El problema del Caballero De Meré Hagan juego El problema del Caballero De Meré El jugador Antoine Gambaud, Chevalier De Meré, planteó al filósofo y matemático francés Pascal, uno de los problemas más antiguos de la teoría de la probabilidad. Gambaud quería saber cuál de los dos casos siguientes es más probable: sacar por lo menos un 6 al tirar cuatro veces un solo dado, o sacar un 12 en 24 tiradas con dos dados. Calcular la probabilidad de cada uno de los dos casos y verificar el conocimiento empírico del noble caballero (él sabía que uno de los dos era ligeramente mas conveniente para el jugador que el otro). Rta: Al tirar 4 dados la probabilidad de que salga por lo menos un 6 es 0,52, mientras que la probabilidad de que por lo menos salga un 12 en veinticuatro tiradas de un par de dados es aproximadamente 0,49.

¡No importa que la moneda esté “cargada”! Hagan juego ¡No importa que la moneda esté “cargada”! A menudo dos partes contrarias deciden un resultado lanzando una moneda al aire. Que pasa si la moneda está cargada y las dos partes lo saben ? El matemático John Von Neumann ideó un truco que permite que los contendientes usen una moneda cargada y sin embargo se obtengan resultados limpios. Se tira dos veces la moneda. Si salen dos caras o dos cruces, se vuelve a tirar otras dos veces. Si sale cara-cruz, gana la primera parte, y si sale cruz-cara, gana la segunda. La probabilidad de ambos resultados es la misma, aún si la moneda está cargada. ¡Verifique que este procedimiento funciona !

Un problema de cumpleaños Considere un experimento que consiste en anotar la fecha de cumpleaños para cada una de N personas seleccionadas al azar. Si se ignoran los años bisiestos y se supone que hay solamente 365 distintos cumpleaños posibles, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo día?

Sufriendo el SPAM Tomando la categoría de los mensajes recibidos a los largo de tres días se tienen los siguientes datos (agosto 2006 en mi cuenta de correo): Total de mensajes al abrir la cuenta al comienzo del día: 143 Mensajes deseados : 17 ( no deseados 126) Declarados SPAM por el sistema: 49 Un mensaje deseado fue declarado SPAM.

Sufriendo el SPAM Consideremos los siguientes sucesos: A : el mensaje es no deseado B : el mensaje es declarado SPAM se pueden estimar,entonces : P(A) = 126/143  0.88 P(B) = 49/143  0.34 P(A B ) = 48/143  0.34

Sufriendo el SPAM Calcular las siguientes probabilidades: P(A B ) P(A  B’) , P(A’  B) P(B /A) sensibilidad de la detección P(B /A’) P(B’ /A) P(B/A) P(A/B) P(B’ /A’) especificidad de la detección P(A’ /B) probabilidad de falsos positivos

Detección de una enfermedad Consideremos los siguientes sucesos: A : la persona está infectada B : el test detecta la enfermedad (da positivo) Suponga P(A) = p P(B /A) = p1 sensibilidad de la detección P(B’ /A’) = p2 especificidad de la detección

Detección de una enfermedad Calcular las siguientes probabilidades: P(A B ) P(A  B’) , P(A’  B) P(B /A’) P(B’ /A) P(B/A) P(A/B) P(A’ /B) probabilidad de falsos positivos

Test Elisa para detectar HIV Detección de una enfermedad Test Elisa para detectar HIV Datos de la FDA (1991) Sensibilidad del test: 0.993 (solo el 0.7 % de las personas infectadas tienen test negativo y no se les detecta la enfermedad) especificidad del test: 0.9999 (0.1 % de las personas no infectadas tienen test positivo) Unas probabilidades de interés: P(A /B) P(A’ /B) (falsos positivos)

Test Elisa para detectar HIV Detección de una enfermedad Test Elisa para detectar HIV Datos de la FDA (1991) P(A) = 0.000025 (si el grupo no es de riesgo) Así resulta que entre 107 personas hay 250 personas infectadas y resultan 248 (0.993 x 250) para las cuáles el test da positivo y 2 para las que el test no es sensible (da negativo). De entre los 9999750 no infectados hay aproximadamente 1000 (0.0001 x 9999750) que son declarados infectados (y es un 80% de los 1248 para los que el test da positivo)