Procesos matemáticos en la enseñanza/aprendizaje de la geometría Angel Gutiérrez Dpto. de Didáctica de la Matemática Universidad de Valencia Valencia (España) angel.gutierrez@uv.es www.uv.es/Angel.Gutierrez

Observar y Describir Analizar y Definir Comparar y Clasificar Aprender matemáticas es, principalmente, aprender una variedad de procesos matemáticos: Observar y Describir Analizar y Definir Comparar y Clasificar Explicar y Demostrar Imaginar y Visualizar

Modelo de razonamiento matemático de Van Hiele Fases de aprendizaje Niveles de razonamiento

DESCRIBIR Nivel 1: Descripción de propiedades y elementos físicos de los objetos matemáticos. Nivel 2: Descripción de propiedades y elementos matemáticos de los conceptos.

DESCRIBIR

DESCRIBIR

DEFINIR (usar definiciones) Nivel 2: Definiciones con una estructura lógica simple. Nivel 3: Cualquier tipo de definición. Nivel 4: Se admite la existencia de definiciones equivalentes.

DEFINIR (construir definiciones) Nivel 1: Descripción de características físicas de las figuras. Nivel 2: Lista de las propiedades conocidas de ese concepto, redundante o insuficiente. Nivel 3: Conjunto de propiedades necesarias y suficientes. Nivel 4: Se puede demostrar la equivalencia de definiciones.

CLASIFICAR Nivel 1: Clasificaciones exclusivas basada en el aspecto físico. Nivel 2: Clasificaciones exclusivas de familias con propiedades contrarias. Nivel 3: Clasificaciones inclusivas o exclusivas según las definiciones usadas.

CLASIFICAR CUADRADO: Cuadrilátero con todos los lados iguales y todos los ángulos rectos. RECTÁNGULO: a) Cuadrilátero con dos pares de lados iguales y todos los ángulos rectos. b) Cuadrilátero con todos los ángulos rectos. ROMBO: a) Cuadrilátero con dos pares de ángulos iguales y todos los lados iguales. b) Cuadrilátero con todos los lados iguales.

CLASIFICAR Cuadr. Rect.

CLASIFICAR Cuadr. Rect.

CLASIFICAR Cuadr. Rect. Cuadr. Rect.

CLASIFICAR Equil. Isósc. Equil. Isósc. Isósceles: Triángulo con (al menos) dos lados iguales. Isósceles: Triángulo con dos lados iguales y uno desigual.

CLASIFICAR CUADRADO: Cuadrilátero con todos los lados iguales y todos los ángulos rectos. PARALELOGRAMO: Cuadrilátero con dos pares de lados paralelos.

DEMOSTRAR Nivel 2: Verificación empírica de las propiedades en uno o varios ejemplos. Nivel 3: Demostraciones abstractas deductivas informales, pero generalmente con ayuda de ejemplos concretos. Nivel 4: Demostraciones abstractas deductivas formales.

DEMOSTRAR Categorías de demostraciones (Marrades, Gutiérrez): Demostraciones empíricas o inductivas: - Empirismo naïf: Verificación en ejemplos cualesquiera. - Experimento crucial: Verificación en un ejemplo “general”. - Ejemplo genérico: Justificación abstracta basada en un ejemplo representante de su clase. Demostraciones deductivas: - Experimento mental: Demostración con la ayuda de un ejemplo. - Cálculo sobre enunciados: Basada en manipución o transformación de expresiones literales. - Transformativa: Basada en operaciones de transformación de objetos y anticipación de resultados. - Axiomática: Basada en los elementos del sistema axiomático.

DEMOSTRAR Recuerda que una diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?

DEMOSTRAR Recuerda que una diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?

DEMOSTRAR Recuerda que una diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?

DEMOSTRAR Recuerda que una diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?

DEMOSTRAR Recuerda que una diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?

DEMOSTRAR Recuerda que una diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?

VISUALIZAR

VISUALIZAR

VISUALIZACIÓN Tipos de imágenes mentales (Presmeg): Concretas o pictóricas. De fórmulas. De patrones. Cinéticas. Dinámicas.

VISUALIZACIÓN Tipos de procesos mentales (Bishop): Procesamiento visual: Información > Imagen. Interpretación de información figurativa: Imagen > Información.

VISUALIZACIÓN Tipos de habilidades mentales (Del Grande): Coordinación motriz de los ojos. Identificación visual. Conservación de la percepción. Reconocimiento de posiciones en el espacio. Reconocimiento de relaciones espaciales. Discriminación visual. Memoria visual.

Procesos matemáticos en la enseñanza/aprendizaje de la geometría Angel Gutiérrez Dpto. de Didáctica de la Matemática Universidad de Valencia Valencia (España) angel.gutierrez@uv.es www.uv.es/Angel.Gutierrez

VISUALIZACIÓN ¿Cuántos cuadrados hay en la figura?

VISUALIZACIÓN ¿A qué lado está el hombre? ¿Y la mujer?

VISUALIZACIÓN ¿A qué lado de la mujer está el hombre?

VISUALIZACIÓN ¿Cuánto módulos iguales hay?