GYMKHANA MATEMÁTICA IX Semana de la Ciencia 9 de Noviembre Nombre y Apellidos…………………………………………………………………. Edad……… Instituto……………………………… Teléfono………………..… Nombre del profesor responsable:…………………………………………………. 1. Dos guardianes están delante de dos puertas. Una conduce a la libertad y la otra a la muerte. Uno de los guardianes dice siempre la verdad y el otro miente siempre. Puedes formular una sola pregunta a uno solo de los guardianes. ¿Cuál sería esa pregunta si quieres salir con vida de allí? 2. Un buscador de plata no podía pagar su alquiler de marzo por adelantado. Tenía una barra de plata pura de 31 cm. de largo, de modo que hizo con su casera el siguiente arreglo: le dijo que cortaría la barra en pedazos más pequeños. El primer día de marzo le daría a la casera 1 cm. de la barra y cada día subsiguiente le agregaría otro centímetro más. Ella conservaría la plata en prenda. A fin de mes, el buscador esperaba estar en condiciones de pagarle la renta completa y ella le devolvería los pedazos de la barra de plata. Marzo tiene 31 días, de modo que una manera de cortar la plata era dividirla en 31 partes, cada una de 1 cm. de largo. Pero, como era bastante laborioso cortarla, el buscador deseaba cumplir el acuerdo dividiéndola en el menor número posible de partes. Por ejemplo, podía darle a la casera 1 cm. el primer día, otro centímetro el segundo día y el tercer día podía entregarle una parte de 3 cms. y recibir a cambio las dos partes anteriores de 1 cm. Suponiendo que las porciones de barra fueran entregadas y devueltas de esta manera, ve si puedes determinar el menor número posible de partes en las que el buscador debe dividir su barra de plata.

GYMKHANA MATEMÁTICA IX Semana de la Ciencia 10 de Noviembre Nombre y Apellidos…………………………………………………………………. Edad……… Instituto……………………………… Teléfono………………..… Nombre del profesor responsable:…………………………………………………. 1. El señor Blanco, el señor Rojo y el señor Pardo se encuentran por la calle. - ¡Qué curioso- dice el que lleva corbata roja-, los colores de nuestras corbatas se corresponden con nuestros apellidos, pero ninguno lleva el color del propio. - Tiene usted razón- comenta Blanco. ¿De qué color es la corbata de cada uno? 2. Un hombre intenta, infructuosamente, sacar tabaco de una m á quina de un bar con una moneda, al parecer defectuosa, de cien pesetas. Se dirige al camarero y le pregunta: - ¿ Podr í a cambiarme esta moneda por otra de cien? - Lo siento, no tengo ninguna. - Entonces, por favor, deme suelto. - Lo siento, no puedo. El hombre busca en su bolsillo y le dice al camarero: - Entonces, por favor, c á mbieme esta moneda de 50 para telefonear. - Lo siento, tampoco puedo cambi á rsela. Y tampoco podr í a cambiarle una de 25, ni una de 10, ni siquiera una de 5. - ¿ Es posible que no tenga usted ninguna moneda? - No he dicho tal cosa – replica el camarero- De hecho, tengo 115 ptas. En monedas. ¿ Qu é monedas tiene el camarero?

GYMKHANA MATEMÁTICA IX Semana de la Ciencia 11 de Noviembre Nombre y Apellidos…………………………………………………………………. Edad……… Instituto……………………………… Teléfono………………..… Nombre del profesor responsable:…………………………………………………. 1. El gavil á n se encuentra con una bandada de palomas y les pregunta: - ¿ Ad ó nde vais, cien palomas? - No somos cien- responde una. - ¿ Cu á ntas sois pues? - Las que somos y tantas como las que somos y la mitad de las que somos y la mitad de la mitad de las que somos y contigo, gavil á n, somos cien. ¿ Cu á ntas palomas hay? 2. Tenemos una balanza y cinco pesas, respectivamente de 3, 6, 8, 12 y 16 gramos. Queremos pesar cantidades comprendidas entre 1 y 33 gramos (ambos inclusive); sin embargo, hay una (y s ó lo una) cantidad que no podremos pesar, con las cinco pesas de que disponemos, en una ú nica pesada. ¿ Cu á l es la pesada imposible?

GYMKHANA MATEMÁTICA IX Semana de la Ciencia 12 de Noviembre Nombre y Apellidos…………………………………………………………………. Edad……… Instituto……………………………… Teléfono………………..… Nombre del profesor responsable:…………………………………………………. 1. Es imposible que dos n ú meros sean a la vez iguales y distintos. Sin embargo... Tenemos un n ú mero a mayor que otro b. Llamando c a la diferencia entre ambos, tendremos a=b+c. Multiplicando los dos miembros de la igualdad por (a-b) se obtiene: a 2 -ab=ab+ac-b 2 -bc a 2 -ab-ac=ab-b 2 -bc a(a-b-c)=b(a-b-c) y dividiendo ambos miembros por (a-b-c) queda a=b ¿ C ó mo es posible? 2. Una fortificaci ó n poligonal convexa de 1000 metros de per í metro, est á defendida por una compacta dotaci ó n de arqueros cuyos arcos tienen un alcance de 100 metros. Determina el á rea del territorio bajo control de los arqueros y la longitud del contorno exterior de dicho territorio.

GYMKHANA MATEMÁTICA IX Semana de la Ciencia 13 de Noviembre Nombre y Apellidos…………………………………………………………………. Edad……… Instituto……………………………… Teléfono………………..… Nombre del profesor responsable:…………………………………………………. 1. Juan: “ Voy a arrojar tres monedas al aire. Si todas caen cara, te dar é diez c é ntimos. Si todas caen cruz, te dar é diez c é ntimos. Pero si caen de alguna otra manera, t ú me dar á s cinco c é ntimos a m í. ” Jaime: “ D é jame pensarlo un minuto. Al menos dos monedas tendr á n que caer igual porque si hay dos diferentes, la tercera tendr á que caer igual que una de las otras dos. Y si hay dos iguales entonces la tercera tendr á que ser igual o diferente de las otras dos. Las probabilidades est á n parejas con respecto a que la tercera moneda sea igual o diferente. Por lo tanto, hay las mismas probabilidades de que las monedas muestren el mismo lado, como que no. Pero Juan est á aportando diez c é ntimos contra cinco que no ser á n todas iguales, de modo que las probabilidades est á n a mi favor. ¡ Bien, Juan, acepto la apuesta! ” ¿ Fue bueno para Jaime haber aceptado la apuesta? 2. Dos muchachos en bicicleta, a 20 kms. de distancia entre s í, empiezan a andar para reunirse. En el momento en que parten, una mosca que est á en el volante de una de las bicicletas empieza a volar directamente hacia el otro ciclista. En cuanto llega al otro volante, da la vuelta y vuela de regreso al primero. La mosca vol ó ida y vuelta de volante a volante hasta que los dos ciclistas se reunieron. Si cada bicicleta march ó a una velocidad constante de 10 km/h y la mosca vol ó a una velocidad constante de 15 km/h ¿ Qu é distancia vol ó la mosca?