Heaps
Alternativamente, Maximum. resumen Heaps Binary heaps (worst case) Binomial Heaps Fibonnacci Heaps (amortized) Insert log n 1 Minimum Delete-Min Union n Delete Decrease-Key Alternativamente, Maximum.
Binary Heap Heaps binary tree completo Min-heap ordenado. Todos los niveles estan llenos salvo el último, llenado por niveles es decir de izq. a der. Min-heap ordenado. Hijos mayores que o iguales a sus padres. Raiz = min 6 14 78 18 81 77 91 45 53 47 64 84 99 83 Height = log2 n.
Binary Heaps Heaps Use array: no necesita explicitamente punteros. Padre(i) = i/2 izq(i) = 2i der(i) = 2i + 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 78 18 81 77 91 45 53 47 64 84 99 83 parent and children formula require only simple bit twiddling operations
Binomial Tree Heaps Bk-1 B0 Bk B4 B3 not binary tree B2 B1 B0
Binomial Tree: Propiedad 1 Heaps Binomial tree Bk: #nodos = 2k. Altura(Height) = k. grado raiz = k. borrando raiz, se obtienen binomial tree Bk-1, …, B0. B1 Bk Bk+1 B2 B0 B4 B3 B2 B1 B0
Binomial Tree: Propiedad 2 Heaps Bk posee nodos de depth i. depth 0 depth 1 depth 2 depth 3 depth 4 B4
Binomial Heap Heaps Sucesión de binomial trees que satisfacen la propiedad binomial heap: Todo tree es min-heap ordenado 0 o 1 binomial tree de orden k Vuillemin, 1978. B4 B0 B1 55 45 32 30 24 23 22 50 48 31 17 44 8 29 10 6 37 3 18 sequence -> ordered
Binomial Heap: Propiedad Heaps Binomial heap de n nodos: Min key = raiz de B0, B1, …, o Bk. Contiene binomial tree Bi ssi bi = 1. donde bn…b2b1b0 es una representación binaria de n. #trees ≤ log2 n + 1 Height log2 n B4 B0 B1 55 45 32 30 24 23 22 50 48 31 17 44 8 29 10 6 37 3 18 n = 19 # trees = 3 height = 4 binario = 10011
Binomial Heap: Implementacion Heaps Cada nodo tiene 3 punteros – padre, 1st hijo, sig_hermano. Raiz en una lista simplemente enlazada – desde el más pequeño hasta el más grande. Implementacion: potencia de a 2 Heap 29 6 37 3 18 48 31 50 10 44 17 heap Padre hijo hermano 50 48 31 17 44 10 6 37 3 18 29 Binomial Heap coding with a variable number of links per node would be more painful
Binomial Heap: Implementacion Heaps coding with a variable number of links per node would be more painful
Binomial Heap: Implementacion Heaps coding with a variable number of links per node would be more painful
Binomial Heap: Implementacion Heaps coding with a variable number of links per node would be more painful
Binomial Heap: Operaciones Heaps coding with a variable number of links per node would be more painful
Binomial Heap: Union – caso especial Heaps Es fácil si todos son k- binomial trees ordenados Escoger la clave más pequeña como nueva raíz. Raíz Conectadas 6 8 29 10 44 30 23 22 48 31 17 45 32 24 50 55 H' H''
Binomial Heap: Union – caso General Heaps 6 3 18 8 29 10 44 37 30 23 22 48 31 17 15 7 12 45 32 24 50 28 33 25 + 55 41 1 + Analogia: 19 + 7 = 26 amusing to consider "multiplying" binomial heaps or other arithmetic ops. Any uses??? tiempo #trees: O(log n).
Binomial Heap: Union – Ejemplo Heaps 6 3 18 8 29 10 44 37 30 23 22 48 31 17 15 7 12 45 32 24 50 28 33 25 + 55 41
Heaps 12 18 6 3 18 8 29 10 44 37 30 23 22 48 31 17 15 7 12 45 32 24 50 28 33 25 + 55 41
Heaps 3 12 7 37 18 25 6 3 18 8 29 10 44 37 30 23 22 48 31 17 15 7 12 45 32 24 50 28 33 25 + 55 41 12 18
Heaps 3 3 12 15 7 37 7 37 18 28 33 25 25 41 6 3 18 8 29 10 44 37 30 23 22 48 31 17 15 7 12 45 32 24 50 28 33 25 + 55 41 12 18
Heaps 3 3 12 15 7 37 7 37 18 28 33 25 25 41 6 3 18 8 29 10 44 37 30 23 22 48 31 17 15 7 12 45 32 24 50 28 33 25 + 55 41 3 12 15 7 37 18 28 33 25 41
Heaps 3 3 12 15 7 37 7 37 18 28 33 25 25 41 6 3 18 8 29 10 44 37 30 23 22 48 31 17 15 7 12 45 32 24 50 28 33 25 + 55 41 6 3 12 8 29 10 44 15 7 37 18 30 23 22 48 31 17 28 33 25 45 32 24 50 41 55
Binomial Heap: Delete Min Heaps Hallar en la raíz min key de H, y borrarlo. H' hijos de la clave borrda. H Union(H', H) Cada etapa O(log n). H’ 3 6 18 8 29 10 44 37 H 30 23 22 48 31 17 45 32 24 50 55
Binomial Heap: Decrease Key Heaps Asumir que se da un puntero al nodo. Cambiar la clave. Mientras x < padre, swap. O(log N) – depth del nodo x log2 n . 3 6 18 8 29 10 44 37 Bk has height k and 2k nodes 30 23 22 48 31 17 x 32 24 50 55
Binomial Heap: Delete Heaps Decrease key de x a -. Delete min. Cada etapa O(log N).
Binomial Heap: Insert Heaps H' MakeHeap(x) H Union(H', H) O(log N) 3 6 18 x 8 29 10 44 37 30 23 22 48 31 17 H H' 45 32 24 50 55
Binomial Heap: Secuencia de Inserciones Insertando 1 item puede tomar tiempo (log n). n = .......0 1 etapa. n = ......01 2 etapa. n = .....011 3 etapa. n = ....0111 4 etapa. n = 11...111 log2 n etapas. Insertar una secuencia de n items toma tiempo O(n)! (n/2)(1) + (n/4)(2) + (n/8)(3) + … 2n 50 48 31 17 44 29 10 3 37 6 x
Resumen de Resultados Heaps Binary heaps (worst case) Binomial Heaps Fibonnacci Heaps (amortized) Insert log n 1 Minimum Delete-Min Union n Delete Decrease-Key
Fibonacci Heaps: estructura Conjunto de min-heap de trees ordenados. 7 23 30 17 35 26 46 24 H 39 41 18 52 3 44 min Algunos nodos “marcados”. set -> unordered
Fibonacci Heaps: Implementacion Cada nodo tiene 4 punteros: padre, 1st hijo, sigui & previo hermano. hermanos son punteros en forma circular, lista doubly-linked Raiz en circular, lista doubly-linked. La union es rapida. Posee punteros a min (una raiz). Rapidamente encuentra min. 7 23 30 17 35 26 46 24 H 39 41 18 52 3 44 min
Fibonacci Heaps: funcion potencial Claves cuantitativas: degree(x) = grado del nodo x. mark(x) = esta el nodo x marcado? t(H) = # trees. m(H) = # nodos marcado. (H) = t(H) + 2m(H) t(H) = ? m(H) = ? (H) = ? 5 3 11 7 23 30 17 35 26 46 24 H 39 41 18 52 3 44 min
Fibonacci Heaps: Insertar Crea un nuevo singleton tree. Agrega a la izq del puntero min. Actualiza puntero min. Actual costo = O(1). Cambio en potencial = ? 1 (H) = t(H) + 2m(H) Costo Amortizado = O(1)+1 = O(1). 21 7 23 30 17 35 26 46 24 H 39 41 18 52 3 44 min
Fibonacci Heaps: Union Concatena los heaps. Considera el puntero minimum de los dos minimos min min 23 24 17 7 3 21 H' H'' 30 26 46 18 52 41 35 39 44
Fibonacci Heaps: Union Concatena los heaps. Considera el puntero minimum de los dos minimos. Actual costo = O(1) Cambio en potencial = 0 Costo Amortizado = O(1) (H) = t(H) + 2m(H) min 23 24 17 7 3 21 H' H'' 30 26 46 18 52 41 35 39 44
Fibonacci Heaps: Delete-Min Borra el min, concatena sus hijos en una lista de raices. Consolida los trees, de manera que ninguna raíz tenga el mismo grado, y encontrando un nuevo min. 3 min 7 24 23 17 30 26 46 18 52 41 35 39 44
Fibonacci Heaps: Delete-Min Borra el min, concatena sus hijos en una lista de raices. Consolida los trees, de manera que ninguna raíz tenga el mismo grado, y encontrando un nuevo min. 1 2 3 actual min 7 24 23 17 18 52 41 39 44 30 26 46 35
Fibonacci Heaps: Delete-Min Borra el min, concatena sus hijos en una lista de raices. Consolida los trees, de manera que ninguna raíz tenga el mismo grado, y encontrando un nuevo min. 1 2 3 actual min 7 24 23 17 18 52 41 39 44 30 26 46 35
Fibonacci Heaps: Delete-Min Borra el min, concatena sus hijos en una lista de raices. Consolida los trees, de manera que ninguna raíz tenga el mismo grado, y encontrando un nuevo min. 1 2 3 min 7 24 23 17 18 52 41 39 44 30 26 46 actual 35
Fibonacci Heaps: Delete-Min Borra el min, concatena sus hijos en una lista de raices. Consolida los trees, de manera que ninguna raíz tenga el mismo grado, y encontrando un nuevo min. 1 2 3 min 7 24 23 17 18 52 41 39 44 30 26 46 actual 35 Merge 17 & 23 trees.
Fibonacci Heaps: Delete-Min Borra el min, concatena sus hijos en una lista de raices. Consolida los trees, de manera que ninguna raíz tenga el mismo grado, y encontrando un nuevo min. 1 2 3 actual min 7 24 17 18 52 41 23 39 44 30 26 46 35 Merge 17 & 7 trees.
Fibonacci Heaps: Delete-Min Borra el min, concatena sus hijos en una lista de raices. Consolida los trees, de manera que ninguna raíz tenga el mismo grado, y encontrando un nuevo min. 1 2 3 actual min 24 7 18 52 41 17 30 39 44 26 46 35 23 Merge 7 & 24 trees.
Fibonacci Heaps: Delete-Min Borra el min, concatena sus hijos en una lista de raices. Consolida los trees, de manera que ninguna raíz tenga el mismo grado, y encontrando un nuevo min. 1 2 3 actual min 7 18 52 41 24 17 30 39 44 26 46 23 35
Fibonacci Heaps: Delete-Min Borra el min, concatena sus hijos en una lista de raices. Consolida los trees, de manera que ninguna raíz tenga el mismo grado, y encontrando un nuevo min. 1 2 3 min actual 7 18 52 41 24 17 30 39 44 26 46 23 35
Fibonacci Heaps: Delete-Min Borra el min, concatena sus hijos en una lista de raices. Consolida los trees, de manera que ninguna raíz tenga el mismo grado, y encontrando un nuevo min. 1 2 3 min actual 7 18 52 41 24 17 30 39 44 26 46 23 35
Fibonacci Heaps: Delete-Min Borra el min, concatena sus hijos en una lista de raices. Consolida los trees, de manera que ninguna raíz tenga el mismo grado, y encontrando un nuevo min. 1 2 3 min actual 7 18 52 41 24 17 30 39 44 26 46 23 Merge 41 & 18 trees. 35
Fibonacci Heaps: Delete-Min Borra el min, concatena sus hijos en una lista de raices. Consolida los trees, de manera que ninguna raíz tenga el mismo grado, y encontrando un nuevo min. 1 2 3 actual min 7 52 18 24 17 30 41 39 26 46 23 44 35
Fibonacci Heaps: Decrease Key Caso 0: min-heap propiedad no alterada. Decrecer la clave. Cambiar el puntero min si es necesario. min 7 18 38 24 17 23 21 39 41 26 46 45 30 52 Decrece 46 a 45. 35 88 72
Fibonacci Heaps: Decrease Key Caso 1: padre de x no esta marcado. Decrecer la clave. Remover el link a el padre. Marcar el padre. Agregar x’s del tree a la lista de root, actualizando el puntero. min 7 18 38 24 24 17 23 21 39 41 26 45 15 30 52 Decrece 45 a 15. 35 88 72
Fibonacci Heaps: Decrease Key Caso 1: padre de x no esta marcado. Decrecer la clave. Remover el link a el padre. Marcar el padre. Agregar x’s del tree a la lista de root, actualizando el puntero. min 15 7 18 38 72 24 24 17 23 21 39 41 26 30 52 Decrece 45 a 15. 35 88
Fibonacci Heaps: Decrease Key Case 2: padre de x esta marcado. Decrece la clave. Mover el nodo a la lista de raices. Mover el padre a la lista de raices. Si el abuelo no esta marcado, entonces lo marca. Si el abuelo esta marcado, mover a la lista de raices, no marcado y repetir. min 15 7 18 38 72 24 24 17 23 21 39 41 26 30 52 Decrece 35 a 5. 35 5 88
Fibonacci Heaps: Decrease Key Case 2: padre de x esta marcado. Decrece la clave. Mover el nodo a la lista de raices. Mover el padre a la lista de raices. Si el abuelo no esta marcado, entonces lo marca. Si el abuelo esta marcado, mover a la lista de raices, no marcado y repetir. min 15 5 7 18 38 72 24 24 17 23 21 39 41 26 30 52 Decrece 35 a 5. 88
Fibonacci Heaps: Decrease Key Case 2: padre de x esta marcado. Decrece la clave. Mover el nodo a la lista de raices. Mover el padre a la lista de raices. Si el abuelo no esta marcado, entonces lo marca. Si el abuelo esta marcado, mover a la lista de raices, no marcado y repetir. min 15 5 26 7 18 38 72 88 24 24 17 23 21 39 41 Abuelo marcado 30 52 Decrece 35 a 5.
Fibonacci Heaps: Decrease Key Case 2: padre de x esta marcado. Decrece la clave. Mover el nodo a la lista de raices. Mover el padre a la lista de raices. Si el abuelo no esta marcado, entonces lo marca. Si el abuelo esta marcado, mover a la lista de raices, no marcado y repetir. min 15 5 26 24 7 18 38 72 88 17 23 21 39 41 “marcado” = nodo tiene 1 hijo que se mueve a la lista de raices. 30 52 Decrece 35 a 5.