital es 7.000 €, y las edades de sus herederos son 40, 50 y 80 años, respectivamente, ¿cuánto le correspondió a cada uno? INVERSAMENTE PROPORCIONALES Herederos EDAD INVERSO DINERO Heredero 1 40 1/40 Heredero 2 50 1/50 Heredero 3 80 1/80 48 € , 043 . 3 1304 739 121 40 1 = × 78 € , 434 . 2 1304 739 121 50 1 = × 74 € , 521 . 1 1304 739 121 80 = ×
Proporcionalidad compuesta Cuando una situación de proporcionalidad, inversa o directa, relaciona más de dos magnitudes, hablamos de proporcionalidad compuesta. Para resolver una situación de proporcionalidad compuesta, se utilizan los mismos métodos que para la proporcionalidad simple: regla de tres compuesta y método de reducción a la unidad.
Proporcionalidad compuesta Veinte obreros han tendido durante 6 días 400 metros de cable, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 metros de cable?
Proporcionalidad compuesta Veinte obreros han tendido durante 6 días 400 metros de cable, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 metros de cable? OBREROS DÍAS METROS HORAS 20 6 400 8 24 14 700 x
Proporcionalidad compuesta Veinte obreros han tendido durante 6 días 400 metros de cable, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 metros de cable? OBREROS DÍAS METROS HORAS 20 6 400 8 24 14 700 x directa
Proporcionalidad compuesta Veinte obreros han tendido durante 6 días 400 metros de cable, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 metros de cable? inversa OBREROS DÍAS METROS HORAS 20 6 400 8 24 14 700 x directa
Proporcionalidad compuesta Veinte obreros han tendido durante 6 días 400 metros de cable, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 metros de cable? inversa OBREROS DÍAS METROS HORAS 20 6 400 8 24 14 700 x directa inversa
Proporcionalidad compuesta Veinte obreros han tendido durante 6 días 400 metros de cable, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 metros de cable? inversa OBREROS DÍAS METROS HORAS 20 6 400 8 24 14 700 x directa inversa
Proporcionalidad compuesta Veinte obreros han tendido durante 6 días 400 metros de cable, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 metros de cable? inversa OBREROS DÍAS METROS HORAS 20 6 400 8 24 14 700 x directa inversa
Proporcionalidad compuesta Veinte obreros han tendido durante 6 días 400 metros de cable, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para tender 700 metros de cable? inversa OBREROS DÍAS METROS HORAS 20 6 400 8 24 14 700 x Los 24 obreros emplearán 5 horas diarias durante 14 días para tender 700 metros de cable. directa inversa
Porcentajes Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento dividido entre 100. 1. Si un televisor cuesta 2.000 € y hemos pagado el 65%, ¿qué cantidad hemos pagado? 2. Si un televisor cuesta 2.000 € y nos quedan por pagar 600 €, ¿qué porcentaje hemos pagado?
Porcentajes Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento dividido entre 100. 1. Si un televisor cuesta 2.000 € y hemos pagado el 65%, ¿qué cantidad hemos pagado? 2. Si un televisor cuesta 2.000 € y nos quedan por pagar 600 €, ¿qué porcentaje hemos pagado?
Porcentajes Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento dividido entre 100. 1. Si un televisor cuesta 2.000 € y hemos pagado el 65%, ¿qué cantidad hemos pagado? 2. Si un televisor cuesta 2.000 € y nos quedan por pagar 600 €, ¿qué porcentaje hemos pagado? € . 1 400 600 000 2 = -
Aumentos y disminuciones porcentuales Aumentar una cantidad C un a% equivale a calcular (100 + a) % de C. Disminuir una cantidad C un a% equivale a calcular (100 – a) % de C. Unos grandes almacenes anuncian las segundas rebajas, del 15%, tras las primeras, que fueron del 10%. ¿Cuánto costarán unas zapatillas que costaban sin rebajar 42 €?
Aumentos y disminuciones porcentuales Aumentar una cantidad C un a% equivale a calcular (100 + a) % de C. Disminuir una cantidad C un a% equivale a calcular (100 – a) % de C. Unos grandes almacenes anuncian las segundas rebajas, del 15%, tras las primeras, que fueron del 10%. ¿Cuánto costarán unas zapatillas que costaban sin rebajar 42 €? 1ª rebajas: disminuir 10% de 42 42 90 , ) 100 10 - (1 de )% ( × =
Aumentos y disminuciones porcentuales Aumentar una cantidad C un a% equivale a calcular (100 + a) % de C. Disminuir una cantidad C un a% equivale a calcular (100 – a) % de C. Unos grandes almacenes anuncian las segundas rebajas, del 15%, tras las primeras, que fueron del 10%. ¿Cuánto costarán unas zapatillas que costaban sin rebajar 42 €? 1ª rebajas: disminuir 10% de 42 42 90 , ) 100 10 - (1 de )% ( × = 2ª rebajas: disminuir 15% de las 1ª rebajas € 13 , 32 42 90 85 ) ( 100 15 - (1 42) (0,90 de )% = ×
Interés simple El interés simple, i, es el beneficio que origina una cantidad de dinero llamado capital, C, en un periodo de tiempo, t, a un rédito determinado, r. Si el tiempo se da en meses o en días, la fórmula se transforma en:
Interés simple Calcular el interés que obtendremos si invertimos un capital de 100 € a un rédito del 3,5% durante un periodo de dos años y medio.
Interés simple Calcular el interés que obtendremos si invertimos un capital de 100 € a un rédito del 3,5% durante un periodo de dos años y medio. En años:
Interés simple Calcular el interés que obtendremos si invertimos un capital de 100 € a un rédito del 3,5% durante un periodo de dos años y medio. En años: En meses: 2 años y medio son 24 + 6 meses, es decir, 30 meses.
Interés compuesto Cuando los intereses que se obtienen al final de cada periodo de inversión no se retiran, como hacemos en el interés simple, sino que se añaden al capital y se reinvierten, estamos ante el concepto de interés compuesto. El capital final, Cf, obtenido al invertir un capital, Ci, a un rédito, r, durante un tiempo, t, a interés compuesto, es: t i f C ÷ ø ö ç è æ + = · 100 r 1
Interés compuesto Calcular el capital invertido que hemos invertido a interés compuesto durante 2 años al 5% para que produzca un capital final de 200 €. t i f C ÷ ø ö ç è æ + = · 100 r 1
Interés compuesto Calcular el capital invertido que hemos invertido a interés compuesto durante 2 años al 5% para que produzca un capital final de 200 €. t i f C ÷ ø ö ç è æ + = · 100 r 1 2 100 5 1 200 ÷ ø ö ç è æ + = i C 2 100 5 1 200 ÷ ø ö ç è æ + = i C 41 , 181 1025 1 200 = i C