ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Consideremos un sistema de dos partículas de masas m1 y m0. Podemos calcular la energía potencial de este sistema especificando arbitrariamente un punto de referencia donde por convención se le da a la energía potencial, Ep, valor cero (se escoge r ¥, donde la fuerza es cero). La diferencia de energía potencial cuando el sistema se mueve desde una configuración donde las dos partículas están separadas una distancia r1 a otra donde están separadas r2, está dada por el trabajo hecho por la fuerza de la gravedad, con signo contrario, es decir,

r2 ds m1 ûr F q r m0 dr r1 La fuerza de interacción que la masa m1(supuesta en reposo y situada en el origen de coordenadas) ejerce sobre m0 está dada por la expresión F= -g m1 m0 r2 ûr

Supongamos además, que el planeta de masa m0 se mueve desde la posición inicial, especificada por r1 y medida a partir de m1 hasta la posición final determinada por r2 y que m1>>m0(m1 esta aproximadamente en reposo). Si sustituimos la expresión de la fuerza en la expresión del trabajo, donde ds representa un elemento infinitesimal de la trayectoria, tendremos que,

como ,es la componente radial de ds, resulta que ûr.ds = |ûr||ds|cosq = ds.cosq = dr

que con una energía potencial de referencia igual a cero (Ep1=0, para r1 ¥) se tiene que, -g m1 m0 r2 Ep2= Si r2 tiene cualquier valor arbitrario, r2=r, se tiene entonces para la energía potencial, Ep2=Ep, del sistema m0 m1, que -g m1 m0 r Ep= Observe que la energía potencial aumenta, se hace menos negativa, cuando r crece, es decir, que aumenta a medida que el planeta (m0) se aleja del centro de fuerza.

y para un sistema de n partículas, la energía total es Si consideramos las energías cinéticas, la energía total del sistema anterior sería, , y para un sistema de n partículas, la energía total es E= m1v12 2 m0v02 - g m1m0 r +

En el caso en que la masa de la partícula m1 sea mucho mayor que la de m0 (m1>>m0), entonces resulta que, v0>>v1, v10, y, E  m0v02 2 - g m1m0 r

Podemos generalizar utilizando m en vez de m0, v en vez de v0, y escribir la expresión de la energía total como Si la partícula se mueve en una trayectoria circular, la fuerza que actúa sobre la masa m esta dada por la fuerza centrípeta, Fc=mv2/r, e igualando, Fc a la fuerza gravitatoria, tenemos E  mv2 2 - g m1m r

Y por consiguiente, y la ecuación de la energía total, E se reduce a , indicando que la energía total es negativa, característica esta de todas las órbitas elípticas (o cerradas), es decir, E<0 cuando definimos la energía potencial 0 para una separación infinita.