INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA NOMBRE DEL MAESTRO (A): ING. ZINATH JAVIER GERONIMO MATERIA: INVESTIGACION DE OPERACIONES II TRABAJO: UNIDAD N° 4 ¨CADENAS DE MARKOV¨ INTEGRANTES: MELVA E. PAYRO JAFRAMILLO ANEL ANDRADE CAMACHO JOSE A. ASCENCIO LOPEZ JOSE D. CASTRO VALENCIA EDUARDO FLORES SANCHEZ PABLO GOMEZ PEREZ EQUIPO N° 6 VILLAHERMOSA, TAB. 29 DE NOVIEMBRE DE 2010

PROBABILIDAD DE ESTADO ESTABLE Y TIEMPOS MEDIOS DE PRIMER PASAJE

TEOREMA 1 Sea P la matriz de transición de una cadena ergódica de s estados. Existe entonces un vector tal que Recuerda que para ij-ésimo elemento de Pn es Pn (n). El teorema 1 establece que para cualquier estado inicial i.

Según el teorema 1: para n grande y para toda i, El vector a menudo se llama distribución de estado estable, o también distribución de equilibrio para la cadena de Markov. Según el teorema 1: para n grande y para toda i, 1) Como Pij n + 1 = (renglón i de P´) (columna j de P), podemos escribir 2) Si n es grande, al sustituir la ecuación 1 en la 2 se obtiene:

En forma matricial, la ecuación 3´ se puede escribir: 3´) El sistema de ecuación que especifica la ecuación 3 tiene un numero infinito de soluciones, por que el rango de la matriz P siempre resulta ser . Para obtener valores únicos de probabilidades de estado estable, note que para toda n y toda i, 4) Al hacer que n tienda al infinito en la ecuación 4, obtenemos: 5)

EJEMPLO: DE LA COLA Suponga que toda la industria de refresco produce dos colas. Cuando una persona ha comprado la cola 1, hay una probabilidad de 90%, de que su siguiente compra sea de cola 1. si una persona compro cola 2, hay un 80% de probabilidad de su próxima compra sea de cola? Matriz de transición: Entonces las ecuaciones 3´ u 3 producen:

Al reemplazar la segunda ecuación para la condición , obtenemos el sistema: Al despejar , resulta que . Por lo tanto, después de largo tiempo, hay probabilidad de que una persona dada compre cola 1 y de probabilidad de que una persona dada compre cola 2.

ANALISIS DE ESTADO TRANSITORIO

El comportamiento de una cadena Markov antes de alcanzar el estado estable se llama comportamiento transitorio (a corto plazo). A qui solo se utilizan las formulas Pij (n) de las ecuaciones 1 y 2. Es bueno saber que para n grande, las probabilidades de estado estable describen con exactitud la probabilidad de encontrarse en un estado determinado.

INTERPRETACION INTUITIVA DE LAS PROBABILIDADES DE ESTADO ESTABLE Se puede dar una interpretación intuitiva de las ecuaciones 3 de la probabilidad de estado estable. Al restar de ambos lados de la (3) se obtiene: 6) La ecuación (6) dice que en el estado estable, Probabilidad de que una transición determinada deje el estado j = probabilidad de que una transición determinada entre al estado j En el estado estable, la probabilidad de que el sistema este en el estado j es . Según la observación se concluye: Probabilidad de que una transición particular deje el estado j =(probabilidad de que el periodo actual comience en j) X (probabilidad de que la transición actual deje j) =

Probabilidad de que determinada transición entre al estado j = (probabilidad de que el periodo actual comience en k = j) X (probabilidad de que la transición actual entre a j) Es aceptable la ecuación (6). si fuera violada para cualquier estado, entonces para un estado j el lado derecho de la ecuación (3) seria mayor que el lado izquierdo. Esto ocasionara una probabilidad de acumulación en el estado j y no existirá una distribución de estado estable.

USO DE LAS PROBABILIDADES ESTABLE PARA TOMAR DECISIONES EJEMPLO: Cada cliente hace una compra de cola durante cualquier semana (52 semana = 1 año). Suponga que hay 100 millones de clientes de cola. La producción de una unidad de venta de cola cuesta 1 dólar y se vende a 2 dólar. Una empresa de publicidad garantiza, por 500 millones de dólares al año, un decremento del 10% al 5% de la fracción de consumidores de cola 1, que se cambia a cola 2 después de una compra. ¿debe encontrar a la empresa de publicidad la compañía que fabrica la cola 1? SOLUCION: En la actualidad, una fracción de todas las compras de cola 1. cada compra de cola 1 le deja al fabricante 1 dólar. Como hay un total de 52 (100 000) = 5 200 000 000 de compras de cola cada año, las ganancias actuales del fabricante de cola 1, al año, son: 2/3 (5 200 000 000) = 3 466 666 667 dólares.

La empresa de publicidad ofrece cambiar la matriz P a : Para P1, las ecuaciones de estado estable se transforma en: Al reemplazar la segunda ecuación por , y despejar obtenemos Y . En este caso, la ganancia anual de la productora de cola 1 será: (.80)(5 200 000 000) – 500 000 000 = 3 660 000 000 dólares. - Por lo tanto, el fabricante de cola 1 debe contratar la agencia de publicidad.

TIEMPOS PROMEDIOS En una cadena ergódica, sea mij = numero esperado de transiciones antes de alcanzar por primera vez el estado j, dado que estamos actualmente en el estado i. mij, se llama tiempo promedio de primer pasaje del estado i al estado j. Suponga que estamos en el estado i, entonces la probabilidad Pij, necesitaríamos una transición para pasar del estado i al estado j. para pasamos a continuación, con probabilidad Pik al estado K. en este caso, se necesitara un promedio de 1 + mkj transacciones para pasar de i a j. en este modo de pensar indica que : Como Podemos reformular la ultima ecuación:

AL RESOLVER LAS ECUACIONES LINEALES REPRESENTADAS EN (8), PODEMOS ENCONTRAR TODOS LOS TIEMPOS PROMEDIOS DE PRIMER PASAJE. SE PUEDE DEMOSTRAR QUE : CON ELLO SE PUEDE SIMPLIFICAR EL USO DE LA ECUACIÓN (8). PARA MOSTRAR EL USO DE ELLAS, DESPEJAREMOS LOS TIEMPOS PROMEDIO DE PRIMER PASAJE AGARRANDO EL EJEMPLO DE LA COLA QUE Y QUE . ENTONCES Y ENTONCES LA ECUACIÓN (8) DA EN LAS DOS ECUACIONES SIGUIENTES: RESOLVIENDO ESAS ECUACIONES ENCONTRAMOS QUE . ESTO QUIERE DECIR QUE, POR EJEMPLO, UNA PERSONA QUE HABÍA TOMADO COLA 1 TOMARA UN PROMEDIO DE 10 BOTELLAS DE REFRESCO ANTES DE CAMBIAR A COLA 2.

BIBLIOGRAFIA INVESTIGACION DE OPERACIONES Y APLICACIONES AUTOR: WAYNE L. WINSTON GRUPO EDITORIAL IBEROAMERICANO

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