Propiedad a ser transferida Distribución de Velocidades en Flujo Laminar Definición de flujo Si tenemos: v S Una magnitud física de carácter vectorial v Una sección S que está asociada a un vector S perpendicular a esta sección. El flujo está asociado a la cantidad de partículas N que atraviesan la sección S en el tiempo t.  = V . S = v. s . cos  siendo  una magnitud escalar Propiedad a ser transferida (tiempo) Flujo en una dada dirección =

Distribución de Velocidades en Flujo Laminar 1) BALANCE DE MATERIA Velocidad de acumulación de materia Velocidad de Entrada de materia Velocidad de Salida de materia Velocidad de Generación de materia = - +  v A [=] ML-3 LT-1 L2 [=] MT-1 2) BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Velocidad de incremento de cant.de mov. por unidad de tiempo Velocidad de entrada de Cantidad De movimiento Velocidad de salida de Cantidad De movimiento Sumatoria de fuerzas aplicadas al sistema = - +   v A) v [=] (ML-3 LT-1 L2 ) LT-1 [=] MLT-2

SIMPLIFICACIONES Flujo unidireccional Fluido Newtoniano Estado estacionario •Flujo totalmente desarrollado No hay efecto de bordes  y  constantes VOLUMEN DE CONTROL Sistema abierto que puede intercambiar masa y energía con sus alrededores.. Caudal másico  =  v A [=] MT-1 Caudal volumétrico Q = v A [=] L3T-1

“DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDAD” Distribución de Velocidades en Flujo Laminar PASOS A SEGUIR: GRAFICAR EL SISTEMA ELEGIR UN SISTEMA DE COORDENADAS ELEGIR UN ELEMENTO DE VOLUMEN PLANTEAR BALANCES DE MATERIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA UNA ENVOLTURA DE ESPESOR FINITO HACER TENDER A CERO ESTE ESPESOR PARA OBTENER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARA LA “DISTRIBUCIÓN DE DENSIDAD DE FLUJO DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO” INTRODUCIR LA CORRESPONDIENTE EXPRESIÓN NEWTONIANA PARA LA DENSIDAD DE FLUJO DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA OBTENER OTRA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARA LA “DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDAD” INTEGRANDO AMBAS ECUACIONES SE OBTIENEN LOS PERFILES DE  Y v CALCULAR LAS CONSTANTES DE INTEGRACIÓN A PARTIR DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO DE LAS ECUACIONES DE DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDAD Y DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO SE CALCULA LA VELOCIDAD MEDIA, VELOCIDAD MÁXIMA, VELOCIDAD VOLUMÉTRICA DE FLUJO, PÉRDIDA DE PRESIÓN Y FUERZAS QUE ACTUAN SOBRE LAS SUPERFICIES SÓLIDAS

Condiciones de Contorno Habituales Condición de no-deslizamiento junto a la pared: Un fluido en contacto con una pared sólida tendrá la misma velocidad que ella. vp | = V pared líquido en interfase Continuidad de la velocidad en interfase fluido-fluido: En esta interfase la velocidad es igual para ambos fluidos: vp (fluido 1) | = vp (fluido 2) | en la interfase en la interfase Simetría en interfase líquido-líquido: Como la velocidad es la misma a ambos lados del plano de simetría debe tener un mínimo o un máximo en este plano la derivada primera de la velocidad es cero en el plano de simetría:  vp     = 0  xm  en la interfase

Continuidad de los esfuerzos de corte en interfase fluido-fluido: En la interfase entre un fluido viscoso y un fluido ideal (=0) o de muy baja viscosidad, el esfuerzo debe ser igual para ambos. Como para el fluido ideal no existe esfuerzo cortante,  será cero en la interfase. En una interfase aire-agua: xz | = 0 en la interfase Si en la interfase coinciden dos fluidos viscosos, esta misma condición de contorno requiere la igualdad de  a ambos lados de la interfase xz(fluido 1) | = xz (fluido 2) | en la interfase en la interfase La velocidad y el esfuerzo de corte deben tener siempre un valor finito en todo punto en el que sea válida la solución xz =/ Vz / 8 8

Velocidad de acumulación de materia FLUJO DE UNA PELÍCULA DESCENDENTE Suposiciones: •Fluido newtoniano Flujo laminar, est. estacionario  y  del fluido son constantes No hay perturbaciones de entrada y salida 1) BALANCE DE MATERIA Velocidad de acumulación de materia Velocidad de Entrada de materia al elemento de volumen Velocidad de Salida de materia al elemento de volumen = -

 vz x y ]z=z -  vz x y ]z=z+z = Acumulación de materia = 0 (est  vz x y ]z=z -  vz x y ]z=z+z = Acumulación de materia = 0 (est.estacionario)  vz]z=z -  vz]z=z+z Dividiendo por x y z z = 0 Tomando lim para z ---> 0 y por definición de derivada:  dvz/dz = 0 Como  es constante y =/0: Flujo totalmente desarrollado => vz =/ vz (z) =>

= - + 1) BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Velocidad de incremento de cant.de mov. por unidad de tiempo Velocidad de entrada de cant.de mov. al elemento Velocidad de salida de cant.de mov. al elemento Sumatoria de fuerzas aplicadas al sistema = - + DE VOLUMEN ---> Peso FUERZAS NORMALES ---> Presión DE SUPERFICIE TANGENCIALES (CORTE) ---> 

Velocidad de entrada de CM por convección  vz x y) vz]z=z Velocidad de salida de CM por convección ( vz x y) vz ]z=z+z Fuerzas de gravedad que actúan sobre el sistema • F = m.g => (x y z)  g cos  Fuerzas de presión (entrada - salida) • F = p.S => p x y ]z=z - p x y ]z=z+z F = xzA => xz y z ]x=x Entrada de CM por transporte viscoso F = xzA => xz y z ]x=x+x Salida de CM por transporte viscoso Las direcciones de “entrada” y “salida” se toman siempre en la dirección positiva de los ejes.

Sustituyendo en el balance de CM en estado estacionario 0 =  vz x y) vz]z=z - ( vz x y) vz ]z=z+z + (x y z)  g cos  + + p x y ]z=z - p x y ]z=z+z + xz y z ]x=x - xz y z ]x=x+x Dividiendo por x y z y tomando lim para z ---> 0 { lim z --> 0  vz z ]z=z z 2  vz 2 ] p ] ] p - - + +  g cos  + z= z+z z z=z z z= z+z x=x x x= x+x}  ] ]  xz - + xz = 0 x y por definición de derivada: 2 - d  vz d p - d xz +  g cos  - = 0 dz d z d x = 0 patm es cte en la dirección z = 0 por Bce. de materia d xz =  g cos  d x

[1 - (x / )2] xz =  g x cos  Distribución de  Distribución de v integrando: xz =  g x cos  + C1 C.C. 1: para x = 0 xz = 0 -----> C1 = 0 xz =  g x cos  Distribución de  Reemplazando: xz = -  d vz / dx) d vz - g cos   = x d x - g cos    Integrando: vz = x + C2 2 C.C. 2: para x =  vz = 0 -----> C2 = ( g cos /2)2  g 2 cos  v = [1 - (x / )2] z Distribución de v  

1) Velocidad Máxima: vz,máx  g 2 cos  vz =   2) Velocidad Media: <vz> 3) Velocidad Volumétrica de Flujo : Q W   g W 3 cos  Q = vx dx dy = W  <vz> =  

 = = 4) Espesor de la película:  3  <vz> 3  Q 3  = =  g cos   g W cos  5) Componente z de la fuerza del fluido sobre la superficie: F que es el peso de todo el fluido contenido en la película

https://www.youtube.com/watch?v=l_aNdl5bucY

= - FLUJO A TRAVÉS DE UN TUBO CIRCULAR Suposiciones: Fluido newtoniano Flujo laminar, est. estacionario  y  del fluido son constantes No hay perturbaciones de entrada y salida 1) BALANCE DE MATERIA Velocidad de acumulación de materia Velocidad de Entrada de materia al elemento de volumen Velocidad de Salida de materia al elemento de volumen = -

 vz 2 r r ]z=z -  vz 2 r r ]z=z+z = Acumulación de materia = 0 (est.estacionario) Dividiendo por 2  r r z y tomando lim para V ---> 0 { } lim z --> 0  vz ] ]  vz - = 0 z z=z z z= z+z y por definición de derivada:  dvz = 0 dz => vz =/ vz (z) 2012 Ing. L.Colombo-FT-

= - + 1) BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Velocidad de incremento de cant.de mov. por unidad de tiempo Velocidad de entrada de cant.de mov. al elemento Velocidad de salida de cant.de mov. al elemento Sumatoria de fuerzas aplicadas al sistema = - + DE VOLUMEN ---> Peso FUERZAS NORMALES ---> Presión DE SUPERFICIE TANGENCIALES (CORTE) ---> 

•Velocidad de entrada de CM a través de la superfcie .anular en z=z  vz 2 r r ) vz]z=z •Velocidad de salida de CM a través de la sup.anular en z=z+z • ( vz 2 r r ) vz ]z=z+z •Fuerzas de gravedad que actúan sobre el sistema • F = m.g => (2 r r z)  g •Fuerzas de presión (entrada - salida) • F = p.A => p 2rr ]z=z - p 2rr ]z=z+z •Entrada de CM por transporte viscoso F = rzA => rz 2 r z ]r=r •Salida de CM por transporte viscoso • F = rzA => rz 2 r z ]r= r+r Las direcciones de “entrada” y “salida” se toman siempre en la dirección positiva de los ejes.

Sustituyendo en el balance de CM en estado estacionario 0 =  vz 2 r r ) vz]z=z- ( vz 2 r r ) vz ]z=z+z + (2 r r z)  g + + p 2rr ]z=z - p 2rr ]z=z+z + rz 2 r z ]r=r - rz 2 r z ]r= r+r Dividiendo por 2 r z y tomando lim para r y z ---> 0 { lim r --> 0 z --> 0  r vz z ]z=z - z 2  r vz 2 ] ] ] r p r p - + + r  g + z= z+z z z= z z z= z+z ] ] r=r r r= r+}r r  r  rz - + rz = 0 r y por definición de derivada: - d  r vz 2 (p0 - pL) r + r  g + - d (r rz) = 0 dz  z = 0 por Bce. de materia d r d (r rz) { } (p - p ) r d (r rz) ( P - P 0 L ) r = 0 L +  g = d r L d r L

( ) ) ) ) rz Distribución de  Distribución de v rz = ( P - P C1 r 0 L r + integrando: 2 L C.C. 1: para r = 0 xz =/ 8 -----> C1 = 0 P - P 0 L ( ) Distribución de  r rz = 2 L Reemplazando: rz = -  d vz / dr) P - P d vz = - ( 0 L ) r d r L vz = - ( P - P ) Integrando: 0 L L r + C 2 2 C.C. 2: para r = R vz = 0 -----> C2 = (P0 - PL)R2 / L Distribución de v

) vz,máx R2 1) Velocidad Máxima: vz,máx 2) Velocidad Media: <vz> = - ( P - P ) 0 L vz,máx R2 L 2) Velocidad Media: <vz> 3) Velocidad Volumétrica de Flujo : Q = A <vz>  (P0 - PL) R4 Q = - L Ley de Hagen-Poiseuille: Relaciona Q con las fuerzas que originan dicho flujo

4) Componente z de la fuerza del fluido que actúa sobre la superficie mojada de la tubería: Fz La Fuerza neta que actúa en el sentido de la corriente sobre el cilindro de fluido, debido a p y a g, se equilibra con la fuerza viscosa Fz que tiende a oponerse al movimiento del fluido.