Leyes de la Probabilidad Luis Solórzano EFPEM/USAC Agosto 2016

PROBABILIDAD Operaciones Básicas con Eventos Aleatorios Ya que los eventos aleatorios son subconjuntos del conjunto S, espacio muestral, se pueden aplicar las conocidas operaciones con conjuntos, a los eventos, como son la unión, la intersección y la diferencia de eventos.

OPERACIÓNEXPRESIONDESCRIPCION UNION A  B Unión de eventos originales: es el evento que sucede si y solo si A sucede o B sucede o ambos suceden. INTERSECCION A  B Intersección de los eventos originales, es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente. DIFERENCIA A - BLa diferencia de los eventos originales A y B, es el evento que sucede solo en A pero no en B.

Gráficamente estas operaciones se pueden representar a través de los diagramas de Venn. Sea S el espacio muestral y A y B eventos tal que A, B  S gráficamente se puede expresar como: S A B Los eventos A y B no tienen elementos del espacio muestral en común.

PROBABILIDAD Los eventos A y B tienen elementos del espacio muestral en común. S

De acuerdo a lo indicado en las figuras anteriores, la unión de dos eventos se presenta de dos formas diferentes: cuando los eventos son mutuamente excluyentes (que no pueden suceder simultáneamente, o que no tienen elementos en común) y cuando entre los eventos hay elementos comunes (no mutuamente excluyentes).

Ejemplo: Experimento: Se lanza un dado. Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de interés: S = { 1,2,3,4,5,6 }, N(S) = 6 Sean A, B, C los eventos: A :Que caiga un número impar: A= { 1, 3, 5 }, N(A) = 3 B: Que caiga un número mayor de 2 y menor que 5: B = { 3, 4 }, N(B) = 2 C: Que caiga un número par: C = { 2, 4, 6 }, N(C) = 3

1.A  B = {1,3,5}  {3,4} = {1,3,4,5}, N(A  B) = 4 2.A  C = {1,3,5}  {2,4,6}={1,2,3,4,5,6}=S, N(A  C) = N(S) = 6 S ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número impar o salga un número mayor que dos, pero menor que cinco? ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número impar o salga un número par?

1.B  C = {3,4 }  {2,4,6 } = {2,3,4,6}, N(B  C) = 4 2.A  B  C = {1,3,5 }  {3,4}  {2,4,6} = {1,2,3,4,5,6}=S, N(A  B  C) = 6 S ¿Cuál es la probabilidad de salga un número mayor que dos, pero menor que cinco o que salga un número par? ¿Cuál es la probabilidad de salga un número impar o que salga un número mayor que dos, pero menor que cinco o que salga un número par o?

1.A  B={ 1, 3, 5 }  { 3, 4 } = {3}, N(A  B) = 1 2.A  C={ 1, 3, 5 }  { 2,4,6 } = , N(A  C) = N(  ) = 0 3.B  C={ 3, 4 }  { 2, 4, 6 } = {4}, N(B  C) = 1 4.(A  B)  C= {3}  { 2,4,6 }= , N((A  B)  C) = N(  ) = 0 5.A  (B  C) ={1,3,5}  { 4 }= , N(A  (B  C)) = N(  ) = 0 S

1.A – B = {1,3,5} - {3,4} = {1,5}, N(A – B) = 2 2.A – C = {1,3,5} - {2,4,6} = { 1,3,5 } = A, N( A – C) = N(A) = 3 3.B – C = {3,4} - {2,4,6} = {3}, N(B-C) = 1 S

A c = {2,4,6} = C N(A c ) = N( C )= 3 B c = {1,2,5,6} N(B c ) = 4 C c = {1,3,5} = A N(C c ) = N(A) = 3 S

Leyes De La Probabilidad Las relaciones que se dan entre los eventos, al ser aplicadas las operaciones que se presentaron, se facilitan y comprenden mejor haciendo uso de los axiomas y teoremas de probabilidad (Leyes de Probabilidad). Axioma.- es una proposición que no requiere demostración. Teorema.- Es una proposición que requiere ser demostrada.

Axioma 1.- Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento, tal que A  S, entonces se cumple que 0  P(A)  1 esto significa que la probabilidad de cualquier evento no puede ser más grande que uno, ni ser menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento seguro, y cuando es cero se llama evento imposible.

Axioma 2.- La probabilidad del espacio muestral S es un evento seguro, es decir, es uno P(S) = 1 Ejemplo.- Experimento.- Se lanza un dado A: Sale 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 Como A = S, es decir el evento A coincide o es igual al espacio muestral, entonces.

Teorema 1.- Si  es el conjunto vacío, entonces la probabilidad de  es igual a 0. (el evento  es el evento imposible) Ejemplos: Una persona que quiere ganar la lotería nacional, pero no compra boleto. Que aparezca un siete al lanzar un dado Que una persona viva 1000 años En estos casos los eventos son vacíos porque son imposibles.

Axioma 3.- Sea S un espacio muestral cualquiera y sean A y B dos eventos tales que A  S, B  S y A  B = , es decir, dos eventos mutuamente excluyentes, entonces P(A  B) = P(A) + P(B). A  B A B

Axioma 4.- Sean A 1, A 2, A 3, A 4,..., A n eventos mutuamente excluyentes: P(A 1  A 2  A 3  A 4,...  A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) + P(A 4 ) P(An) Este axioma dice que la probabilidad de varios eventos mutuamente excluyentes (que no tienen elementos en común), es igual a la suma de sus probabilidades.

Ejemplo: Experimento: Se lanza un dado Sean Evento A: que al lanzar un dado salga el 2 o el 4 Evento B: que al lanzar un dado salga un número mayor a 4 Evento C: que salga el 1 o 3 Los elementos de A, B y C son A = {2, 4}, N(A) = 2 B = {5, 6}, N(B) = 2 C = {1, 3}, N(C) = 2

Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya que A  B = , A  C = , B  C =  Por axioma 4 P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C)

PROBABILIDAD Teorema 2.-(Ley Aditiva de la Probabilildad). Sean A y B dos eventos no excluyentes, A  B  , entonces P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)

Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces para 3 eventos seria: Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces para 2 eventos seria:

Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces para n eventos seria:

Ejemplo: Experimento.- Se lanza un dado y una moneda Eventos A: Al lanzar un dado y una moneda aparecen el número 2 o 3 con escudo: B: Al lanzar un dado y una moneda aparecen números pares con escudo. S = {1c,2c,3c,4c,5c,6c,1e,2e,3e,4e,5e,6e}, N(S) = 12 A = { 2e, 3e }, N(A) = 2 B = { 2e, 4e, 6e } N(B) = 3 A  B = { 2e }, N(A  B) =1, P(A  B) = P(A)+P(B)-P(A  B) = 2/12+3/1 –1/12 = 4/12 = 1/3

Teorema 3.- Sea A un evento cualquiera y S un espacio muestral, tal que A  S, si A c es el complemento del evento A, entonces la probabilidad de A c es igual a 1 menos la probabilidad de A, es decir

Ejemplo. Experimento.- Se lanza un dado y una moneda Eventos A: Al lanzar un dado y una moneda aparecen el número 2 o 3 con escudo: B: Al lanzar un dado y una moneda aparecen números pares con escudo. S = {1c,2c,3c,4c,5c,6c,1e,2e,3e,4e,5e,6e}, N(S) = 12 A = { 2e, 3e }, N(A) = 2. B = { 2e, 4e, 6e } N(B) = 3 A c = {1e,4e,5e,6e,1a,2a,3a,4a,5a,6a } P(A c ) = 1 – P(A) = 1 – 2/12 = 10/12=5/6 B c = {1e,3e,5e,1a,2a,3a,4a,5a,6a } P(B c ) = 1 – P(B) = 1 – 3/12 = 9/12=3/4

Los puntajes de una evaluación integral en un cierto país están divididos en puntaje de lenguaje y de matemáticas, de los cuales ambos promedian alrededor de 500 año tras año. En la tabla siguiente se muestran los conteos de frecuencias de 102 colegios para los puntajes de lenguaje y de matemática que promediaron más de 500 y menos de 500 en un cierto año: 500 o menosMás de 500Total Lenguaje Matemáticas Totales Sean A el evento de que un colegio, elegido aleatoriamente, “tenga un puntaje promedio superior a 500” y B el evento “puntaje de matemática”, encuentre: P(A), P(B), P(A y B), P(A o B), P(no {A o B}) ¿Los Eventos A y B son mutuamente excluyentes?

Ejemplo. Un inspector de bombas tiene la tarea de comparar la confiabilidad de dos estaciones de bombeo. Cada estación es susceptible de dos tipos de falla: a) descompostura en el bombeo y b) fugas. Cuando ocurre una de las dos (o ambas), la estación debe parar. Los datos disponibles indican que prevalecen las siguientes probabilidades: ¿Qué estación tiene mayor probabilidad de parar?

Un empleado debe introducir información de productos en la computadora. El empleado puede usar una pluma de luz que trasmite la información a la PC junto con el teclado para dar los comandos, o puede llenar los círculos en una hoja y colocarla en el lector óptico de la computadora mainframe (grande). Se conocen las siguientes probabilidades históricas: P(falla con pluma de luz) = 0.025, P(falla con teclado) = 0.15 P(falla con pluma de luz y teclado) = P(falla con computadora grande) = 0.25 Los datos pueden introducirse en la PC sólo si funcionan tanto la pluma de luz como el teclado. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado pueda usar la PC para introducir los datos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que falle la PC o la computadora mainframe? Suponga que no pueden fallar al mismo tiempo.