Contenido Sesión Semana Programación Clase a Clase 1º Semestre 2012 Nombre del curso: Matemáticas FOAUD115. Nombre del Profesor: Carlos Beyzaga Medel - cbeyzaga@yahoo.com Contenido Sesión Semana Conjuntos 1 – 2 5/3 12/3 N° Reales , enteros, racionales, irracionales, operatorias 3 – 4 19/3 26/3 Prueba 1 5 2/4 Polinomios 6 9/4 Potencias – raíces 7 16/4 Ecuaciones 1er y 2do. Grado 8 23/4 Funciones / Representación Grafica, recta, curvas, logaritmos y exponenciales 9 – 10 30/4 7/5 Prueba 2 11 14/5 Sumatoria, binomio de Newton/ Factorial/ N° Combinatorio 12 21/5 Limite/derivada/integrales 13 - 14 28/5 Prueba 3 15 4/6 Prueba recuperativa 16 11/6 Examen 17 18/6 Examen extraordinario 18 25/6

Conjuntos Mg. Carlos Beyzaga M. Unidad I Conjuntos Mg. Carlos Beyzaga M.

Georg Ferdinand Cantor (San Petersburgo, 1845-Halle, Alemania, 1918) Matemático alemán de origen ruso. El joven Cantor permaneció en Rusia junto a su familia durante once años, hasta que la delicada salud de su padre les obligó a trasladarse a Alemania. En 1862 ingresó en la Universidad de Zurich, pero tras la muerte de su padre, un año después, se trasladó a la Universidad de Berlín, donde estudió matemáticas, física y filosofía. Se doctoró en 1867 y empezó a trabajar como profesor adjunto en la Universidad de Halle. En 1874 publicó su primer trabajo sobre teoría de conjuntos. Entre 1874 y 1897, demostró que el conjunto de los números enteros tenía el mismo número de elementos que el conjunto de los números pares, y que el número de puntos en un segmento es igual al número de puntos de una línea infinita, de un plano y de cualquier espacio. Es decir, que todos los conjuntos infinitos tienen «el mismo tamaño». Consideró estos conjuntos como entidades completas con un número de elementos infinitos completos. Llamó a estos números infinitos completos «números transfinitos» y articuló una aritmética transfinita completa. Por este trabajo fue ascendido a profesor en 1879. Sin embargo, el concepto de infinito en matemáticas había sido tabú hasta entonces, y por ello se granjeó algunos enemigos, especialmente Leopold Kronecker. Sus teorías sólo fueron reconocidas a principios del siglo XX, y en 1904 fue galardonado con una medalla de la Sociedad Real de Londres y admitido tanto en la Sociedad Matemática de Londres como en la Sociedad de Ciencias de Gotinga. En la actualidad se le considera como el padre de la teoría de conjuntos, punto de partida de excepcional importancia en el desarrollo de la matemática moderna. Murió en una institución mental.

Conjunto Es toda colección, lista, agrupaciones, clasificación de objetos que pasan a llamarse elementos del conjunto. Se acostumbra designar los conjuntos con letras mayúsculas: A, B, C,…; sus elementos con letras minúsculas a , b , c,…;que se escriben dentro de un paréntesis de llave, por ejemplo el conjunto A que tiene los elementos a ,b , c se escribe: A={a , b , c}

Conjunto Vacio Es el conjunto que no tiene elementos se le designa por ∅ . Es distinto el conjunto cuyo elemento es el cero al conjunto vacio.

Singleton Es el conjunto de un solo elemento A = {a}

Definición de un conjunto Por extensión: cuando se le define nombrando todos sus elementos, ejemplo el conjunto de mis dos hijos. A = { carlos , camilo} Por comprensión: cuando se le define indicando una cualidad de los elementos que lo forman. Por ejemplo el conjunto de mis hijos se indica: A = { mis hijos} o bien A = { x | x es mi hijo}

Pertenencia y no pertenencia Si el conjunto A tiene a “x” como uno de sus elementos, se dice que “x pertenece a A” lo que se escribe x ∈ A. El signo ∈ significa “ pertenece a “ o “ esta en”, el signo ∉ significa “no pertenece” o “no esta en” ejemplo: sea A={capitales sudamericanas} implica Santiago ∈ A y Paris ∉ A

Conjunto Universo (o referencia) Es el conjunto formado por todos los elementos de una teoría específicamente indicada. Generalmente se le representa por un rectángulo y se le designa por E o U. Por ejemplo, el conjunto Universal puede ser el conjunto de los números reales, el espacio vectorial, el conjunto de todos los puntos de un plano, etc.

Subconjunto (o inclusión) Cuando cada elemento de un conjunto B es también un elemento de un conjunto A se dice que “B es un subconjunto de A” o que “el conjunto B esta incluido en el conjunto A”. Por lo tanto, todos lo elementos del conjunto B pertenecen al conjunto A. simbólicamente se indica : B ⊂ A

Propiedades de los conjuntos y subconjuntos a) Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si todos los elementos de A pertenecen a B y viceversa A = B si y solo si A ⊂ B y B ⊂ A b) El conjunto vacio es subconjunto de cualquier conjunto. Para todo conjunto a ∅ ⊂ A. c) Dados dos conjuntos A y B, se dice que A y B son conjuntos disjuntos si y solo si la intersección de ellos es vacía A ∩ B = ∅

d) Reflexividad: todo conjunto esta incluido en si mismo, para todo A, A ⊂ A e) Antisimetría: si A es subconjunto de B y B subconjunto de A, entonces ambos conjuntos son iguales. f) Transitividad: si A es subconjunto de B, y B subconjunto de C, entonces A es subconjunto de C.

Familia de conjuntos Cuando los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos, se obtiene una familia de conjuntos. por ejemplo A= {{1,9},{6,4},{2}} no es familia B = { 2, {f , g}, {12},0}

Conjunto potencia Se designa por P(E) y esta formado por la “familia” de todos los subconjuntos de un conjunto E. P(E) = { x | x ⊂ E } Propiedades del conjunto potencia. Si E es distinto de vacio, el conjunto potencia tiene al menos dos subconjuntos E y Vacio, es decir P(E) = {∅, {E}} Si E no es un conjunto unitario (singleton) ni el ∅, el conjunto P(E) tiene tantos subconjuntos como puedan formarse con sus elementos tomados de a uno, de a dos,… por ejemplo si E = {a,b,c} P(E) = {∅, {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},E} en general si E tiene n elementos, P(E) tiene 2n elementos

Operaciones entre conjuntos Intersección La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto que se obtiene con los elementos que pertenecen al mismo tiempos a ambos conjuntos. A ∩ B. Cuando B es subconjunto de A, entonces A ∩ B = B Si A y B no tienen elementos comunes la intersección es vacía.

Operaciones entre conjuntos Unión La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y a B o a ambos (los elementos repetidos se consideran una sola vez) A ∪ B Si B es subconjunto de A, entonces la unión es A

Operaciones entre conjuntos Complementación El complemento de un conjunto A respecto a un conjunto Universal E es el conjunto A’ que tiene por elementos los elementos de E que no pertenecen a A. El complemento del conjunto universo es el vacio.

Operaciones entre conjuntos Diferencia La diferencia entre conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B. Se indica A-B

Ejemplo: si A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e, i, o }, entonces la diferencia de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén solamente en A, esto es:    A –  B = { b, c, d }

Diagramas de Venn Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica de clases conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos. Por ejemplo, si los círculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra un área común a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el círculo del conjunto A aparece dentro del círculo de otro B, es que todos los elementos de A también están contenidos en B.

John Venn ( Drypool , 4 de agosto de 1834 - Cambridge, 4 de abril de 1923), fue un matemático y lógico británico. Destacó por sus investigaciones en lógica inductiva. Es especialmente conocido por su método de representación gráfica de proposiciones (según su cualidad y cantidad) y silogismos. Los diagramas de Venn permiten, además, una comprobación de la verdad o falsedad de un silogismo. Posteriormente fueron utilizados para mostrar visualmente las operaciones más elementales de la teoría de conjuntos.

Propiedades PROPIEDADES UNION 1.- Idempotencia A ∪ A = A 2.- Conmutativa A ∪ B = B ∪ A 3.- Asociativa A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C 4.- Neutro A ∪ ∅ = A 5.- Absorción A ∪ (A ∩ B) = A 6.- Distributiva A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 7.- Complementariedad A ∪ A' = U

Propiedades PROPIEDADES INTERSECCIÓN 1. - Idempotencia A ∩ A = A 2. - Conmutativa A ∩ B = B ∩ A 3. - Asociativa A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C 4. – Neutro A ∩ ∅ = ∅ 5. - Absorción A ∩ ( A ∪ B ) = A 6. - Distributiva A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) 7. - Complementariedad A ∩ A' = ∅

Producto cartesiano de dos conjunto Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados ( a, b) donde a es un elemento de A y b es un elemento de B. A X B = {(a, b): a ∈ A y b ∈ B} Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2} dos conjuntos. El producto cartesiano es el conjunto A x B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} El cardinal de un conjunto A es el número de elementos del conjunto A. Se anota # A. El cardinal del producto cartesiano es el producto de los cardinales de los dos conjuntos, # {A x B} = #{A} x #{B}. Dos pares (a, b) y (c, d) de A X B son iguales si a = c y b = d.

Ejercicios

Bibliografía y sitios web [Schaum - Seymour Lipschutz] Teoría de conjuntos y Temas Afines http://es.wikipedia.org/wiki/Intersecci%C3%B3n_de_conjuntos http://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3n_de_conjuntos