Técnicas de conteo: Producto, suma y diagrama de árbol Clase Nº 3 IIIº Medio 2018

Pensemos… Si tengo 2 pantalones (negro y blanco) y 2 poleras (roja y naranja), ¿Cuántas tenidas diferentes puedo hacer?

Y… Si ahora tengo 3 pantalones (negro, blanco y azul) y las mismas 2 poleras. ¿Cuántas tenidas puedo hacer ahora?

Que pasa… Si tuviera 2 pantalones negros iguales, uno blanco y uno azul y una polera roja y 2 naranjas iguales. ¿Cuántas tenidas diferentes puedo hacer?

Objetivo Resolver problemas de cálculo de probabilidades mediante suma y producto de probabilidades y/o diagramas de árbol

Diagramas de árbol Realicemos un diagrama de árbol para las tres situaciones anteriores Negro Blanco Roja Naranja

2. Negro Blanco Azul Roja Naranja

3.

Producto de probabilidades Si A y B son sucesos independientes, es decir, si la ocurrencia de uno no incide ni varía la ocurrencia del otro, entonces, la probabilidad de que ambos ocurran corresponde al producto de las probabilidades de ambos sucesos. P(A ∩ B) = P(A) ● P(B)

Ejemplo Si lanzo un dado y una moneda, ¿Cuál es la probabilidad de que me salga 6 y cara? Los sucesos son independientes, porque lo que salga en el dado no influye en lo que salga en la moneda: P(6 y cara) = P(6) ● P(cara)

Ejemplo En una bolsa hay 7 fichas negras y 5 blancas. Si se extraen dos fichas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad que salgan 2 fichas negras? En este caso los eventos no son independientes, pues al ser sin reposición lo que salga primero influye en la probabilidad de la segunda ficha. P(2 fichas negras) ≠

En este caso P(2 negras)= P(Negra la 1ª) ● P(Negra la 2ª)

Suma de probabilidades Eventos mutuamente excluyentes: Son aquellos donde la ocurrencia de ambos es incompatible, por lo que no tienen elementos en común. (Intersección vacía) P(A U B) = P(A) + P(B) Eventos no mutuamente excluyentes: Son aquellos donde la intersección no es vacía. P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Ejemplo 1. De una baraja española (40) se extrae un carta, ¿cuál es la probabilidad de que sea una figura o un 3? A: Extraer una figura B: Extraer un 3 P(A) = 12/40 = 3/10 P(B) = 4/40 = 1/10 Son mutuamente excluyentes, entonces: P(A U B) = P(A) + P(B)

Ejemplo 2. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que sus caras sumen un número par o un número mayor que nueve? A: Número par B: Número mayor que nueve P(A) = 18/36 = ½ P(B) = 6/36 = 1/6 No son mutuamente excluyentes, entonces buscamos P(A∩B)= 4/36 =1/9 P(A U B)

Unamos con el diagrama de árbol Se lanza una moneda y un dado a) ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara y el número 3? b) ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara y par?

P((c,2); (c,4); (c,6)) = 1 2 ∙ 1 6 + 1 2 ∙ 1 6 + 1 2 ∙ 1 6 = 1 4 a) P(c,3) = 1 2 ∙ 1 6 = 1 12 b) P((c,2); (c,4); (c,6)) = 1 2 ∙ 1 6 + 1 2 ∙ 1 6 + 1 2 ∙ 1 6 = 1 4

Ejercicios En el caso del ejemplo anterior, calcula la probabilidad de: Salga sello y un número menor que 5 Salga cara o sello y un número mayor que 1 Salga cara y un número que no sea primo. Respuestas:

Ejercicios 2. Se tiene 4 tarjetas numeradas del 1 al 4 y se extraen sin reposición, calcula la probabilidad de que: Que en ninguna de las extracciones coincida el orden de la extracción con el número de la tarjeta El orden y el número coincidan en una carta c) El orden y el número coincidan para 3 cartas Respuestas:

Ejercicios 6 13 3. Se saca una carta de un mazo de 52 cartas ¿Cuál es la probabilidad que se obtenga un as o una carta roja? ¿Cuál es la probabilidad de obtener una figura o un nº menor que 4? Respuesta: 6 13