Tema 4. Juegos simultáneos con información incompleta. 4.1 Juegos con información completa e incompleta. 4.2 Juegos Bayesianos. 4.3 Estrategias y Equilibrio Nash Bayesiano. Bibliografía básica: Olcina y Calabuig: Cap. 5. Bibliografía complementaria: Gibbons: cap. 3 Dixit y Nalebuff: cap. 12.

4.1 Juegos con información completa e incompleta. Un juego con información completa se caracteriza porque los jugadores conocen la estructura del juego, es decir, conocen los conjuntos de acciones y los pagos de todos los jugadores, además de la racionalidad de todos ellos. Adicionalmente, toda esta información es conocimiento público. Sin embargo, en muchos juegos del mundo real este supuesto no se cumple Estos son los denominados juegos con información incompleta (también llamados de información privada o asimétrica). A) El caso más común es aquel en el que al menos un jugador desconoce la función de pagos de otro jugador.

Una subasta de sobre cerrado donde cada licitante conoce su propia valoración del bien que se va a subastar pero desconoce las valoraciones de los otros licitantes. Un oligopolio donde cada empresa conoce su propia función de costes pero puede desconocer las funciones de coste de las empresas competidoras. . Un comprador que desea adquirir un coche usado pero que ignora la verdadera calidad del coche que tiene ante sí. Por supuesto, el vendedor sí conoce dicha calidad, es decir, la calidad del coche es información privada del vendedor.

Son juegos simultáneos en la que los jugadores desconocen algún elemento relevante de la función de pagos del rival. B) Otra causa que puede provocar la aparición de la información incompleta radica en que algún jugador tenga dudas o incertidumbre acerca de la verdadera motivación del oponente. ¿mi rival es un agente que intenta maximizar su función de utilidad o por el contrario, es un jugador que siempre sigue una norma social ?

Para ilustrar los distintos conceptos relacionados con los juegos con información incompleta que necesitaremos para su análisis consideremos el siguiente ejemplo económico Considere el siguiente juego entre dos empresas. Cualquiera de ellas puede desarrollar una innovación con un coste, pero la empresa rival puede imitar dicha innovación al instante y sin costes. Una vez introducida la innovación en el mercado, los beneficios totales aumentan en 4 millones que se reparten las empresas a partes iguales. La empresa 1 tiene unos costes de innovación de 1 millón, pero la empresa 2 puede tener dos costes de innovación posible, que únicamente sabe ella: con una probabilidad 0.4 tiene unos costes de innovación de 1 millón pero con una probabilidad 0.6 tiene unos costes de innovar de 3 millones. Esto es información privada de la empresa 2. Represente matricialmente

0.4 0.6 Una forma alternativa de considerar la existencia de información incompleta es pensar que el jugador 1 no sabe cuál es la matriz a la que se tiene que enfrentar, es decir, desconoce cual es el verdadero juego que va a jugar.

4.2 Juegos bayesianos. Descripción formal de los juegos con información incompleta: Tratar a los jugadores con información privada, en general, como si fueran jugadores con distintos tipos. Aquí los tipos recogen toda información privada relevante que afecte a los pagos de un jugador, como pueden ser los costes de innovación de la empresa 2 en nuestro ejemplo. Los jugadores comienzan el juego sabiendo cual es su propio tipo pero no el de sus rivales.

Decir que un jugador conoce su función de pagos es equivalente a decir que el jugador conoce su tipo. Del mismo modo, decir que el jugador i no sabe las funciones de pagos de otros jugadores es equivalente a decir que no sabe los tipos de otros jugadores. En nuestro ejemplo, se supone que el azar ha elegido a través de un mecanismo aleatorio las costes de la empresa 2. Este jugador sabe cuales son sus verdaderos costes. Lo que sabe el jugador 1 es que estos pueden ser bajos (c=1 ) o altos (c=3) y también conoce las probabilidades objetivas de ambos tipos de costes. Este tipo de juegos se conocen como Juegos Bayesianos simultáneos.

A continuación vamos a obtener la representación en forma estratégica de estos juegos bayesianos estáticos. En este caso la representación del juego bayesiano consta de los siguientes elementos, que son conocimiento público: el conjunto de jugadores, El conjunto de acciones disponibles para cada jugador El conjunto de posibles tipos de cada jugador La distribución de probabilidad objetiva sobre el conjunto de tipos, p, Las funciones de utilidad (o pago) de los jugadores,

Consideraremos el caso más simple de dos jugadores. El conjunto de jugadores, en el caso bipersonal, En el ejemplo anterior, los jugadores son la empresa 1 y 2. El conjunto de acciones disponibles para el jugador i, Ai. El conjunto de acciones del jugador 1 , A1 : {Innovar, Imitar} y el conjunto de acciones del jugador 2 , A2 : {Innovar, Imitar}

El conjunto de posibles tipos del jugador i, . Recordemos que cada tipo es una especificación detallada y completa de la información privada que el jugador i pudiera tener. En nuestro ejemplo únicamente el jugador 2 tiene información privada y por tanto es el único que tiene tipos. El conjunto de tipos sería T2 = {c2= 1, c2= 3}. mientras que un tipo concreto, ti, sería cualquier valoración concreta de dicho conjunto, El jugador 1 no tiene tipos porque toda la información que posee es de conocimiento público, es decir, no tiene información privada.

La distribución de probabilidad objetiva sobre el conjunto de tipos, p, que es común a ambos jugadores y conocimiento público entre ellos. Lo que saben todos los jugadores es la distribución de probabilidad es decir, esta probabilidad es objetiva y conocimiento público. En nuestro caso, probabilidad de que la empresa 2 tenga costes bajos : 0.4

Las funciones de utilidad (o pago) de los jugadores, donde ui es la función de pagos del jugador i. Pero a diferencia de los juegos con información completa, las funciones de utilidad también dependerán de los tipos o información privada de los jugadores. Es decir, ui(a1,a2,t1,t2).

Una posible interpretación de los tipos : Sustituimos el conocimiento público sobre las características de nuestro rival por conocimiento público sobre la “población” de la que éste procede. Sus posibles tipos y las proporciones o probabilidades en que pueden darse son conocidas por todos, aunque desconocemos el individuo concreto al que nos enfrentamos.

4.3 Estrategias y Equilibrio Nash Bayesiano. Para aplicar el concepto apropiado de equilibrio en los juegos estáticos bayesianos necesitamos redefinir el concepto de estrategia para esta clase de juegos. En los juegos estáticos con información completa, una estrategia era sinónimo de acción, ya que en estos juegos una estrategia implicaba la elección de una acción no condicionada a ninguna contingencia. Sin embargo, en los juegos estáticos bayesianos una estrategia será distinta de la simple elección de una acción, ya que dependerá de los tipos de los jugadores.

En concreto, una estrategia del jugador es un plan que especifica qué acción adoptar para cada uno de sus posibles tipos y no sólo para el que realmente es. Por tanto, una estrategia, para el jugador i es una regla de decisión que proporciona la elección de una acción para cada realización de su tipo ti En general, si el jugador i tiene dos tipos, una estrategia consistiría en un par de acciones, una para cada tipo, En nuestro ejemplo, un ejemplo de estrategia para el jugador 2 sería : Si tiene costes de innovación bajos, Innovar y si tiene costes de innovación altos, Imitar.

En el ejemplo que estamos considerando, podemos observar que el jugador 2, como tiene dos tipos y dos acciones, posee un conjunto con las cuatro siguientes estrategias: Si tiene costes de innovación c = 1, Innovar y si tiene costes de innovación = 3, Imitar. Si tiene costes de innovación c = 1, Imitar y si tiene costes de innovación = 3, Imitar. Si tiene costes de innovación c = 1, Innovar y si tiene costes de innovación = 3, Innovar Si tiene costes de innovación c = 1, Imitar y si tiene costes de innovación = 3, Innovar.

Como el jugador 1 no tiene tipos, sus estrategias coinciden con sus acciones, es decir, {Innovar, Imitar}

A la vista de la definición de estrategia en estos juegos cabe preguntarse, ¿por qué debe preocuparse, por ejemplo, el jugador 2 por su acción para todo tipo posible cuando él sabe que es de un tipo concreto? Es decir, ¿por qué preocuparse por las acciones que podría haber elegido si la naturaleza le hubiese asignado otro tipo? La razón radica en que para decidir su acción óptima, jugador 2 necesita tener en cuenta lo que planea hacer el jugador 1, pero a su vez éste no sabe cuál es el tipo de jugador 2 a que se enfrenta y para decidir también piensa cual es la acción que tomaría cada uno de los dos tipos de jugador 2. Por lo tanto, para decidir su acción óptima una vez que sabe su tipo, el jugador 2 tendrá que considerar cual habría sido la acción óptima de los diferentes tipos que podría haber sido.

Nuestro concepto de solución para los juegos bayesianos será el equilibrio Nash. Ahora bien, el equilibrio será una combinación de estrategias y no de acciones, con la propiedad, por supuesto, de que ningún tipo de jugador tiene incentivo unilateral a desviarse. Al equilibrio de los juegos bayesianos se le denomina Equilibrio Nash Bayesiano.

El Equilibrio Nash Bayesiano (ENB ) es un par de estrategias tal que son mejores respuestas mutuamente. Esto quiere decir que la acción de cada tipo es mejor respuesta a la estrategia del rival.

Calculemos los ENB Busquemos acciones dominantes para los tipos de jugador 2 La empresa 2 con c = 1 no tiene acciones dominantes f2 (c=1) (Innovar) = Imitar f2(c=1) (Imitar) = Innovar La empresa 2 con c = 3 tiene una acción dominante : Imitar Por tanto en un ENB la empresa 2 con c=3 elegirá siempre imitar

Calculemos los ENB Calculemos la(s) mejor(es) respuesta(s) de la empresa 1 p= 0.4 p=0.6 f1 (innovar, imitar) es la función de mejor respuesta del jugador 1 donde el primer elemento es la acción que elige la empresa 2 con c =1 y el segundo es la acción que elige la empresa 2 con c =3 f1(innovar, imitar)= innovar = 0.4*1 + 0.6*1 = 1 imitar = 0.4 * 2 + 0.6*0 =0.8 MR = innovar

Calculemos los ENB Calculemos la(s) mejor(es) respuesta(s) de la empresa 1 p= 0.4 p=0.6 f1(imitar, imitar)= innovar = 0.4*1 + 0.6*1 = 1 imitar = 0.4 * 0 + 0.6*0 =0 MR = innovar

Innovar (Imitar, Imitar) Calculemos los ENB p= 0.4 p=0.6 f1(imitar, imitar)= innovar f1(innovar, imitar)= innovar f2 (c=1) (Innovar) = Imitar f2(c=1) (Imitar) = Innovar f2 (c=3) (Innovar) = Imitar f2(c=3) (Imitar) = Imitar ENB: Empresa 1 : Innovar Empresa 2 (c=1) = Imitar Empresa 2 (c=3) = Imitar Innovar (Imitar, Imitar)

Qué ocurriría si cambiásemos las probabilidades Calculemos los ENB p= 0.6 p=0.4 f2 (c=1) (Innovar) = Imitar f2(c=1) (Imitar) = Innovar f2 (c=3) (Innovar) = Imitar f2(c=3) (Imitar) = Imitar f1(imitar, imitar)= innovar f1(innovar, imitar)= Imitar 2 ENB: Innovar (Imitar, Imitar) Imitar (Innovar, Imitar)