PERMUTACIONES Una permutación es una forma de ordenar o arreglar la totalidad de los elementos de un conjunto. Se simboliza: Se lee permutaciones de n elementos tomados de n en n es igual n factorial.

Ej. Con los números 1,2,3,4. cuántos números diferentes de 4 cifras se pueden construir? Se pueden construir 24 números diferentes Ejercicio:¿Cuántos partidos de futbol se pueden jugar con 4 equipos de diferentes ciudades si tienen que jugar todos contra todos y además cada equipo debe jugar de local y de visitante?

PERMUTACIONES CON REPETICION Corresponden a permutaciones en las que uno ovarios elementos del grupo están repetidos. Ej. Con las letras de la palabra casa ¿cuántas palabras se pueden construir? Se observa que la letra a esta repetida 2 veces.

Ej.2 De cuántas maneras podemos distribuir 3 monedas de 50 pesos y 4 monedas de 100 pesos de tal forma que las 7 monedas queden alineadas? (permutación con repetición).

variaciones Son permutaciones con la diferencia de que se toma parte de todos los elementos dados. Se lee variación de n elementos tomados de r en r Es igual a n factorial dividido por (n-r) factorial.

Ej. ¿ Cuántos números de dos cifras se pueden construir con los números 1,2,3,4.? Con los números 1,2,3,4 se pueden hacer 12 números de dos cifras.

COMBINACIONES Las combinaciones son variaciones en las que no se tiene en cuenta el orden de colocación de los elementos Es decir que en el ejemplo anterior el elemento 23 es igual al elemento 32 y solo se cuenta una vez.

Ej.1 ¿Con las letras A,B,C,D, Cuántas combinaciones se pueden hacer si se toman las cuatro letras? Los resultados son ABCD=BACD =DBCA=CBAD. En total solo una ya que no se tiene en cuenta el orden para diferenciarlas es decir que es lo mismo ABCD que CBAD.

Ej. ¿Cuántas combinaciones se pueden hacer con las letras A,B,C,D Ej. ¿Cuántas combinaciones se pueden hacer con las letras A,B,C,D. si se toman de a dos? EJERCICIO: ¿Cuántos partidos de futbol se pueden jugar con 8 equipos si deben jugar todos contra todos?

PROBABILIDADES. Una posible definición es el resultado de dividir el NÚMERO DE EXITOS o total de casos favorables entre el NÚMERO DE CASOS POSIBLES en un experimento. Es por eso que la probabilidad es un número mayor o igual a cero y menor o igual a uno. Es CERO cuando hay imposibilidadd absoluta que el suceso ocurra, y UNO cuando hay absoluta certeza de presentación del suceso.

Ej 1: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un cuatro? Solución: Al lanzar el dado se tiene la posibilidad de que salga cualquiera de los seis números es decir: número de casos posibles = 6 Solo uno de ellos puede ser cuatro es decir número de casos favorables = 1 Entonces la probabilidad de obtener cuatro en un lanzamiento del dado es

SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dos o más eventos son mutuamente excluyentes, cuando uno de los eventos ocurra, ya no puede ocurrir ninguno de los otros. Para hallar la probabilidad en este caso se usa la regla de la adición. P(A o B) = P(A) + P(B) P(A o B) = P(A) + P(B)

Ej: ¿ Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un dos o un cuatro? SOLUCIÓN Probabilidad de que aparezca un DOS es P(A) = 1/6 Probabilidad de que aparezca un CUATRO es P(B)=1/6 P(AoB) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 Ejerc: ¿ Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado aparezca un dos o un tres o un cuatro?

SUCESOS COMPATIBLES Sucede cuando los eventos no son excluyentes La probabilidad se calcula de la siguente forma: Ej:¿ Cuál es la probabilidad de que al sacar una carta de una baraja de 40 cartas sea “as” o sea “copas””? Solución:

Probabilidad de que sea un “as” P(A) = 4/ 40 Probabilidad de que sea un “copas” P(B) = 10/ 40 Probabilidad de que sea un “as de copas” P(A o B) = 4/40 + 10/40 - 1/40 = 13/40  

SUCESOS INDEPENDIENTES Dos o más eventos son independientes entre sí, ucando la ocurrencia de un evento, no esta relacionado con la ocurrencia de los otros. Si hay tres eventos independientes A,B,C, la probabilidad de que ocurran los tres se obtiene MULTIPLICANDO las tres probabilidades. P(A y B y C) = P(A) *P(B) * P(C)

Ej. Si se tienen tres barajas de 40 cartas y se desea estraer tres cartas, una de cada baraja; ¿Cuál es la probabilidad de obtener un “as”y un “rey de oros ” y un “seis de copas” Solución: En la primera baraja se tienen 4 “ases”siendo P(A) = 4/40 En la segunda baraja se tiene un rey de oros siendo P(B) = 1/40 En la tercera baraja se tiene solo un seis de copas P(C) = 1/40 P(AyByC) = 4/40 *1/40 * 1/40 = 4/ 64.000 = 1/16.000

SUCESOS DEPENDIENTES Dos o más sucesos son dependientes, cuando la ocurrencia de uno, determina la ocurrencia de los otros en un órden determinado. Ej. De una baraja de 40 cartas, se desea extraer tres cartas en forma sucesiva sin reposición, es decir que ;la carta que se extrae no regresa a la baraja; ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera extracción aparezca un “as” y en la segunda “un rey de oros” y en la tercera un “seis de copas”?

Solución: Al extraer la primera carta “as” se tiene que la P(A)=4/40; luego, al extraer la segunda “rey de oros”, se ara sobre un total de 39 cartas, entonces la P(B) = 1/39 y para la tercera carta “seis de copas la probabilidad sera P(C) = 1/38. Entonces la probabilidad: P(AyByC)=4/40*1/39*1/38=4/ 59.280=1/14.820