Introducción Programación Matemática Objetivos: Estudio de problemas de Optimización Objetivos: Planteamiento Caracterización Resolución

Introducción Modelos matemáticos de sistemas reales Objeto: Estudio de sistemas reales en condiciones de operación atípicas Diseño de sistemas Desarrollos teóricos

Introducción Conceptos generales Objeto de un problema de optimización Encontrar alternativas mejores según un criterio determinado Alternativas Definidas mediante valores numéricos Valores a determinar: variables Todos los valores desconocidos se consideran variables Variables de decisión Variables auxiliares Valores continuos o discretos

Introducción Conceptos generales Criterio: función objetivo Expresión matemática definida como una función de las variables Pueden existir varios criterios simultáneos Condiciones sobre valores aceptables de las variables: restricciones Condiciones sobre funciones de las variables Igualdades o desigualdades Limitaciones de recursos Condiciones técnicas

Optimización - Ejemplo Optimización de producción eléctrica Descripción Central debe preparar una oferta Capacidad: 100 Costes: 45 + 0,2x Precio estimado: 60 ¿Cantidad a ofertar?

Optimización - Ejemplo Variables Energía a ofertar al mercado Función objetivo Beneficio Restricciones Capacidad de la central Generación no negativa

Formulación de problemas Ejemplos: Generar ofertas en mercados eléctricos Gestión de carteras Planificación de la producción Asignación de turnos/tripulaciones Problemas de transporte Modelos de teoría económica

Formulación de problemas Optimización de carteras Cambios en la cotización de activos

Formulación de problemas Planteamiento del problema Variable: proporción de cartera en activo, x Función objetivo: riesgo de la cartera xTR x Restricciones: rentabilidad, rTx   normalización, eTx = 1, x  0

Formulación de problemas Datos del problema: Rentabilidades medias: r = ( 1.6 4.6 6.2 5.6 0.7 -0.4 ),  = 5 Matriz de covarianzas: 26 56 28 45 21 -19 56 248 89 141 31 -15 R = 28 89 223 63 -22 -63 45 141 63 137 -22 -82 21 31 -22 -22 72 16 -19 -15 -63 -82 16 77

Formulación de problemas Preguntas a responder: ¿Es el siguiente punto una solución? x = ( 0.26 0 0.74 0 0 0 ) ( f = 134.7 ) x = ( 0.16 0 0 0.84 0 0 ) ( f = 109.3 ) x = ( 0 0 0 0.89 0 0.11 ) ( f = 93.3 ) ¿Cuál es la solución del problema? x = ( 0 0 0.32 0.55 0 0.13 ) ( f = 70.0 ) ¿Cómo identificar y calcular soluciones?

Consideraciones generales Proceso de estudio Planteamiento del problema Caracterización de soluciones Dada una alternativa, ¿es solución? Cálculo de soluciones Encontrar la mejor alternativa Estudio para diferentes tipos de problemas

Consideraciones generales Formulación para estudio del problema Problema a considerar: minx f (x ) s.a c (x )  0 Funciones f y c diferenciables

Consideraciones generales Condiciones de extremo A partir de la definición del problema: condiciones basadas en valores de f y c Ineficiente para problemas con muchas alternativas A partir de propiedades de las funciones del problema, f y c Derivadas de dichas funciones

Consideraciones generales Propiedades de funciones Simple para funciones sencillas Lineales, cuadráticas En otro caso, aproximar las funciones del problema mediante funciones sencillas Aproximaciones locales Desarrollos en serie de Taylor

Consideraciones generales Inconvenientes aproximaciones locales No detectan estructuras alejadas Soluciones locales y soluciones globales facilidad de cálculo frente a suboptimalidad solución global: mejor punto de todos solución local: mejor punto entre próximos

Consideraciones generales Caracterización de soluciones Soluciones globales f (x )  f (y ) y { z : c (z )  0 } Soluciones locales f (x )  f (y ) y { z : c (z )  0 ,  x - z  <  }

Consideraciones generales Soluciones locales y globales Mínimo global Mínimo local

Consideraciones generales ¿Cuando coinciden extremos locales y globales? Bajo hipótesis de convexidad Función objetivo convexa Región factible convexa Restricciones cóncavas Ejemplo: problemas lineales