TEMA 5: PROBABILIDAD. 1. Experimentos aleatorios. 2. Sucesos. Tipos de sucesos. 2.1. Sucesos elementales. 2.2. Suceso seguro. 2.3. Suceso imposible. 3. Álgebra de sucesos. Operaciones con sucesos. 3.1. Unión de sucesos. Sucesos compatibles. 3.2. Intersección de sucesos. 3.3. Diferencia de sucesos. 3.4. Leyes de Morgan. 4. Definición de Axiomática de probabilidad. 5. Regla de LaPlace. 6. Probabilidad condicionada. 6.1. Sucesos Dependientes o Independientes. 7. Teorema de la probabilidad total. 8. Teorema de Bayes.

1. Experimentos aleatorios. El experimento aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada experiencia particular. * Ejemplo: Lanzamiento de un dado.

2. Sucesos. Tipos de sucesos. * Sucesos elementales Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5. * Suceso seguro Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral). Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.

*Suceso imposible Suceso imposible es el que no tiene ningún elemento. Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.

3. Álgebra de sucesos. Operaciones con sucesos. *Unión de sucesos. Sucesos compatibles. La unión de sucesos, A U B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B. Es decir, el suceso A U B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos. A U B se lee como "A o B".

→ Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A U B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A U B = {2, 3, 4, 6}

U *Intersección de sucesos. La intersección de sucesos, A B es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B. Es decir, el suceso A intersección B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B. A intersección B se lee como "A y B".

→ Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A intersección B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A intersección B = {6}

*Diferencia de sucesos. La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B. A − B se lee como "A menos B".

→ Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A − B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A − B = {2, 4}

*Leyes de Morgan. Las leyes de De Morgan declaran que la suma de n variables globalmente negadas (o invertidas) es igual al producto de las n variables negadas individualmente y que inversamente, el producto de n variables globalmente negadas es igual a la suma de las n variables negadas individualmente.

4. Definición de Axiomática de probabilidad. Para hacer una definición de la probabilidad, necesitamos precisar ciertas leyes o axiomas que deba cumplir una función de probabilidad. Si llamamos S al conjunto de todos los posibles sucesos asociados a un espacio muestral, definimos axiomáticamente la probabilidad como una función que asocia a cada suceso A un número real, que será su probabilidad. cumpliéndose las siguientes condiciones: 1. La probabilidad de un suceso cualquiera es positiva o nula P(A)0 : La probabilidad sólo puede tomar valores comprendidos entre 0 y 1(no puede haber sucesos cuya probabilidad de ocurrir sea del 200% ni del -5%. 2. La probabilidad del suceso seguro es 1 P()=1, es decir, el 100\%.

3. La probabilidad de la intersección de cada suceso debe ser menor o igual que la probabilidad de cada uno de los sucesos por separado, es decir : y 4. La probabilidad de la unión de sucesos debe ser mayor que la de cada uno de los sucesos por separado: * Dados dos sucesos A y B y incompatibles ( A B= Ø ), se cumple que: P(A U B)=P(A)+P(B) P(A U B)=P(A)+P(B)

EJEMPLO : En el suceso de lanzar una moneda podemos obtener los siguientes resultados : Espacio muestral. Cara Cara - Cara *Suceso A: Sale las dos veces cara *Suceso B: Sale las dos veces cruz Cara Cruz Cara - Cruz Cara Cruz - Cara Cruz Cruz Cruz - Cruz Probabilidades: P (A) = ¼ y P (B) = ¼ *Es un suceso incompatible porque A no incluye a B, ni viceversa. Por lo tanto, se cumple P(A U B)=P(A)+P(B) → P (A U B) = ¼ + ¼ = 2/4

5. Regla de LaPlace. Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es: Ejemplo: Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras. * Casos posibles: {cc, cx, xc, xx}. * Casos favorables: 1. * P (caras) : ¼

6. Probabilidad condicionada. Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E. Se llama probabilidad del suceso A condicionada al B y se representa por P(A/B) a la probabilidad del suceso A una vez ha ocurrido el B. Ejemplo: Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par. *suceso A: salir par → 3/6 *suceso B: salir 6 → 1/6

6.1. Sucesos Dependientes o Independientes. * Sucesos independientes Dos sucesos A y B son independientes si: p(A/B) = p(A) * Sucesos dependientes Dos sucesos A y B son dependientes si: p(A/B) ≠ p(A)

7. Teorema de la probabilidad total. Si los sucesos A 1, A 2 , ... , A n son: *Sucesos incompatibles 2 a 2. *Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 unión A 2 unión... unión A n = E). *Y B es otro suceso. *Resulta que: p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )

→ Ejemplo: En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él una llave para abrir el trastero. ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?

8. Teorema de Bayes. Si A 1, A 2 ,... , An son: Sucesos incompatibles 2 a 2. Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 unión A 2 unión... unión A n = E). Y B es otro suceso. Resulta que: * Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori. * Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori. * Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.

→ Ejemplo: Utilizando el ejemplo anterior de las llaves: Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?