Cálculos con distribución normal

Objetivos La distribución normal sirve para representar el comportamiento estadístico de una característica cuantitativa continua en una determinada población. Para que este modelo sea aplicable, la característica de interés debe distribuirse simétricamente alrededor de su esperanza y cumplir un conjunto de propiedades. La distribución normal se emplea en muchas situaciones de interés para representar a una variable, pero debemos recordar que no es siempre válida (p.e. en casos de características con valores muy asimétricos).

Cálculo de una probabilidad Pregunta: Disponemos de una variables aleatoria con distribución normal de parámetros m y s. ¿Cómo podemos calcular la probabilidad de que el resultado de un individuo se encuentre en un determinado rango de valores? ¿Cómo se interpretan los resultados? Situaciones de interés:

Cálculos Los cálculos con una determinada distribución se trasladan a la N(0,1) mediante una estandarización.

Cálculos Los cálculos con una determinada distribución se trasladan a la N(0,1) mediante una estandarización. Las probabilidades de la N(0,1) están tabuladas.

Tabla de la N(0,1)

Definiciones y propiedades básicas de la N(0,1) Definición de cuantil a: Cuantiles simétricos Probabilidad de puntos simétricos

Interpretación En los pacientes afectados de una determinada enfermedad, la actividad (U/ml) de un enzima se puede representar según una distribución N(5,1.2). ¿Qué proporción de pacientes tendrán actividades inferiores a 7 U/ml? ¿Qué proporción de pacientes tendrán actividades inferiores a 4 U/ml?

Probabilidad de un intervalo Expresión general (válida para cualquier distribución) Cálculo en el caso de una distribución N(m,s)

Probabilidad de un intervalo Ejemplo

Cálculo de cuantiles (percentiles) El cuantil (percentil) a es el valor x de la variable que cumple: Cálculo en el caso de una N(m,s)

Cálculo de percentiles Ejemplo: Calcular el percentil 0.8 en una N(100,5) Interpretación: Un 80% de los individuos de esta población tienen un valor de X igual o inferior a 104.2

Intervalos de referencia ¿Entre qué valores de la variable N(m,s) esperamos encontrar los resultados de un (1-a)% de los individuos?

Intervalos de referencia De acuerdo con la interpretación anterior, podemos indicar los siguientes intervalos de referencia en distribuciones normales (1-a) (1-a/2) z(1-a/2) Intervalo 0.99 0.995 2.57 m±2.57s 0.95 0.975 1.96 m±1.96s 0.90 0.950 1.64 m±1.64s

Intervalos de referencia Ejemplo La concentración de un metabolito en individuos sanos puede representarse por una N(102, 3.4). Calcula el intervalo de referencia al 95% para los valores de esta variable. Interpretación: Esperamos que un 95% de los individuos sanos presenten valores de esta variable entre 95.34 y 108.66.

Resumen