TEORIA FUNDAMENTAL DE PROBABILIDADES PEDRO GODOY G PROFESOR DE MATEMATICA

AZAR En nuestras conversaciones, juegos, cuentos y canciones infantiles, prensa y literatura encontramos con frecuencia referencias al azar. Por ejemplo, los niños usan canciones como “Pito –pito” para echar a suertes en el escondite o en el rescate, organizan sorteos, etc. Si buscamos la palabra aleatorio en el Diccionario : "Incierto. Se dice de lo que depende de la suerte o del azar", siendo el azar la "supuesta causa de los sucesos no debidos a una necesidad natural ni a una intervención intencionada humana ni divina". Company Logo

Esta definición nos remite al juego de dados, un ejemplo típico de lo que todo el mundo acepta como fenómenos aleatorios, donde una característica es el carácter imprevisible del resultado. Hay muchas otras palabras relacionadas con “azar” y “aleatorio”: casual, accidental, eventual, fortuito, impensado, imprevisible, inesperado ocasional, .... Esta variedad de expresiones indica que los fenómenos aleatorios son cercanos a nuestra experiencia y que incluso los niños son capaces de observar el carácter imprevisible de estos fenómenos.

El azar en la realidad Al tratar de buscar ejemplos de fenómenos aleatorios encontramos cuatro grandes campos de aplicación de la estadística relacionados con el hombre: el mundo biológico, físico, social y político. Nuestro mundo biológico Dentro del campo biológico, vemos que muchas características heredadas en el nacimiento no se pueden prever de antemano: el sexo, color de pelo, peso al nacer, etc. El mundo físico La duración, intensidad, extensión de las lluvias, tormentas o granizos; las temperaturas máximas y mínimas, la intensidad y dirección del viento son variables aleatorias.

El mundo social El número de hijos de la familia, la edad de los padres al contraer matrimonio, el tipo de trabajo, las creencias o aficiones de los miembros varían de una familia a otra. El mundo político El Gobierno, a cualquier nivel, local, nacional o de organismos internacionales, necesita tomar múltiples decisiones que dependen de fenómenos inciertos y sobre los cuales necesita información.

ELEMENTOS BÁSICOS DE CONJUNTOS Colección de elementos. Un espacio muestral de hecho es un conjunto, por lo que cada uno de sus elementos serán los posibles sucesos que pueden ocurrir 1 2 3 4 5 6

ELEMENTOS BÁSICOS DE CONJUNTOS Operaciones que se pueden realizar entre conjuntos y su relación con las probabilidades Unión Intersección Complemento Unión : Juntar un conjunto con otro Intersección : Determinar los elementos comunes entre dos conjuntos Complemento : Todo los elementos que están fuera de un conjunto

ELEMENTOS BÁSICOS DE CONJUNTOS

ELEMENTOS BÁSICOS DE CONJUNTOS

ELEMENTOS BÁSICOS DE CONJUNTOS INTERSECCION: Es conjunto formado por los eventos que están en ambos conjuntos. Se anota como

Espacio Muestral y Eventos Experimentos Aleatorios y Espacios Muestrales Un experimento es una observación de un fenómeno que ocurre en la naturaleza. Hay dos tipos de experimentos: Experimentos deterministas Experimentos aleatorios

Espacio Muestral. Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. . A continuación daremos los espacios muestrales de cada uno de los experimentos anteriores. S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} S2 = {CC,CS, SC, SS} S3 = {Ana, Sandra, María} S4 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 .... }

A continuación algunos ejemplos Experimentos Aleatorios: Son aquellos en donde no se puede anticipar de antemano el resultado que ocurrirá, pero si se tiene una completa idea acerca de todos los resultados posibles del experimento cuando este es ejecutado. A continuación algunos ejemplos

Exp 1: Lanzar un dado y anotar el número que aparece en la cara superior. Exp 2: Lanzar un par de monedas y anotar el resultado que aparece en cada una de ellas. Exp 3: Lanzar el ramo de flores en un matrimonio, y que una de mis tres amigas la tome Exp 4: Ver un partido de futbol y acertar en el numero de goles que marcar tu equipo favorito.

EVENTO ( O SUCESO) Un Evento. es un resultado particular de un experimento aleatorio. En términos de conjuntos, un evento es un subconjunto del espacio muestral. Por lo general se le representa por las primeras letras del alfabeto.

Ejemplos A: Que salga un número par al lanzar un dado A= { 2, 4, 6} B: Que salga por lo menos UNA CARA B={CC, CS, SC}

Suceso es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio. Distinguimos entre sucesos elementales, cuando no pueden descomponerse en otros más simples y suceso compuestos cuando se componen de dos o más sucesos elementales por medio de operaciones lógicas como la conjunción, disyunción o negación.

La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento. Cálculo de probabilidades La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado suceso cuando se realiza un experimento aleatorio. La probabilidad toma valores entre 0 y 1 que en tanto por ciento significa entre 0% y 100%. Regla de Laplace: La probabilidad de que se cumpla un suceso está determinado por el cuociente entre los casos favorables y los casos posibles. www.themegallery.com Company Logo

Ejemplos: a) Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 3. Tenemos sólo un caso favorable, que salga el tres; mientras que los casos posibles son seis, que corresponden a los números del dado. Por lo tanto: P(A) = 1/6 = 0,166 = 16,6% De otra forma podemos decir que corresponde a Osea

b) Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número primo. c) Determinar la probabilidad que un bebe nazca varón d) Determinar la probabilidad que al lanzar una moneda esta sea cara e) Determinar la probabilidad que al sacar una carta de un naipe español esta sea un rey.

Si A y B son sucesos separados entonces P( A o B) = P(A) + P(B) Tipos de sucesos Sucesos separados Si A y B son sucesos separados entonces P( A o B) = P(A) + P(B) Son aquellos sucesos que dada la ocurrencia de uno impide la ocurrencia del otro. www.themegallery.com Company Logo

c) p( sea roja o amarilla) = p(roja) + p(amarilla) = De una urna que contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes se extrae una al azar. Calcula las siguientes probabilidades: a) Que sea una bola roja. b) Que sea una bola verde. c) Que sea un bola roja o amarilla d) Que sea amarilla o verde. a) p( sea roja) = b) p(sea verde) = c) p( sea roja o amarilla) = p(roja) + p(amarilla) = d) p(amarilla o verde) =

Lanzamos un dado al aire y calculamos la probabilidad que salga número par, y que el resultado sea mayor que 3. A={ que salga par} B= {que salga mayor que 3} A={2,4,6} B={4,5,6} Company Logo

Sucesos independientes Son aquellos sucesos donde uno no influye en la ocurrencia del otro. Ejemplo : lanzar dos monedas Si A y B son independientes, P(A y B) = P(A)  P(B) www.themegallery.com Company Logo

Supongamos, se extrae una carta, se observa, se saca Se tiene una baraja de naipe español ( 40 cartas ). Calcula la probabilidad de al extraer 4 cartas todas sean sietes. Supongamos, se extrae una carta, se observa, se saca la otra, y así sucesivamente, durante 4 veces. En cada Extracción, la carta sacada no regresa al mazo. P( 1° carta sea 7) = 4/ 40 P( 2° carta sea 7) = 3 /39 P(3° carta sea 7) = 2/ 38 P( 4° carta sea 7) = 1/37

¿Cuál es la probabilidad que al sacar tres cartas de un naipe español, las tres tengan números distintos? www.themegallery.com Company Logo

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Se tiene una baraja de naipes de 52 cartas de la cual se extraen 3 cartas al azar. Calcula : Sin reposición a.1) La probabilidad de que las 3 cartas sean de la misma pinta P( 3 son distintas) = P(elegir una carta) x P(igual pinta) x P(igual pinta) = La primera carta tiene prob 52/ 52 Ya sacamos una carta, quedan 12 de 51 Ya sacamos 2 quedan 11 de 50

a.2) La probabilidad de que las 3 cartas sean figuras a.3) La probabilidad de que salgan 2 reyes y un as si el as debe siempre salir entre los reyes.

DIAGRAMA DE ÁRBOL LANZAR UNA MONEDA 3 VECES C S CCC CCS CSC CSS C S C S C S C S SCC SCS SSC SSS C S C S 3C 3 (2C Y 1S) 3 (1C Y 2S) 3S

Cualquiera de los 4 sucesos es separado ya que la ocurrencia de uno impide la ocurrencia de otro P(3 caras)= P( C y C y C ) = P( 2 caras y 1 sello)= P(CCS)+P(CSC)+P(SCC)

P( 1cara y 2 sellos)= P(CSS)+P(SCS)+P(SSC) P(3 SELLOS) =

Desarrollemos el siguiente cubo de binomio Prob de 3 caras 3 lanzamientos Prob de 2 caras y 1 sello Prob de 3 sellos Prob de 1 cara y 2 sellos

¿Cuál es la probabilidad que en 3 nacimientos nazcan 2 niños y 1 niña?

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