Capitulo 2. Estática de Fluidos Fundamentos de Mecánica de Fluidos Carlos Joel Perilla Perilla

Contenido Variación de la presión Medidas de la presión. Principio de Pascal. Principio de Arquímedes. Recipientes acelerados.

Introducción Estudio de los fluidos que no tienen movimiento relativo entre sus partículas. No hay esfuerzo cortante. Solo esfuerzo normal  presión

Variación de la presión

Las cantidades del lado derecho de las ecuaciones son infinitesimales y se pueden despreciar La presión en un punto es igual en todas las direcciones

Si asumimos que el fluido tiene aceleración mientras la posición relativa entre sus elementos permanece igual. Se presume que existe una presión p debido a la aceleración.

El diferencial de presión se puede entonces escribir como: Así, mediante integración directa se puede hallar la variación de presión entre dos puntos en el fluido. Esta expresión será útil para casos particulares que se desarrollaran mas adelante.

En un fluido en reposo, la aceleración es cero; así entonces: La presión aumenta con la profundidad (disminuye con la altura). Si  es constante Esta ecuación es usada para convertir presión al peso equivalente de un líquido; la presión atmosférica se expresa en mm de mercurio (la presión en el fondo de una columna de 760 mm de mercurio es la misma que la presión en la superficie de la tierra debido a la atmósfera.

VASOS COMUNICANTES La presión hidrostática no depende de la forma del recipiente. Como la presión solo depende de  y de h, la presión a cierto nivel de profundidad en cualquiera de los recipientes es la misma. 9

Principio de Pascal Una variación en la presión aplicada a un líquido encerrado, se transmite por igual a cada punto del liquido y a las paredes del recipiente que lo contiene.

PRENSA HIDRAULICA Las presiones en los 2 émbolos son iguales: La ventaja que presentan los líquidos es que al transmitir Presiones, pueden multiplicar las Fuerzas aumentando el área sobre la cuál se ejerce. Las presiones en los 2 émbolos son iguales: 11

PRENSA HIDRAULICA Lo que se gana en fuerza, se pierde en recorrido. Ej: si A1= 10 cm2, A2= 1000 cm2 y el recorrido por el pistón chico es de 5 cm: V=A1.d1=10 cm2.50 cm=500 cm3 d2=V/A2=500 cm3/1000 cm= 0.05 cm 12

Presión Atmosférica En la atmósfera la densidad depende de la altura =(z), tiempo y latitud. Para los cálculos se utiliza la atmósfera estándar que se ubica a 40° de latitud. En la capa mas cercana a la tierra (troposfera), la temperatura varía linealmente con la altura T(z) = T0 - z,  (gradiente térmico vertical) = 0,0065 K/m y T0 = 288 K. En la siguiente capa (estratosfera) la temperatura varía entre -56°C y 50°C. En las capas superiores (ionosfera y exosfera) la densidad del aire es demasiado baja y la presión es muy pequeña. Para determinar la variación de presión en la troposfera, se utiliza la ley de gas ideal:

Si se utilizan condiciones estándar, se ve que p/patm = 0,999 con z = 10 m. Es decir se pueden omitir los cambios en la presión del aire a menos que z sea relativamente grande. En general podemos escribir entonces:

Barómetro La presión atmosférica se mide con un barómetro; éste dispositivo, inventado por Evangelista Torricelli (1608-1647), consiste en un tubo cerrado en uno de sus extremos, con una longitud de un metro, el cual es llenado de mercurio y que posteriormente se invierte dentro de un depósito que también contiene mercurio.

A nivel del mar y a una temperatura de 0 oC la columna se equilibrará a 76cm, a esta cantidad se le denomina una atmósfera estándar, y es equivalente a 101.3 kPa.

Debe tomarse en cuenta que bajo diferentes condiciones la presión atmosférica varía, por ejemplo en la Ciudad de Bogotá la columna de mercurio se equilibra a 56 cm, lo que indica una presión atmosférica menor que al nivel del mar, esto significa que la presión atmosférica disminuye con la altitud.

Manómetro Es un tubo en U, que contiene mercurio en su interior, uno de sus extremos está abierto a la atmósfera y el otro se conecta al recipiente en donde se quiere medir la presión. P

1 Hg Si la densidad del medio 1 es pequeña (1 ≈ 0) llegamos a la expresión ya conocida: Donde p0 es la presión atmosférica, pabs se denomina presión absoluta, y pman se denomina presión manométrica

Principio de Arquímedes "... se olvidaba de comer y descuidaba su persona, hasta tal punto que, cuando en ocasiones era obligado por la fuerza a bañarse y perfumarse, solía trazar figuras geométricas en las cenizas del fuego y diagramas en los ungüentos de su cuerpo, y estaba embargado por una total preocupación y, en un muy cierto sentido, por una posesión divina de amor y deleite por la ciencia." (Plutarco)

Cuenta la leyenda que el rey Herón II de Siracusa le había dado a un orfebre una cierta cantidad de oro para que le hiciera una corona de oro puro. Cuando se la entregaron, el rey tuvo la sensación de que no era nada más oro lo que había sido usado. Le planteó la duda a Arquímedes y éste se dio a la tarea de resolver el misterio...y llegó la hora del baño. Esa vez lo aceptó sin chistar, pues estaba sumido en el problema de la famosa corona... y cuando se metió a la tina que estaba llena hasta el tope, se dio cuenta de que la cantidad de agua derramada, estaba relacionada a la cantidad de su cuerpo sumergida en el agua. Con la cara iluminada por la alegría, salió de la tina y desnudo, se fue por las calles de la ciudad " Eureka! Eureka!''. Cómo acaba la historia? Arquímedes sumergió la misma cantidad de oro puro que el rey había entregado al artesano y descubrió que ésta pesaba más en el agua de lo que pesaba la corona también en el agua; con esto descubrió que el material falso de la corona tenía mas volúmen. El orfebre confesó que había quitado oro y agregado la misma cantidad de plata.

Al sumergir un objeto en un fluido, se observa una “disminución” de su peso. Esto es, hay una fuerza que se opone a la acción de la gravedad. B F1 h1 h2 Vf F’ F2 Wo

Todo cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido, experimenta una fuerza de empuje hacia arriba igual al peso del volumen del fluido desalojado.

Si f > o entonces a > 0 → el objeto asciende Caso I: Objeto completamente sumergido. Si f > o entonces a > 0 → el objeto asciende Si f < o entonces a > 0 → el objeto desciende

Caso II: Objeto parcialmente sumergido. La fracción del volumen del objeto que esta bajo la superficie del fluido es igual a la relación entre la densidad del objeto y la del fluido

EL PROBLEMA DE LA CORONA DEL REY El rey Hierón le entregó 2,5 kg de oro a su joyero para la construcción de la corona real. Si bien ése fue el peso de la corona terminada, el rey sospechó que el artesano lo había estafado sustituyendo oro por plata en el oculto interior de la corona. Le encomendó entonces a Arquímedes que dilucidara la cuestión sin dañar la corona. Con sólo tres experiencias el sabio pudo determinar que al monarca le habían robado casi un kilo de oro. Veamos cómo lo hizo. En primer lugar, Arquímedes sumergió una barra de medio kilo de oro puro y comprobó que desplazaba 25,9 cm3. Por lo tanto, la densidad del oro es: Si el joyero hubiera hecho las cosas como le habían indicado, el volumen de líquido desplazado por la corona real, que pesaba 2,5 kilogramos, debería haber sido: A continuación, sumergió la corona real y midió que el volumen de agua desplazado era de 166 cm3, o sea, mayor del esperado. ¡Hierón había sido estafado! ¿En cuánto? Para saber qué cantidad de oro había sido reemplazado por plata, Arquímedes repitió la primera experiencia sumergiendo una barra de un kilo de plata para conocer su densidad. Como el volumen desplazado resultó 95,2 cm3, se tiene que:

de donde se despeja la incógnita: Sabemos que el peso total de la corona es 2.500 gr. (el joyero tuvo la precaución de que así fuera) y su volumen total, de 166 cm3. Entonces: Si reescribimos la última ecuación en función la densidad y el volumen, nos queda que: Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. Sustituyendo una ecuación con la otra, se tiene que: de donde se despeja la incógnita: con lo que se deduce que: De esta manera, Arquímedes pudo comprobar que al rey le habían cambiado 840 gr. de oro por plata. Cuenta la leyenda que el joyero no pudo disfrutar del oro mal habido.

Recipientes acelerados Fluido en reposo con respecto a un marco de referencia acelerado linealmente.

ay ax 1 z1z2 2  x2x1 Si se integra sobre dos puntos arbitrarios p1 y p2 se obtiene Si los puntos quedan sobre una líneas de presión constante, tal como la superficie, p2  p1 = 0 y por consiguiente: