FRACTALES: LA BELLEZA DE LA NATURALEZA II Jornadas de Enseñanza de las Matemáticas en Navarra Pamplona, 10 y 11 de diciembre J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

B. Mandelbrot (1967): “How long is the British coastline?” Fractales #1 B. Mandelbrot (1967): “How long is the British coastline?” J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Fractales #2 Benoit Mandelbrot Il est le principal représentant de la Géométrie Fractale. Il a montré comment les fractals apparaissent en nombreux domaines, en Mathématiques et, surtout, dans la nature. Fractal vient du latin fractus, que signifie frappé ou fracturé. J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Fractales dans la Nature #1 Cristaux de glace J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Fractals in Nature #2 Broccoli J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Fractals in Nature #3 Reals ferns J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Fractales en la Naturaleza #4 Pavo real J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Fractales en la Naturaleza #5 Ramas de árbol J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Fractales dans la Nature #6 Pierres J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Fractales dans la Nature #7 Montagnes (Bryce Canyon) J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Fractals in Nature #8 Galaxy J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Generating Fractals #1 Mandelbrot’s example J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Generando Fractales #2 Atractor extraño J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Generando Fractales #3 Estructura J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Générer des Fractales #4 Spirale J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Générer des Fractales #5 J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Générer des Fractales #6 J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Générer des Fractales #7 J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Caractéristiques des Fractales Structure qui se répète sur des échelles plus petites. Il est trop irrégulière pour être décrit par la Géométrie Euclidienne. Structure géométrique divisée en plusieurs parties, dont chacune est (approximativement) une copie réduite de tout. Les fractales sont formés par itération: La définition est récursive. J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Dimension fractale #1 Pour trouver la dimension de Hausdorff d'un set X, on trouve N(r). Regardez: Il est possible de couvrir X avec des boules de tailles différentes.   N (r) serait le nombre de boules de rayon r nécessaires pour couvrir X. Si, par exemple, N(r) change de la même manière que 1/rd, r tendant vers 0, alors X a une dimension fractale d. J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Dimensión fractal #2 Línea recta: dimensión 1. Cuadrado: dimensión 2. Cubo: dimensión 3. a) ¿Cuántas copias del cuadrado se han de juntar para hacer un cuadrado de tamaño doble? Respuesta: 4 copias. ¿Cuántas copias del cubo se han de juntar para hacer un cubo de tamaño doble? Respuesta: 8 copias. Patrón: 2d b) ¿Cuántas copias del cuadrado se han de juntar para hacer un cuadrado de tamaño triple? Respuesta: 9 copias. ¿Cuántas copias del cubo se han de juntar para hacer un cubo de tamaño triple? Respuesta: 27 copias. Patrón: 3d J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Dimensión fractal #3 Sd=N Dimensión fractal Tenemos un objeto para el que necesitamos ensamblar N copias para construir una versión más grande con un factor de escala S. La dimensión fractal del objeto se define como el número real positivo d, que cumple: Sd=N J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Exemple: Fractal de Koch #1 J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Exemple: Fractal de Koch #2 Combien de copies de la courbe d'origine sont nécessaires pour construire une version plus grande? Réponse: 4. Quel est le facteur d'échelle à appliquer à la courbe de Koch pour obtenir le plus grand courbe immédiatement après? Réponse: 3 (La même longueur est multiplié par un facteur 1/3) Alors: 3d=4, d=log(4)/log(3)=1.26185..... J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Example: Sierpinski Triangle #1 J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Example: Sierpinski Triangle #2 Three copies of Sierpinski triangle are used (assembled) to create a larger version and this larger version is twice the size of the original one, i.e., the sides’ length of the larger triangle is twice the former one. So: 2d=3, then, d=log(3)/log(2)=1.585..... J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Conjunto de Cantor #1 J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Conjunto de Cantor #2 Tenemos dos copias de la iteración n del conjunto de Cantor para conseguir la iteración posterior. La longitud del segmento de la iteración n+1 es 1/3 de la longitud del segmento de la iteración n “que hace el mismo papel”. Así: 3d=2, entonces, d=log(2)/log(3)=0.6309..... J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Dimensions fractales #1 Atractteur de Lorenz: 2.06 Attracteur de Feigenbaum: 0.538 Set de Cantor: 0.6309 Atractteur de Julia: 1.2683 J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Dimensions fractales #2 Chou-fleur: 2.33 British coast: 1.25 3 D Set de Cantor: 1.89 Surface du cerveau: 2.79 J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Influence of Ramón y Cajal in Mandelbrot Fractals Cajal described the structures of the nervous system and Mandelbrot knew about Cajal’s pictures, recognising the self-similarity feature. J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

(xn+1 ,yn+1)=(xn2-yn2+c1 ,2xnyn+c2) One more fractal Mandelbrot fractal: Given constants c1 and c2: (x0 ,y0)=(0,0) (xn+1 ,yn+1)=(xn2-yn2+c1 ,2xnyn+c2) We choose constants K, c1 y c2 such that ||(xn,yn)|| ≤ K, n Є N. J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Programas para generar fractales Caos Pro Fractal Explorer Fractal Forge ChaoScope Ultra fractal Winfract Fractalus Fraktal Studio Fractint J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Cálculo de la dimensión fractal Múltiples programas que calculan la dimensión fractal: HarFA FracLab Fractalyse FracTop Fractal3e Vamos a utilizar un applet Java: http://www.stevec.org/fracdim/ J. Palacián y C. Martínez (UPNa)

Bibliografía Burger, E.B. and Starbird, M., The Heart of Mathematics: An Invitation to Effective Thinking, J. Wiley, 2005 Mandelbrot, B.B., The Fractal Geometry of Nature, W.H. Freeman and Co., 1982 Webpage of Chaos: http://en.wikipedia.org/wiki/Chaos Webpage of Fractals: http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal J. Palacián y C. Martínez (UPNa)