Computacion Inteligente 2017/4/1 Computacion Inteligente Conjuntos fuzzy

2017/4/1 Conjuntos Difusos Martes 12 abril 2005

Los Conjuntos y la Logica difusa 2017/4/1 Los Conjuntos y la Logica difusa 1965: Propuestos por Lotfi A. Zadeh, University of California, Berkeley 70’s primeras aplicaciones (Mamdani) 80’s aplicaciones industriales. Operación de un tren en Senday, Japon. 1986: Chip VLSI 90’s productos de consumo. Camaras, lavadoras 1994: Toolbox de MatLab Seminar paper L. A. Zadeh. Fuzzy sets. Information and Control, 8, 1965. In late 1970’s two small research groups. In 1974, S. Assilian and E. H. Mamdani in United Kingdom developed the first fuzzy logic controller, which was for controlling a steam generator. 1976:cement kiln controller. The system went to operation in 1982, Denmark. The first financial trading system using fuzzy logic was Yamaichi Fuzzy Fund. The system went to commercial operations in 1988.

2017/4/1 Conjuntos Clasicos Alguna propiedad de x determina su pertenencia al conjunto A

Conjuntos Clasicos Tradicionalmente un conjunto (S) se caracteriza: 2017/4/1 Conjuntos Clasicos Tradicionalmente un conjunto (S) se caracteriza: El conjunto de numeros naturales menores que cinco

2017/4/1 Conjuntos Difusos (1)

2017/4/1 Conjuntos Difusos (2) Perfil subjetivo

Conjuntos Difusos: definicion 2017/4/1 Conjuntos Difusos: definicion Un conjunto difuso (A) sobre el dominio (universo) X es un conjunto definido por la funcion de pertenencia μA(x), la cual es un mapeo desde el universo X al intervalo unitario

Conjuntos Difusos (3) Un conjunto difuso (A) se caracteriza: 2017/4/1 Conjuntos Difusos (3) Un conjunto difuso (A) se caracteriza: donde X es el universo de discurso, y µA la función de pertenencia. Para cada elemento x, µA(x) es el grado de pertenencia al conjunto difuso A.

2017/4/1 Conjuntos Difusos (4) Habitualmente se utilizan funciones de pertenencia estándar cuya representación nos da una determinada forma. Nos permite representar las funciones de forma compacta, a la vez que se simplifican los cálculos. X µA X µA Conjunto Triangular Conjunto Trapezoidal

Representacion de conjuntos fuzzy 2017/4/1 Representacion de conjuntos fuzzy Como una lista de pares pertenencia/elemento Formula analitica para la funcion (grado) de pertenencia

Definiciones basicas y terminologia 2017/4/1 Definiciones basicas y terminologia Specifically, this is the outline of the talk. Wel start from the basics, introduce the concepts of fuzzy sets and membership functions. By using fuzzy sets, we can formulate fuzzy if-then rules, which are commonly used in our daily expressions. We can use a collection of fuzzy rules to describe a system behavior; this forms the fuzzy inference system, or fuzzy controller if used in control systems. In particular, we can can apply neural networks?learning method in a fuzzy inference system. A fuzzy inference system with learning capability is called ANFIS, stands for adaptive neuro-fuzzy inference system. Actually, ANFIS is already available in the current version of FLT, but it has certain restrictions. We are going to remove some of these restrictions in the next version of FLT. Most of all, we are going to have an on-line ANFIS block for SIMULINK; this block has on-line learning capability and it ideal for on-line adaptive neuro-fuzzy control applications. We will use this block in our demos; one is inverse learning and the other is feedback linearization.

Confuntos fuzzy Definicion formal : 2017/4/1 Confuntos fuzzy Definicion formal : Un conjunto fuzzy A en X se expresa como un conjunto de pares ordenados: Funcion de pertenencia (MF) Universo o Universo del discurso Conjunto fuzzy Un conjunto fuzzy esta completamente caracterizado por una funcion de pertenencia

Conjuntos fuzzy con Universo Discreto 2017/4/1 Conjuntos fuzzy con Universo Discreto A = “numero razonable de hijos” X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (universo discreto) A = {(0, .1), (1, .3), (2, .7), (3, 1), (4, .6), (5, .2), (6, .1)}

Conjuntos fuzzy con Universo Continuo 2017/4/1 Conjuntos fuzzy con Universo Continuo B = “cerca de 50 años de edad” X = Conjunto de numeros reales positivos (continuo) B = {(x, mB(x)) | x in X}

2017/4/1 Notacion Alternativa Alternativamente un conjunto fuzzy A puede ser denotado como sigue: X es discreto X es continuo Note que los signos S e integral establecen la union de los grados de pertenencia; el signo “/” es un marcador y no implica division.

2017/4/1 Particion Fuzzy Particion fuzzy formada por los valores linguisticos “young”, “middle aged”, y “old”: lingmf.m

Propiedades de los Conjuntos Difusos (1) 2017/4/1 Propiedades de los Conjuntos Difusos (1) Soporte: el conjunto de elementos cuyo grado de pertenencia es distinto de cero.

Propiedades de los Conjuntos Difusos (2) 2017/4/1 Propiedades de los Conjuntos Difusos (2) Altura: el grado de pertenencia más grande de los elementos del conjunto.

Propiedades de los Conjuntos Difusos (3) 2017/4/1 Propiedades de los Conjuntos Difusos (3) Core: (Kernel) el conjunto de elementos cuyo grado de pertenencia es igual a uno. Corte-Alfa

Propiedades Support Core Crossover points MF a-cut 1 .5 a Core 2017/4/1 Propiedades Support Core Crossover points a-cut MF 1 .5 a Core X Crossover points a - cut Support

2017/4/1 Numeros Fuzzy

Concepto de un Numero Fuzzy 2017/4/1 Concepto de un Numero Fuzzy Cero Casi Cero Consider a number as a spike at 0 on a number line; this is a so-called crisp number. A crisp number can also be considered as a crisp set, with members either inside the set or outside of it. Let us call the spike set arbitrarily ZERO, thus every number is either in the ZERO set or out of it. Assume now that we smear the line left and right. This smeared version represents the numbers in the neighborhood of the set ZERO. One can call this set, smeared to the left and to the right, shown as a triangle, ALMOST ZERO. One can observe that the set ZERO has the mathematical abstraction of zero area, while the set ALMOST ZERO has a finite area. It is possible to draw a triangular set, NEAR ZERO, which is even more smeared to the left and to the right, i.e. has a greater area, than the set ALMOST ZERO. One could intuitively state, that the set ALMOST ZERO is fuzzy and the set NEAR ZERO is ”fuzzier” than the set ALMOST ZERO. Under this view, crisp numbers represent a special case of fuzzy numbers. Cerca de Cero

2017/4/1 Intervalo fuzzy

2017/4/1 Mas Definiciones

2017/4/1 conjunto singleton El conjunto singleton A

Convexidad de los conjuntos fuzzy 2017/4/1 Convexidad de los conjuntos fuzzy Un conjunto fuzzy A es convexo si para cualquier l en [0, 1], convexmf.m

Operaciones con Conjuntos Fuzzy 2017/4/1 Operaciones con Conjuntos Fuzzy

Subconjunto de conjuntos fuzzy 2017/4/1 Subconjunto de conjuntos fuzzy Subconjunto: subset.m

Operaciones sobre conjuntos fuzzy 2017/4/1 Operaciones sobre conjuntos fuzzy Complemento:

Operaciones sobre conjuntos fuzzy 2017/4/1 Operaciones sobre conjuntos fuzzy Union: Interseccion:

Operaciones sobre conjuntos fuzzy 2017/4/1 Operaciones sobre conjuntos fuzzy fuzsetop.m

Funciones de pertenencia tipicas 2017/4/1 Funciones de pertenencia tipicas

Funciones de pertenencia 2017/4/1 Funciones de pertenencia MF Triangular: MF Trapezoidal:

Funciones de pertenencia 2017/4/1 Funciones de pertenencia MF Gausiana: MF Campana generalizada:

Funciones de pertenencia 2017/4/1 Funciones de pertenencia disp_mf.m

Conjuntos fuzzy multidimencionales 2017/4/1 Conjuntos fuzzy multidimencionales

Conjuntos fuzzy multidimencionales 2017/4/1 Conjuntos fuzzy multidimencionales

2017/4/1 Extension cilindrica

Extension cilindrica Conjunto base A Ext. cilindrica de A cyl_ext.m 2017/4/1 Extension cilindrica Conjunto base A Ext. cilindrica de A cyl_ext.m

2017/4/1 Proyeccion 2D en X1

2017/4/1 Proyeccion 2D en X2

Projeccion 2D MF en dos dimensiones Projeccion en X Projeccion en Y 2017/4/1 Projeccion 2D MF en dos dimensiones Projeccion en X Projeccion en Y project.m

Interseccion en el espacio producto carteciano 2017/4/1 Interseccion en el espacio producto carteciano Una operación entre conjuntos fuzzy en dominios diferentes resulta en un conjunto fuzzy multidimensional

2017/4/1 Operaciones en 2D mf2d.m

Operadores generalizados 2017/4/1 Operadores generalizados

Operadores generalizados 2017/4/1 Operadores generalizados Complemento: NOT Interseccion: AND Union: OR

Complemento Fuzzy requiremientos Generales: 2017/4/1 Complemento Fuzzy requiremientos Generales: Frontera: N(0) = 1 and N(1) = 0 Monotonicidad: N(a) > N(b) if a < b Involucion: N(N(a) = a

Complemento Fuzzy Dos tipos de complementos fuzzy: 2017/4/1 Complemento Fuzzy Dos tipos de complementos fuzzy: Complemento de Sugeno: Complemento de Yager:

Complemento de Sugeno: 2017/4/1 Complemento Fuzzy Complemento de Sugeno: Complemento de Yager: negation.m

Operadores generalizados 2017/4/1 Operadores generalizados Las norma y conorma triangulares generalizan operaciones con conjuntos Norma-T: generaliza el concepto de intersección Conorma-T: generaliza el concepto de unión Triangular norms were introduced by [Schweizer and Sklar, 1963] to model the distances in probabilistic metric spaces. B.Schweizer and A.Sklar, Associative functions and abstract semigroups, Publ. Math. Debrecen, 10(1963) 69-81.

Norma-T: Interseccion Fuzzy 2017/4/1 Norma-T: Interseccion Fuzzy Requerimientos basicos: Frontera: T(0, 0) = 0, T(a, 1) = T(1, a) = a Monotonicidad: T(a, b) < T(c, d) if a < c and b < d Commutatividad: T(a, b) = T(b, a) Asociatividad: T(a, T(b, c)) = T(T(a, b), c)

Norma-T: Interseccion Fuzzy 2017/4/1 Norma-T: Interseccion Fuzzy Cuatro ejemplos: Minimo: Tm(a, b) = min(a,b) Producto algebraico: Ta(a, b) = a*b Producto acotado: Tb(a, b) Producto drastico: Td(a, b)

El operador norma-T Algebraic product: Ta(a, b) Bounded product: 2017/4/1 El operador norma-T Algebraic product: Ta(a, b) Bounded product: Tb(a, b) Drastic product: Td(a, b) Minimum: Tm(a, b) tnorm2.m

Conorma-T o norma-S: Union Fuzzy 2017/4/1 Conorma-T o norma-S: Union Fuzzy Requerimientos basicos: Frontera: S(1, 1) = 1, S(a, 0) = S(0, a) = a Monotonicidad: S(a, b) < S(c, d) if a < c and b < d Commutatividad: S(a, b) = S(b, a) Associatividad: S(a, S(b, c)) = S(S(a, b), c)

Conorma-T o norma-S: Union Fuzzy 2017/4/1 Conorma-T o norma-S: Union Fuzzy Cuatro ejemplos: Maximo: Sm(a, b) = max(a,b) Suma algebraica: Sa(a, b) = a+b-a*b Suma acotada: Sb(a, b) Suma drastica: Sd(a, b)

Conorma-T o norma-S Algebraic sum: Sa(a, b) Bounded sum: Sb(a, b) 2017/4/1 Conorma-T o norma-S Algebraic sum: Sa(a, b) Bounded sum: Sb(a, b) Drastic sum: Sd(a, b) Maximum: Sm(a, b) tconorm.m

Ley de DeMorgan Generalizada 2017/4/1 Ley de DeMorgan Generalizada Las normas-T y conormas-T son duales si soportan la generalizacion de la ley de DeMorgan: T(a, b) = N(S(N(a), N(b))) S(a, b) = N(T(N(a), N(b))) Tm(a, b) Ta(a, b) Tb(a, b) Td(a, b) Sm(a, b) Sa(a, b) Sb(a, b) Sd(a, b)

Norma-T y norma-S Parametrizadas 2017/4/1 Norma-T y norma-S Parametrizadas Normas-T y conormas-T duales parametrizadas han sido propuestas por varios investigadores: Yager Schweizer and Sklar Dubois and Prade Hamacher Frank Sugeno Dombi

Algunos operadores generalizados 2017/4/1 Algunos operadores generalizados Norma-t Conorma-t rango autor Schweizer &Sklar [69] Hamacher [70] Yager [72] Dombi [74]

2017/4/1 Fuentes J.-S. Roger Jang, Slides for Fuzzy Sets, Ch. 2 of Neuro-Fuzzy and Soft Computing. CS Dept., Tsing Hua Univ., Taiwan. Humberto Martínez Barberá, Control Difuso. Universidad de Murcia. 2000 Robert Babuska. Fuzzy and neural control. DISC Course Lecture Notes (October 2001) Robert Babuska. Course Fuzzy and Neural Control, 2001/2002.

2017/4/1 Fuentes R. Babuska, H.B. Verbruggen, H. Hellendoorn, Promising Fuzzy Modeling and Control Methodologies for Industrial Applications, 1999 René Jager, Fuzzy Logic in Control. PHD thesis, 1995. Javier Echauz, Sistemas y Controles Inteligentes, Universidad de Puerto Rico, 2000 L.X. Wang, “Adaptive Fuzzy Systems and Control: Design and Stability Analysis”, Prentice-Hall, 1.994