21.- Usa el hecho de que 10 = 9 + 1 para desarrollar un método rápido para comprobar el resto de cualquier número módulo 9. Un número en base 10 se escribe como: n = an….a0 = a0 + 10a1 +….+ 10nan Hallar el resto al dividir por 9 es lo mismo que pasar a Z9. n = an….a0 = a0 + 10a1 +….+ 10nan = a0 + 1a1 +….+ 1nan = a0 + a1 +….+ an Es decir, el resto de dividir un número por 9 es igual al resto de la suma de sus cifras.

22.- Aplica el método del ejercicio anterior para ver cuál de las siguientes operaciones está mal. 5783·40162 = 233256846 Pasamos a Z9 5783 = 5 + 7 + 8 + 3 = 23 = 2 + 3 = 5 40162 = 4 + 0 + 6 + 1 + 2 = 13 = 1 + 3 = 4 233256846 = 2 + 3 + 3 + 3 + 2 + 5 + 6 + 8 + 4 + 6 = 42 = 4 + 2 = 6 En Z9 5·4 = 20 = 2 + 0 = 2 ≠ 6 Luego la cuenta está mal.

22.- Aplica el método del ejercicio anterior para ver cuál de las siguientes operaciones está mal. 9787·1258 = 12342046 Pasamos a Z9 9787 = 9 + 7 + 8 + 7 = 31 = 3 + 1 = 4 1258 = 1 + 2 + 5 + 8 = 16 = 1 + 6 = 7 12342046 = 1 + 2 + 3 + 4 + 2 + 0 + 4 + 6 = 22 = 2 + 2 = 4 En Z9 4·7 = 28 = 2 + 8 = 10 = 1 + 0 = 1 ≠ 4 Luego la cuenta está mal.

22.- Aplica el método del ejercicio anterior para ver cuál de las siguientes operaciones está mal. 8901·5743 = 52018443 Pasamos a Z9 8901 = 8 + 9 + 0 + 1 = 18 = 1 + 8 = 9 = 0 5743 = 5 + 7 + 4 + 3 = 19 = 1 + 9 = 10 = 1 52018443 = 5 + 2 + 0 + 1 + 8 + 4 + 4 + 3 = 27 = 2 + 7 = 9 = 0 En Z9 0·1 = 0 Luego la cuenta seguramente está bien.

23.- Usa el hecho de que 1001 = 7·11·13 para desarrollar un método rápido para comprobar la divisibilidad por 7, 11 ó 13. Un número en base 10 se escribe como: n = an….a0 = a0a1a2 + (a3a4a5)·1000 + (a6a7a8)·10002 +….. Teniendo en cuenta que 1000 = -1 en Z7, Z11 y Z13 n será divisible por 7, 11 ó 13 exactamente cuando lo sea: a0a1a2 - a3a4a5 + a6a7a8 -…….

24.- Resuelve el sistema de congruencias. x ≡ 2 (mod 9) x ≡ 3 (mod 7) x ≡ 1 (mod 4) x ≡ -1 (mod 5) Paso 1.- Calculamos los q’s q1 = 7·4·5 = 140 q2 = 9·4·5 = 180 q3 = 9·7·5 = 315 q4 = 9·7·4 = 252

24.- Resuelve el sistema de congruencias. Paso 2.- Calculamos los h’s h1 = 140-1 = 5-1 en Z9, luego h1 = 2 h2 = 180-1 = 5-1 en Z7, luego h2 = 3 h3 = 315-1 = 3-1 en Z4, luego h3 = 3 h4 = 252-1 = 2-1 en Z5, luego h4 = 3 Paso 3.- Calculamos la solución x = 2·140·2 + 3 ·180·3 + 1 ·315·3 + (-1) ·252·3 + k·9·7·4·5

25.- Resuelve el sistema de congruencias. x ≡ 2 (mod 5) 2x ≡ 1 (mod 7) 3x ≡ 4 (mod 11) Vamos a dividir la segunda ecuación por 2 (en Z7). Como 2-1 = 4, multiplicamos por 4. 2x ≡ 1 (mod 7) → 8x = x ≡ 4 (mod 7) Vamos a dividir la tercera ecuación por 3 (en Z11). Como 3-1 = 4, multiplicamos por 4. 3x ≡ 4 (mod 11) → 12x = x ≡ 16 = 5 (mod 11)

25.- Resuelve el sistema de congruencias. x ≡ 2 (mod 5) x ≡ 4 (mod 7) x ≡ 5 (mod 11) Paso 1.- Calculamos los q’s q1 = 7·11 = 77 q2 = 5·11 = 55 q3 = 5·7 = 35

25.- Resuelve el sistema de congruencias. Paso 2.- Calculamos los h’s h1 = 77-1 = 2-1 en Z5, luego h1 = 3 h2 = 55-1 = 6-1 en Z7, luego h2 = 6 h3 = 35-1 = 2-1 en Z11, luego h3 = 6 Paso 3.- Calculamos la solución x = 2·77·3 + 1 ·55·6 + 4 ·35·6 + k·5·7·11

26.- ¿Cuál es la última cifra de la representación de 793 en base 10? Hay que calcular 793 en Z10. En primer lugar, φ(10) = φ(2)·φ(5) = 1 · 4 = 4 Por tanto 74 = 1 en Z10 793 = 74·23+1 = (74)23 · 7 = 123 · 7 = 7 en Z10. Luego la última cifra de la representación de 723 en base 10 es 7.

27.- De un número n se sabe Las dos últimas cifras al escribirlo en base 3 son 12 La última cifra al escribirlo en base 11 es 7 Las últimas tres cifras en base 2 son 101 Es menor que 300 ¿Cuánto vale n? n = ……123 = 2 + 1·3 + algo ·32.................. n = ……711 = 7 + algo ·11.................. n = ……1012 = 1 + 0·2 + 1 ·22 + algo ·23 +..................

27.- ¿Cuánto vale n? n = ……123 = 2 + 1·3 + algo ·32.................. n = ……711 = 7 + algo ·11.................. n = ……1012 = 1 + 0·2 + 1 ·22 + algo ·23 +.................. De la primera ecuación: n ≡ 5 (mod 9) De la segunda ecuación: n ≡ 7 (mod 11) De la tercera ecuación: n ≡ 5 (mod 8) Vamos a resolver el sistema:

27.- ¿Cuánto vale n? x ≡ 5 (mod 9) x ≡ 7 (mod 11) x ≡ 5 (mod 8) Paso 1.- Calculamos los q’s q1 = 11·8 = 88 q2 = 9·8 = 72 q3 = 9·11 = 99

27.- ¿Cuánto vale n?. Paso 2.- Calculamos los h’s h1 = 88-1 = 7-1 en Z9, luego h1 = 4 h2 = 72-1 = 6-1 en Z11, luego h2 = 2 h3 = 99-1 = 3-1 en Z8, luego h3 = 3 Paso 3.- Calculamos la solución x = 5·88·4 + 7 ·72·2 + 5 ·99·3 + k·9·11·8 = 4253 + 792k Paso 4.- Escogemos el valor de k para que sea menor que 300. Como 4253 = 5·792 + 293, tomo k = -5 y obtengo n = 293

28. De un número n se sabe que: a) Las tres últimas cifras al escribirlo en base 5 son 112. b) Las dos últimas cifra al escribirlo en base 11 son 17. c) Las últimas tres cifras en base 2 son 101. ¿Cuánto puede valer n? n = ……1125 = 2 + 1·5 + 1 ·52 + algo·53 +................. n = ……1711 = 7 + 1 ·11 + algo ·112 +.................. n = ……1012 = 1 + 0·2 + 1 ·22 + algo ·23 +..................

28.- ¿Cuánto vale n? n = ……1125 = 2 + 1·5 + 1 ·52 + algo·53 +................. n = ……1711 = 7 + 1 ·11 + algo ·112 +.................. n = ……1012 = 1 + 0·2 + 1 ·22 + algo ·23 +.................. De la primera ecuación: n ≡ 32 (mod 125) De la segunda ecuación: n ≡ 18 (mod 121) De la tercera ecuación: n ≡ 5 (mod 8) Vamos a resolver el sistema:

28.- ¿Cuánto vale n? x ≡ 32 (mod 125) x ≡ 18 (mod 121) x ≡ 5 (mod 8) Paso 1.- Calculamos los q’s q1 = 121·8 = 968 q2 = 125·8 = 1000 q3 = 125·121 = 15125

28.- ¿Cuánto vale n?. Paso 2.- Calculamos los h’s h1 = 968-1 = 93-1 en Z125 φ(125) = φ(53) = 53 – 52 = 125 – 100 = 100 h1 = 968-1 = 93-1 = 9399 = (933)33 = 80435733 = 10733 = (1073)11 = 122504311 = 4311 = 43·(435)2 = 43·1470084432 = 43·572 = 43·124 = 5332 = 82

28.- ¿Cuánto vale n?. h2 = 1000-1 = 32-1 en Z121 φ(121) = φ(112) = 112 – 11 = 121 – 11 = 110 h2 = 1000-1 = 32-1 = 32109 = 329·32100 = (323)3 (322)50 = 327683102450 = 9835650 = 941192·(562)25 = 54·313625 = 54·11125 = 54·(1115)5 = 54·168505815515 = 54·675 = 54·1350125107 = 54·89 = 4806 = 87 h3 = 15125-1 = 5-1 en Z8, luego h3 = 2

28.- ¿Cuánto vale n?. Paso 3.- Calculamos la solución x = 32·968·82 + 18 ·1000·87 + 5 ·15125·2 + k·125·121·8

29. Una banda de 17 piratas se reúne para repartirse un cofre con más de cien monedas de oro. Efectuado equitativamente el reparto sobra una moneda. En la pelea resultante para adjudi- carla muere un pirata. Vuelven a realizar el reparto y sigue sobrando una moneda. Muere otro otro pirata y ahora sobran 3 monedas. ¿Cuál es el mínimo número de monedas que puede contener el cofre?. Sea n el número de monedas. Al repartir n entre 17 sobra 1, luego n ≡ 1 (mod 17) Al repartir n entre 16 sobra 1, luego n ≡ 1 (mod 16) Al repartir n entre 15 sobran 3, luego n ≡ 3 (mod 15)

29.- ¿Cuánto vale n? n ≡ 1 (mod 17) n ≡ 1 (mod 16) n ≡ 3 (mod 15) Paso 1.- Calculamos los q’s q1 = 16·15 = 240 q2 = 17·15 = 255 q3 = 17·16 = 272

29.- ¿Cuánto vale n?. Paso 2.- Calculamos los h’s h1 = 240-1 = 2-1 en Z17, luego h1 = 9 h2 = 255-1 = 15-1 en Z16, luego h2 = 15 h3 = 272-1 = 2-1 en Z15, luego h3 = 8 Paso 3.- Calculamos la solución x = 1·240·9 + 1 ·255·15 + 3 ·272·8 + k·17·16·15 = 12513 + 4080k Paso 4.- Escogemos el valor de k para que sea lo menor posible. Como 12513 = 3·4080 + 273, tomo k = -3 y obtengo n = 273

29) Supongamos que la solución anterior es el número real de monedas que contenía el cofre y que la historia continúa. Siempre que sobran monedas en el reparto hay pelea y muere un pirata. ¿Cuántos piratas quedarán vivos cuando en el reparto no sobre ninguna moneda?. Hay que buscar el mayor divisor de 273 que sea menor que 17. 273 = 3·91 = 3·7·13 El mayor divisor que sea menor que 17 es 13. Al final quedarán 13 piratas.