DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR CURSO “INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS” SEPTIEMBRE - NOVIEMBRE 2015 CLASE N°3 VALOR ABSOLUTO DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO MATERIAL ELABORADO POR LILIA ÁLVAREZ LÓPEZ

PRUEBA COLOCÁNDOLE VALORES A x PARA CONVENCERTE VALOR ABSOLUTO Se define el valor absoluto de x de la siguiente manera: PRUEBA COLOCÁNDOLE VALORES A x PARA CONVENCERTE Note que: |x| siempre es mayor o igual a cero para todo x (esto es|x| ≥ 0 ). El valor absoluto se puede interpretar en ℝ como la distancia desde x hasta el origen ( |x| : D(0,x) = D(x,0) ) |x - a|=|a - x|→ Distancia entre x y a.

Siendo □ = Cualquier expresión que se tenga RECOMENDACIÓN: Siendo □ = Cualquier expresión que se tenga Por ejemplo: 

Propiedades del valor absoluto   |x.y|=|x||y| 𝑥 𝑦 = |𝑥| |𝑦| y ≠ 0 𝑥+𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦 Desigualdad triangular 𝑥 < 𝑦 => |𝑥| 2 < |𝑦| 2 |𝑥+𝑦| 2 + |𝑥−𝑦| 2 =2 𝑥 2 +2 |𝑦| 2  Estas propiedades (especialmente la 1 y 2) se usarán a lo largo de los ejercicios de resolución de inecuaciones con valor absoluto. Además hay ejercicios en los cuales se pide demostrar que una expresión es equivalente a otra, donde se requiere la mayoría de estas propiedades, sin embargo esos ejercicios se dejan de tarea investigar al lector (se profundizará en MA1111, no son necesarios en Mate 0).

DESIGUALDADES QUE INCLUYEN VALOR ABSOLUTO Sea a > 0: |x| < a  - a < x < a  x > -a ^ x < a, esto es 𝑥∈ −𝑎,𝑎 (2)|x| > a  x < -a v x > a , esto es 𝑥∈ −∞,−𝑎 𝑈 𝑎,+∞ ¿De dónde salen estas expresiones? De la definición del valor absoluto También se pueden deducir fácilmente de manera gráfica, tal como se muestra a continuación: 𝑥∈ −𝑎,𝑎 𝑥∈ −∞,−𝑎 𝑈 𝑎,+∞

Ejemplo 1.- Hallar el conjunto solución de la siguiente desigualdad: 2−3𝑥 1+2𝑥 ≤4   Primero, observamos que es una desigualdad que incluye valor absoluto en todo un miembro de la misma, por lo que se recurre a la definición: 2−3𝑥 1+2𝑥 ≤4 −4≤ 2−3𝑥 1+2𝑥 ≤4 −4≤ 2−3𝑥 1+2𝑥 ^ 2−3𝑥 1+2𝑥 ≤4 Dividimos el problema en dos casos:

Caso I.- −4≤ 2−3𝑥 1+2𝑥   −4≤ 2−3𝑥 1+2𝑥 2−3𝑥 1+2𝑥 ≥−4 2−3𝑥 1+2𝑥 +4≥0 2−3𝑥+4+8𝑥 1+2𝑥 ≥0 6+5𝑥 1+2𝑥 ≥0 Puntos de separación: 6+5x = 0 => x = -6/5 = -1,2 1+2x = 0 => x = -1/2 = - 0,5 Sol I = (-∞, -6/5] U (-1/2, +∞)

Sol final = Sol I ∩ Sol II = (-∞, -6/5] U [-2/11, +∞) Caso II.- 2−3𝑥 1+2𝑥 ≤4   2−3𝑥 1+2𝑥 ≤4 2−3𝑥 1+2𝑥 −4≤0 2−3𝑥−4−8𝑥 1+2𝑥 ≤0 −2−11𝑥 1+2𝑥 ≤0 Puntos de separación: -2-11x = 0 => x = -2/11 = -0,18 1+2x = 0 => x = -1/2 = - 0,5 Sol II = (-∞, -1/2) U [-2/11, +∞) Sol final = Sol I ∩ Sol II = (-∞, -6/5] U [-2/11, +∞)

Ejemplo 2.- (Ejercicio propuesto 15) Encontrar el conjunto solución de la siguiente desigualdad. 2𝑥+4 − 𝑥−1 ≤4 Una forma equivalente de verlo es usando un método análogo al del cementerio Siguiente

El procedimiento es el mismo El procedimiento es el mismo. Se ubican los puntos de separación en la recta real y se coloca el signo del factor según sea el caso (igual hay que estar pendiente cuando se tiene –x en lugar de x). Ahora bien, el método gráfico es el mismo pero el significado final es diferente. Con el método del cementerio se observa el signo del factor para cada intervalo de estudio en la recta real. El valor absoluto indica que si lo que se encuentra adentro es positivo en un intervalo dado, la expresión queda igual sin el valor absoluto; si lo que se encuentra adentro es negativo en un intervalo dado, la expresión queda afectada por un negativo sin el valor absoluto. Así, ahora donde se tenga un signo – en el cementerio es porque en dicho intervalo hay que afectar la expresión con un negativo; análogamente si se tiene un signo +.

Sol I = Sol parcial del caso ∩ Intervalo al que pertenece x 2. Estudiamos cada uno de los intervalos en los que se divide la recta real como casos. Caso I.- 𝑥∈ −∞,−2 (Se dejan todos los intervalos abiertos y después se evalúa si los extremos forman parte de la solución o no). − 2𝑥+4 −[− 𝑥−1 ]≤4 −2𝑥−4+𝑥−1−4≤0 −𝑥−9≤0 𝑥≥−9 Sol I = Sol parcial del caso ∩ Intervalo al que pertenece x = [-9,+∞)∩(-∞,-2) = [-9,-2) ¿Por qué? Es necesario que los valores de x que resuelven la desigualdad sean aquellos que también pertenezcan al intervalo del caso en estudio

Sol II = (-∞,1/3] ∩ (-2,1) = (-2 , 1/3] Caso III.- 𝑥∈ 1,+∞ 2𝑥+4 −[− 𝑥−1 ]≤4 2𝑥+4+𝑥−1−4≤0 3𝑥−1≤0 𝑥≤1/3 Sol II = (-∞,1/3] ∩ (-2,1) = (-2 , 1/3]   Caso III.- 𝑥∈ 1,+∞ 2𝑥+4 − 𝑥−1 ≤4 2𝑥+4−𝑥+1−4≤0 𝑥+1≤0 𝑥≤−1 Sol III = (-∞,-1] ∩ (1, +∞) = ∅ Sol final = Sol I u Sol II u Sol II = [-9,-2) u (-2, 1/3] = [-9, 1/3] Se verifica que -2 está incluida en la solución sustituyendo el valor de -2 en la expresión inicial y observando que se cumple la desigualdad

Ejemplo 3.- Resolver la siguiente inecuación con valor absoluto: | 𝑥 2 +𝑥+1| 5𝑥−1 <0 Factorizamos el polinomio del numerador. Al aplicar la resolvente nos damos cuenta que las raíces del polinomio son complejas. Sin embargo, nos damos cuenta que el polinomio siempre es positivo para todo x en ℝ. Por tanto, podemos quitar simplemente las barras de valor absoluto y el ejercicio se reduce a una inecuación como las vistas anteriormente. 𝑥 2 +𝑥+1 5𝑥−1 <0

2. Pasamos a evaluar el signo del denominador que el que determina el signo de la desigualdad. 5𝑥−1<0 𝑥<1/5   Sol = (-∞, 1/5)

Ejemplo 4.- Hallar el conjunto solución de la siguiente desigualdad: 𝑥−2 −1 𝑥+1 ≥0   Recurrimos a la definición del valor absoluto: 2. Estudiamos cada uno de los intervalos en los que se divide la recta real como casos.

Caso I.- 𝑥∈ −∞,2 −(𝑥−2)−1 𝑥+1 ≥0<=> −𝑥+2−1 𝑥+1 ≥0<=> −𝑥+1 𝑥+1 ≥0

Sol final = Sol I u Sol II = (-1,1] u [3,+∞) Caso II.- 𝑥∈ 2,+∞ 𝑥−2−1 𝑥+1 ≥0<=> 𝑥−3 𝑥+1 ≥0 Sol final = Sol I u Sol II = (-1,1] u [3,+∞)

Ejemplo 5.- Resolver la siguiente desigualdad: 𝑥−6 −2𝑥 𝑥 2 +2𝑥+1 ( 𝑥 2 +2) ≥0   Factorizamos el polinomio del denominador. 𝑥−6 −2𝑥 (𝑥+1) 2 ( 𝑥 2 +2) = 𝑥−6 −2𝑥 (𝑥+1) 2 ( 𝑥 2 +2) ≥0 2. Observamos que el denominador siempre es positivo, por lo que pasamos a estudiar el signo solo del numerador. 𝑥−6 −2𝑥≥0<=> 𝑥−6 ≥2𝑥 Se quitan las barras de valor absoluto por tratarse de una expresión siempre positiva

3. Aplicamos la definición del valor absoluto. Sol final = Sol I u Sol II – {-1}= {(-∞, -6] U (-∞, 2]} – {-1} = (-∞, 2] – {-1} ¿Por qué? Anula el denominador en la expresión inicial

Ejemplo 6.- Obtener la solución de la siguiente inecuación: 𝑥+1 +2 ≤4   Observamos que lo que se encuentra dentro del valor absoluto más externo es siempre positivo, por lo que procedemos a quitar las barras. 𝑥+1 +2≤4 2. Resolvemos aplicando la definición de valor absoluto. 𝑥+1 ≤2 −2≤𝑥+1≤2 −3≤𝑥≤1 Sol = [-3,1]

¿Qué ocurre si lo que está dentro del valor absoluto más externo no es siempre positivo? Ejemplo 7.- Obtener la solución de la siguiente inecuación: 𝑥+1 −2 ≤4   No podemos asegurar como en el caso anterior que lo que se encuentra dentro del valor absoluto más externo es siempre positivo. Procedemos a usar la definición:

2. Procedemos a determinar qué intervalos representan cada desigualdad.

3. Queda el ejercicio finalmente como: Separamos en casos y resolvemos.

Sol I = {(-∞,5] ∩ [-7,+∞)} ∩ {(-∞,-3] U [1,+∞)} Caso I.- 𝑥∈{ −∞,−3 ⋃ 1,+∞ }   𝑥+1 −2≤4<=> 𝑥+1 ≤6 𝑥+1≤6 ^ 𝑥+1≥−6 𝑥≤5 𝑥≥−7 Sol I = {(-∞,5] ∩ [-7,+∞)} ∩ {(-∞,-3] U [1,+∞)} = [-7,5] ∩ {(-∞,-3] U [1,+∞)} = [-7.-3]U[1,5]

Sol final = Sol I U Sol II = [-7.-3]U[1,5]U(-3,1)= [-7.5] Caso II.- 𝑥∈(−3,1) 2− 𝑥+1 ≤4<=> 𝑥+1 ≥−2 𝑥+1≥−2 𝑉 𝑥+1≤2 𝑥≥−3 𝑥≤1 Sol II = {(-∞,1] U [-3,+∞)} ∩ (-3,1)= ℝ ∩ (-3,1) = (-3,1)   Sol final = Sol I U Sol II = [-7.-3]U[1,5]U(-3,1)= [-7.5]

Retomemos uno de los últimos ejemplos de la clase anterior. Ejemplo 8.- ¿Cuál es el conjunto solución de la siguiente inecuación? 𝑥 2 −4≤0 Usando valor absoluto: 𝑥 2 −4≤0 |𝑥| 2 ≤4 |𝑥|≤ 4 |𝑥|≤2 −2≤𝑥≤2   Sol = [-2,2]

POR HACER GRACIAS POR TU ATENCIÓN EJERCICIOS PROPUESTOS: Resuelve los ejercicios propuestos y verifica tu respuesta con la indicada al final del documento Realiza nuevamente los ejercicios resueltos en la clase por ti mismo El viernes en la tarde publicaré la resolución de los ejercicios para que compares tus respuestas SI TIENES ALGUNA PREGUNTA NO DUDES EN CONTACTARME