Funciones lógicas y su simplificación

Representaciones de una función - Expresión algebráica: Infinitas - Expresión gráfica (esquema con puertas): Infinitas - Tabla de verdad: UNICA A · B + B · C + B · C = A · B + B = A · B · C + A· B · C + B Esquemático 1 Esquemático 2 Esquemático 3

Dentro de esas infinitas expresiones, destacamos dos que vamos a considerar como estándar: Primera y segunda forma canónicas: 1ª Forma canónica Formada por suma de productos que componen las variables de la función. 2ª Forma canónica Formada por producto de sumas que componen las variables de la función.

1ª Forma canónica (suma de productos) A B C f(A,B,C) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 ¿ Cuando vale “1” la función ? Este término vale “1” si A=0 y B=0 y C=0 A·B·C = 1 1 2 3 4 5 6 7 La función vale “1” si el término 0, ó el 2, ó el 4, ó el 5, ó el 7 vale alguno de ellos 1 T0+T2+T4+T5+T7

f(A,B,C)= A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C = = m0 + m2 + m4 + m5 + m7 A B C f(A,B,C) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 A·B·C 1.- No es la forma más simple de expresar la función. 2.- El orden (A,B,C) ó (C,B,A) es determinante. 3.- Permite el paso a puertas de forma automática

¿ Cómo podemos hacer esta función con puertas NAND ? A·B·C ¿ Cómo podemos hacer esta función con puertas NAND ?

A B c A B C

2 Forma canónica (producto de sumas) A B C f(A,B,C) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 ¿ Cuando vale “0” la función ? Este término vale “0” si A=0 y B=0 y C=1 La función vale cero si alguno de ellos es cero Luego si evaluamos cuando es cero en forma de suma de A, B y C, la expresión correcta es : A + B + C = 0+0+1=0

El criterio cambia con respecto a los miniterms: A B C f(A,B,C) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 A + B + C 2 3 A + B + C 4 5 6 A + B + C 7 M1 M3 M6 f(A,B,C)=M1·M3·M6 ¡ ATENCIÓN ! El criterio cambia con respecto a los miniterms: VARIABLE = 0, SIN COMPLEMENTAR (ESTADO NATURAL)

f(A,B,C)= A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C = = m0 + m2 + m4 + m5 + m7 = M1·M3·M6 A B C f(A,B,C) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 2 0 1 1 0 3 1 0 0 1 4 1 0 1 1 5 1 1 0 0 6 1 1 1 1 7

Realización de la función lógica ¿ Se puede hacer la función con puertas NAND ? Si Para la segunda forma canónica, lo óptimo es implementarla con puertas NOR

APLICACIÓN DE LAS LEYES DE MORGAN

IMPLEMENTACIÓN CON PUERTAS NOR …………………………..

CONVERSIÓN ENTRE FORMAS CANÓNICAS f(A,B,C)= A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C = =( A + B + C )·( A + B + C )·( A + B + C ) = = m0 + m2 + m4 + m5 + m7 = M1·M3·M6 1ª opción: Obtener la tabla de verdad y proceder según los pasos anteriores 2ª opción: Conversión directa; los términos que faltan en la primera (segunda) forma son los que componen la segunda (primera) Ej: 1, 3 y 6 son los que faltan en la primera y son los que componen la segunda forma

EJEMPLO DE APLICACIÓN “ OBTENER LA PRIMERA Y SEGUNDA FORMA CANÓNICAS DE LA FUNCIÓN BIT DE PARIDAD PAR DEL CÓDIGO BCD “ D C B A 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1º Tabla de verdad 2º Primera (segunda) forma canónica 3º Conversión a la segunda (primera) forma 4º Implementar con puertas NAND o NOR

D C B A 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 f(D,C,B,A) = m1+ m2+ m4+ m7+ m8 f(D,C,B,A) = M0· M3· M5· M6· M9

IMPLEMENTACIÓN CON PUERTAS NAND Y PUERTAS NOR . . . . . . . .

Conclusiones sobre las formas canónicas: 1. Son formas estándar, de fácil obtención. 2. Es sencillo elegir la más simple. 3. Son estructuras regulares, aptas para la implementación de algoritmos. 4. Utilizan un solo tipo de puertas. 5. NO SON LA FORMA MAS SIMPLE DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN. ¿CÚAL ES LA FORMA MÁS SIMPLIFICADA DE UNA FUNCIÓN LÓGICA?

Simplificación de Funciones lógicas. - Métodos algebraicos: Aplicación de teoremas, etc.. Ejemplo: A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·C + A·B·C f(A,B,C)= A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C + A·B·C = A·C + A·B + A·C Esta expresión es la más simple, pero no tiene porque ser única. A·C + C·B + A·C

Simplificación de Funciones lógicas. - Métodos gráficos: el Mapa de Karnough. El mapa de Karnough es otra forma de representar las funciones lógicas, de forma gráfica, que nos permite una rápida simplificación. Definición: Términos adyacentes lógicos “ Son aquellos términos de una función que sólo se diferencian en el ESTADO DE UNA VARIABLE “ Ejemplo: A·B·C y A·B·C; Los términos adyacentes lógicos son simplificables entre si. A·B·C + A·B·C = A·B LA VARIABLE QUE CAMBIA DE ESTADO ES LA QUE SE SIMPLIFICA

Definición: Términos indiferentes. “ Son aquellas combinaciones de valores de las variables que forman la función que, por la definición de la función lógica, no se van a presentar nunca como entrada a la misma “ Ejemplo: Si se está trabajando con código BCD, los términos del diez (inclusive) en adelante no tienen sentido, ya que nunca se van a presentar en la entrada; sin embargo constituyen combinaciones válidas desde el punto de vista de la simplificación.

D C B A 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 Todas las combinaciones a partir de 1001 no forman parte del código BCD; sin embargo, son combinaciones de las variables DCBA que pueden resultar útiles xxxxxxxxxxxxx

A B C f(A,B,C) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 AB 00 01 11 10 1 1 1 C 1

Son términos adyacentes lógicos y físicos 1 AB 00 01 11 10 1 1 Son términos adyacentes lógicos y físicos Aplicación de A+A=A A·C + A·B + A·C

AB 00 01 11 10 1 1 1 C 1 f(A,B,C)=?

Mapa de Karnough 1º Partimos de la tabla de verdad. 2ª Formamos dos grupos con las variables de entrada, lo más homogéneos posibles en cuanto al número de variables. 3º Trazamos el mapa,formado por todas las combinaciones de las variables de entrada; todas las casillas adyacentes físicas deben de ser adyacentes lógicas. 4º Trasladamos todos los términos que valen “1” al mapa de Karnough. 5º Trasladamos los términos indiferentes, si los hay. 6º Realizamos agrupamientos de 2n variables adyacentes físicas. 7º Se simplifica la función, teniendo en cuenta que los términos que se van son los que cambian en un mismo agrupamiento.

AB 00 01 11 10 1 1 1 1 1 C

Se debe trabajar con el mapa de Karnough como si fuera una esfera

Ejercicio: “ Implementar de la forma más sencilla posible la función bit de paridad par para un código BCD “ . . . . . . . . . ES POSIBLE OBTENER CIRCUITOS MAS SENCILLOS EMPLEANDO PUERTAS NO FUNDAMENTALES

Mapa de Karnough: - Efectivo hasta cuatro variables. - Se complica si se pasa de cinco. - Util en el caso de tener funciones “ multifunción “.