De Morgan Probabilidad. Boole Bayes Laplace Kolmogorov

Sistema completo de sucesos: A1, A2, A3, …,An constituyen un sistema completo de sucesos si: A1U A2U A3U …UAn = E Ej: Sucesos al tirar un dado, A1=pares, A2=impares A1, A2, A3, …,An son incompatibles dos a dos. Pares e impares no comparten valores.

Frecuencia relativa de un suceso A: nA número de veces que se repite A Si A y B son incompatibles Ej: El número de veces que sale un par o un impar/El nº de tiradas=1 El número de veces que no sale un par ni un impar/El nº de tiradas=0 0 ≤ El número de veces que sale un par/El nº de tiradas ≤ 1 El nº de veces que sale un par o un impar/El nº de tiradas = El nº de pares/El nº de tiradas + El nº de impares/El nº de tirada

Probabilidad - Ley de los grandes números Ej: Tiremos una monedas muchísimas veces y apuntamos el nº de caras  nº de caras/nº tiradas totales Regla de Laplace (si el espacio muestral es equiprobable) Ej: P(Cara)=1/2 Definición Axiomática, ley que asocia a cada suceso A un un número real P(A) tal que: Si A y B son incompatibles

Consecuencia de los axiomas: ya que: Ej: P(6 en dado) =1-P(1,2,3,4,5 en dado); P(cara)=1-P(cruz) Ej: P(distinto de 1,2,3,4,5,6 en dado) =1-P(1,2,3,4,5,6 en dado)=0; P(distinto de cara o cruz)=1-P(cara o cruz)=0 Si los sucesos son compatibles Ej: P(múltiplo de 3 o par en dado) =P(múltiplo de 3) + probabilidad (par)-P(múltiplo de 3 y par a la vez) 2/6+3/6-1/6=4/6=2/3 = P(2,3,4,6 en dado) Si intervienen más sucesos compatibles:

Probabilidad condicionada Cuando un suceso esta condicionado por otro. Ej. Probabilidad que de las chicas de la clase, obtengamos una al azar que tenga gafas, es decir, tener gafas condicionada a ser chica. Suelen ser útiles las tablas de contingencia A: Con gafas AC: Sin gafas B: Chicas 4 8 12 BC:Chicos 6 9 15 10 17 27

Álgebra de Boole Las operaciones con sucesos verifican las mismas propiedades que las operaciones con conjuntos: Asociativa: (A U B) U C = A U (B U C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Conmutativa: A U B = B U A A ∩ B=B ∩ A Distributiva: A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) Idempotencia: A U A = A A ∩ A= A Simplificativa( Absorción): A ∩ (B U A) = A A U (B ∩ A) = A Leyes de Morgan: (A U B)C =AC ∩ BC (A ∩ B)C =AC U BC

Dos sucesos A y B son independientes si  Dos sucesos A y B son dependientes si Ej. Urna con 15 bolas blancas y 20 negras. ¿Prob. de que ambas bolas sean blancas?

Ejercicios 1.- De una baraja española extraemos una carta. Obtén los elementos que forman los siguientes sucesos. a) Extraer una carta del palo de bastos. b) Extraer una figura de oros. c) Extraer un 5 o una carta del palo de copas. d) Extraer un as. e) ¿Cuántos elementos tiene el espacio de sucesos de este experimento? 2.- En la tabla se recoge el número de veces que ha ocurrido el suceso I = obtener impar al lanzar un dado numerado del 1 al 6 un número creciente de veces. Estima un valor para la probabilidad de I y razona si el dado está equilibrado.

3.- Se considera el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos de las caras superiores. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos. a) Obtener suma igual a 3. b) Obtener suma mayor que 9. c) Obtener suma menor o igual que 5. 4.- Sean A, B y C tres sucesos que forman un sistema completo de sucesos, y donde P(A) = 0,1, P(Bc) = 0,7. Calcula P(C). 5.- Se extrae una carta de una baraja española. Consideramos los siguientes sucesos: A = salir una figura, B= “salir un as”, C = salir una carta del palo de espadas a) ¿Son A y B incompatibles? Calcula P(A∪B). b) ¿Son A y C compatibles? Calcula P(A ∪C). 6.- En un experimento aleatorio se sabe que P(A) = 0,5, P(B) = 0,7 y P(A∪B) = 0,85. Calcula: a) P(A∩B) b) P(B/A) c) P(A/B) d) P(A/(A∩B))

7.- (PAU) El 60% de los alumnos de un centro aprobaron Filosofía, y el 70% aprobaron Matemáticas. Además, el porcentaje de alumnos que aprobaron Filosofía habiendo aprobado Matemáticas es del 80%. Si Juan sabe que ha aprobado Filosofía, ¿qué probabilidad tiene de haber aprobado también Matemáticas? 8.- Se extraen dos cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de que sean dos figuras (sota, caballo o rey) en los siguientes casos: a) Con devolución. b) Sin devolución. 9.- Se lanza dos veces una moneda equilibrada. Se llama A al suceso “salir cara en el primer lanzamiento B, al suceso salir cara en el segundo lanzamiento y C, al suceso “en total aparecen una cara y una cruz”. ¿Son A, B y C independientes dos a dos? ¿Son independientes los tres sucesos? 10.- En un pueblo se somete a sus vecinos a votación sobre la instalación de una antena de telefonía. Los resultados vienen recogidos en la siguiente tabla: Seleccionamos al azar un vecino. Halla P(A), P(A/B), P(Bc) y P(Bc/A).

 Su espacio muestral será el espacio muestral compuesto. Experimentos compuestos son los que están formados por varios experimentos simples.  Su espacio muestral será el espacio muestral compuesto. Ej. un experimento formado por el lanzamiento de una moneda(C,X) y un dado cúbico (1-6). ¿Probabilidad de obtener cara y salir cuatro?  Diagrama de árbol

En general la probabilidad de la intersección de sucesos independientes: Ej. Dado (1-6) y urna con 3 bolas rojas y 2 azules: a) 4 y bola roja b) número par y bola azul

En general la probabilidad de la intersección de sucesos dependientes: Ej. Urna con 6 bolas azules y 4 naranjas. ¿Prob. De extraer tres naranjas sin devolución?

Teorema de la Probabilidad Total: Ej. Tenemos dos bolsas de caramelos. La primera contiene 15 caramelos de naranja y 10 de limón, y la segunda, 20 de naranja y 25 de limón. Elegimos una de las bolsas al azar y extraemos un caramelo. Halla la probabilidad de que el caramelo sea de naranja. En general: Sean A1,A2,…,A3 un sistema completo de sucesos con probabilidades distintas de cero, y B un suceso para el que se conocen P(B/Ai)  Probabilidad de salir de la primera bolsa · Probabilidad de ser naranja condicionada a salir de la primera bolsa + Probabilidad de salir de la segunda bolsa · Probabilidad de ser naranja condicionada a salir de la segunda bolsa

Teorema de Bayes Sean A1,A2,…,A3 un sistema completo de sucesos con probabilidades distintas de cero, y B un suceso para el que se conocen P(B/Ai)  Si seguimos con el ejemplo anterior: Si el caramelo elegido es de limón, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido extraído de la segunda bolsa?

Ejercicios 1.- Las máquinas A y B producen 50 y 250 piezas por hora, con un porcentaje de fallos del 1% y del 10%, respectivamente. Tenemos mezcladas las piezas que se han fabricado en una hora y elegimos una al azar. Halla la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina B y no sea defectuosa. 2.- La ciudad A tiene el triple de habitantes que la ciudad B, pero la proporción de universitarios en la ciudad B es el doble que en la A. a) ¿En qué ciudad hay más universitarios? b) Se elige un habitante al azar. Averigua la probabilidad de que sea universitario, sabiendo que la proporción de estos en la ciudad A es del 10%. 3.- Una fábrica dispone de tres máquinas A, B y C que fabrican arandelas. Se sabe que la máquina A produce un 1% de arandelas defectuosas; la B, un 3%, y la C, un 2%. La máquina A produce el 25% del total de las arandelas; la B, el 40%, y la C, el 35% restante. Al cabo de un día se toma una arandela al azar de la producción total. Si la arandela elegida es defectuosa, calcula la probabilidad de que haya sido fabricada en la máquina A.