ESTADISTICA II Ing. Jahaziel Acosta

CONCEPTOS BASICOS La probabilidad es la posibilidad u oportunidad de que suceda un evento en particular. Las probabilidades se expresan como fracciones o como decimales entre 0 y 1. Ejemplos: 1) La posibilidad de que un individuo seleccionado aleatoriamente de la encuesta sobre la satisfacci ó n de los empleados este satisfecho con su trabajo. 2) La posibilidad de que tenga é xito un nuevo producto en el mercado.

CONCEPTOS BASICOS Un evento es uno o varios de los resultados posibles que se obtiene al hacer una cosa. Un evento que no tiene posibilidad de ocurrir ( es decir, el evento nulo) tiene una probabilidad de cero, mientras que un evento que seguramente ocurrir á ( es decir, el evento cierto) tiene una probabilidad de uno. Experimento es la actividad que produce un evento. Los eventos o sucesos se representan simb ó licamente con X,A,etc. El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.

CONCEPTOS BASICOS Existen dos tipos de eventos: eventos simples y eventos compuestos. Un evento compuesto esta formado por dos o mas eventos simples. Se dice que dos eventos compuestos son mutuamente excluyentes si uno y solo uno de ellos puede tener lugar a la vez. Experimento:Lanzar un dado Espacio Muestral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento A = N ú meros ParesA = {2, 4, 6}

PROBABILIDADES Ejemplo: Los pesos en Kg de un grupo de 12 estudiantes son los siguientes:32,46,47,50,52,53,55,56,59,60,62,63. Con respecto a los datos anteriores tenemos que: Cada un de los pesos representa una observaci ó n o un evento simple. El espacio muestral lo constituyen los 12 pesos o eventos simples. Si nos interesan los pesos mayores o iguales que 56 Kg, el resultado X56 kg constituye un evento compuesto y est á formado por los siguientes eventos simples: 56,59,60,62,63.

CONCEPTOS BASICOS Se distinguen tres enfoques o definiciones fundamentales de probabilidad. La cl á sica. La frecuencial. La personalista. ENFOQUE CLASICO Este enfoque cl á sico proviene directamente de la experiencia con los juegos de azar. Supone que el espacio muestral es infinito, la variable discreta y que los resultados son mutuamente excluyentes e igualmente posibles.

CONCEPTOS BASICOS La definici ó n cl á sica puede expresarse en los siguientes t é rminos: Esto se puede expresar diciendo que la probabilidad de que ocurra el evento A viene dada por el cociente de los casos favorables a que ocurra dicho evento A, entre los casos posibles. P(A)=casos favorables/casos posibles

PROPIEDADES BASICAS

CONCEPTOS BASICOS Espacio de sucesos o eventos, S, es el conjunto de todos los sucesos aleatorios. Si tiramos una moneda el espacio se sucesos está formado por: S= { ø, {C}, {X}, {C,X}}. Observamos que el primer elemento es el suceso imposible y el ú ltimo el suceso seguro. Si E tiene un n ú mero finito de elementos,n, de elementos el número de sucesos de E es 2 n

CONCEPTOS BASICOS Una moneda E= {C, X}. Número de sucesos = 2 2 =4 Dos monedas E= {(C,C); (C,X); (X,C); (X,X)}. Número de sucesos = 2 4 =16. Un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Número de sucesos = 2 6 = 64

PROBABILIDADES Ejemplo: Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular: 1. El espacio muestral. E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n,b); (n, n,n)} Ejercicio: 2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}. A = {(b,b,b); (n, n,n)} 3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}. B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n,b)} 4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}. C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

PROBABILIDADES Ejercicio: Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando: 1. La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. E = {BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN} 2. La primera bola no se devuelve E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV}

PROBABILIDADES Ejemplo: Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras. Casos posibles: {cc, cx, xc, xx}. Casos favorables: 1. En una baraja de 40 cartas, hallar la P (as) y P (copas). Casos posibles: 40. Casos favorables de ases: 4 Casos favorables de copas: 10.

PROBABILIDADES Ejercicio: Calcular la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga: 1 Un n ú mero par. Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Casos favorables: {2, 4, 6}. 2 Un m ú ltiplo de tres. Casos favorables: {3, 6} 3 Mayor que 4. Casos favorables: {5, 6}.

PROBABILIDADES Ejercicio: Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabiliidad de : 1. Sea roja.. 2. Sea verde. 3. Sea amarilla. 4. No sea roja. 5. No sea amarilla.

TEORIA DE CONJUNTOS: UNION La unión de sucesos, AUB, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B. Es decir, el suceso AUB se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos. AUB se lee como "A o B". Ejemplo Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par“ y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular AUB. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} AUB = {2, 3, 4, 6}

PROPIEDADES UNION DE SUCESOS Conmutativa Asociativa Idempotente Simplificación Distributiva Elemento neutro Absorción

TEORIA DE CONJUNTOS: INTERSECCION La intersección de sucesos, A∩B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.. Es decir, el suceso A∩B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B. A ∩ B se lee como "A y B". Ejemplo Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par“ y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A∩B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A ∩ B = {6}

PROPIEDADES INTERSECCION DE SUCESOS Conmutativa Asociativa Idempotente Simplificación Distributiva Elemento neutro Absorción

TEORIA DE CONJUNTOS: DIFERENCIA La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B. A − B se lee como "A menos B". Ejemplo Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par“ y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A − B. A = {2, 4, 6} B = {3, 6} A − B = {2, 4}

PROPIEDAD DIFERENCIA DE SUCESOS El suceso = E - A se llama suceso contrario o complementario de A. Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A. Ejemplo Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par". Calcular A = {2, 4, 6} = {1, 3, 5}

PROBABILIDADES Ejercicio: Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

PROBABILIDADES Ejercicios: 1. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen. 2. Sean A y B dos sucesos aleatorios con: Hallar:

PROBABILIDADES Respuestas:

PROBABILIDADES Ejercicios: 1. Calcular la probabilidad de obtener un 2 ó un 5 al lanzar un dado. 2. Calcular la probabilidad de obtener un múltiplo de 2 ó un 6 al lanzar un dado.

PREGUNTAS